Аргумент Пенроуза–Лукаса

Аргумент Пенроуза –Лукаса — это логический аргумент, частично основанный на теории, разработанной математиком и логиком Куртом Гёделем . В 1931 году он доказал, что каждая эффективно сгенерированная теория, способная доказать базовую арифметику, либо не является последовательной , либо не является полной . Из-за способности человека видеть истинность предложений Гёделя формальной системы , утверждается, что человеческий разум не может быть вычислен на машине Тьюринга, которая работает на арифметике Пеано , потому что последняя не может видеть истинностное значение своего предложения Гёделя, в то время как человеческий разум может. Математик Роджер Пенроуз модифицировал аргумент в своей первой книге о сознании , «Новый разум императора» (1989), где он использовал его для обеспечения основы своей теории сознания: организованной объективной редукции .

Гёдель показал, что любая такая теория, включающая также утверждение о своей собственной непротиворечивости, является непоследовательной. Ключевым элементом доказательства является использование нумерации Гёделя для построения «предложения Гёделя» для теории, которое кодирует утверждение о своей собственной неполноте: «Эта теория не может доказать это утверждение»; или «Я недоказуем в этой системе». Либо это утверждение и его отрицание оба недоказуемы (теория неполна), либо оба доказуемы (теория непоследовательна). В первом случае утверждение интуитивно истинно ^[1] (поскольку оно недоказуемо); в противном случае утверждение интуитивно ложно — хотя и доказуемо.

Аналогичное утверждение использовалось для того, чтобы показать, что люди подвержены тем же ограничениям, что и машины: «Лукас не может последовательно утверждать эту формулу». В защиту Лукаса Дж. Э. Мартин и К. Х. Энглман в книге «У меня два глаза ^{» [2]} утверждали , что Лукас может распознать, что предложение истинно, поскольку есть точка зрения, с которой он может понять, как предложение обманывает его. ^[3] С этой точки зрения Лукас может понять, что он не может утверждать предложение, и, следовательно, он может распознать его истинность. ^[4] Тем не менее, эта критика работает только в том случае, если мы предполагаем, что можем заменить рассуждения Лукаса формальной системой, которая имеет предложение Гёделя, но аргумент Пенроуза-Лукаса пытается доказать обратное: наша способность понимать этот уровень арифметики не является формальной системой, которую можно смоделировать в машине Тьюринга .

Пенроуз утверждал, что в то время как формальная система доказательств не может доказать свою собственную непротиворечивость, недоказуемые Гёделем результаты доказуемы математиками-людьми. ^[5] Он считает, что это несоответствие означает, что математики-люди не могут быть описаны как формальные системы доказательств ( теоремы которых могут быть доказаны с использованием абстрактного объекта, такого как компьютер), и, следовательно, работают по невычислимому алгоритму . Похожие утверждения о следствиях теоремы Гёделя первоначально поддерживались Тьюрингом в конце 1940-х годов, самим Гёделем в его лекции Гиббса 1951 года, Э. Нагелем и Дж. Р. Ньюманом в 1958 году, ^[6] и впоследствии были популяризированы философом Джоном Лукасом из Мертон-колледжа, Оксфорд, в 1961 году . ^[7]

Неизбежный вывод, кажется, таков: математики не используют заведомо обоснованную процедуру расчета для установления математической истины. Мы делаем вывод, что математическое понимание — средство, с помощью которого математики приходят к своим выводам относительно математической истины — не может быть сведено к слепому расчету!

—  Роджер Пенроуз ^[8]

Если аргумент Пенроуза–Лукаса верен, то возникает необходимость понять физическую основу невычислимого поведения мозга. ^[9] Большинство физических законов вычислимы и, следовательно, алгоритмичны. Однако Пенроуз определил, что коллапс волновой функции является главным кандидатом на невычислимый процесс.

В квантовой механике частицы рассматриваются иначе, чем объекты классической механики . Частицы описываются волновыми функциями , которые развиваются в соответствии с уравнением Шредингера . Нестационарные волновые функции являются линейными комбинациями собственных состояний системы, явление, описываемое принципом суперпозиции . Когда квантовая система взаимодействует с классической системой, т. е. когда измеряется наблюдаемая , система, по-видимому, коллапсирует в случайное собственное состояние этой наблюдаемой с классической точки зрения.

Если коллапс действительно случаен, то никакой процесс или алгоритм не может детерминированно предсказать его результат. Это дало Пенроузу кандидата на физическую основу невычислимого процесса, который, как он предполагал, существует в мозге. Однако ему не нравилась случайная природа коллапса, вызванного окружающей средой, поскольку случайность не была многообещающей основой для математического понимания. Пенроуз предположил, что изолированные системы все еще могут подвергаться новой форме коллапса волновой функции , которую он назвал объективной редукцией (OR). ^[10]

Пенроуз стремился примирить общую теорию относительности и квантовую теорию, используя собственные идеи о возможной структуре пространства-времени . ^{[5] [11]} Он предположил, что в масштабе Планка искривленное пространство-время не непрерывно, а дискретно. Пенроуз постулировал, что каждая отделенная квантовая суперпозиция имеет свою собственную часть кривизны пространства-времени , волдырь в пространстве-времени. Пенроуз предполагает, что гравитация оказывает силу на эти волдыри пространства-времени, которые становятся нестабильными выше масштаба Планка и коллапсируют только в одно из возможных состояний. Грубый порог для OR задается принципом неопределенности Пенроуза:${\displaystyle 10^{-35}{\text{м}}}$

${\displaystyle \tau \approx \hbar /E_{G}}$

где:

• ${\displaystyle \tau }$это время до возникновения ОР,
• ${\displaystyle E_{G}}$это гравитационная собственная энергия или степень разделения пространства-времени, заданная суперпозиционной массой, и
• ${\displaystyle \hbar }$— это приведенная постоянная Планка .

