Мереология
Изучение частей и целых, которые они образуют

Мереология ( / m ɪər i ˈ ɒ l ə dʒ i / ; от греч. μέρος 'часть' (корень