Таким образом, чем больше масса-энергия объекта, тем быстрее он подвергнется OR и наоборот. Суперпозиции на атомном уровне потребуют 10 миллионов лет, чтобы достичь порога OR, в то время как изолированный объект весом 1 килограмм достигнет порога OR за 10 ⁻³⁷ с. Объекты где-то между этими двумя шкалами могут коллапсировать в масштабе времени, соответствующем нейронной обработке. ^{[10] [ необходима цитата ] [12]}

Существенной особенностью теории Пенроуза является то, что выбор состояний, когда происходит объективная редукция, не выбирается ни случайно (как выборы после коллапса волновой функции ), ни алгоритмически. Скорее, состояния выбираются «невычислимым» влиянием, встроенным в масштаб Планка геометрии пространства-времени. Пенроуз утверждал, что такая информация является платонической , представляющей чистую математическую истину, эстетические и этические ценности в масштабе Планка. Это относится к идеям Пенроуза относительно трех миров: физического, ментального и платоновского математического мира. В его теории платоновский мир соответствует геометрии фундаментального пространства-времени, которая, как утверждается, поддерживает невычислительное мышление. ^{[10] [ необходима цитата ] [13] [14]}

Аргумент Пенроуза–Лукаса о последствиях теоремы Гёделя о неполноте для вычислительных теорий человеческого интеллекта подвергся критике со стороны математиков, ^{[15] [16] [17] [18]} компьютерных ученых, ^[19] и философов, ^{[20] [21] [22] [23] [24],} и консенсус среди экспертов ^{[ каких? ] [6]} в этих областях заключается в том, что аргумент несостоятелен, ^{[25] [26] [27]} при этом разные авторы нападают на разные аспекты аргумента. ^{[27] [28]}

Феферман ошибся в некоторых моментах во второй книге Пенроуза « Тени разума» . Он утверждал, что математики не прогрессируют посредством механистического поиска доказательств, а посредством рассуждений методом проб и ошибок, понимания и вдохновения, и что машины не разделяют этот подход с людьми. Он указал, что повседневную математику можно формализовать. Он также отверг платонизм Пенроуза . ^[16] Тем не менее, это не объясняет его основной аргумент о предполагаемой способности человеческого разума доказывать предложения, недоказуемые Гёделем . Кроме того, искусственный интеллект, основанный на обучении с подкреплением, может работать, предпринимая действия в среде, чтобы максимизировать понятие кумулятивного вознаграждения , действуя как процедуры проб и ошибок. ^{[29] [30] [31]}

Лафорте указал, что для того, чтобы знать истинность недоказуемого предложения Гёделя, нужно уже знать, что формальная система непротиворечива (хотя это не было тем, что пытался сказать Лукас); ссылаясь на Бенацеррафа , он пытался продемонстрировать, что люди не могут доказать, что они непротиворечивы, ^[15] и, по всей вероятности, человеческий мозг представляет собой непоследовательные алгоритмы, которые используют своего рода паранепротиворечивую логику , указывая на предполагаемые противоречия в собственных работах Пенроуза в качестве примеров. Аналогичным образом Мински утверждал, что, поскольку люди могут верить в истинность ложных идей, человеческое математическое понимание не обязательно должно быть последовательным, а сознание может легко иметь детерминистическую основу. ^[32] Пенроуз возражал Мински, утверждая, что ошибки, которые делают люди-математики, не имеют значения, потому что их можно исправить, в то время как логические истины являются «неопровержимыми истинами» для людей , которые являются выходами надежной системы и единственными, которые имеют значение. ^[33] Ошибки не подразумевают напрямую, что человеческий разум непоследователен сам по себе: биологические организмы подвержены когнитивным потрясениям, сокращению долговременной памяти и смещению внимания ; это снижает наши способности к рассуждению и заставляет людей действовать бессознательно , не принимая во внимание все возможные переменные системы. Таким образом, имеет место дизъюнкция : либо человеческий разум не является вычислением машины Тьюринга , и, следовательно, не является формальной системой ; либо он является продуктом непоследовательной машины Тьюринга, которая может рассуждать, используя некую парапоследовательную логику .

• Организованное снижение объективности
• Теоремы Гёделя о неполноте
• Логика
• Последовательность
• Логическая истина
• Квантовое сознание
• Разум
• Сознание
• Трудная проблема сознания
• Квалиа
• Причина
• Рационализм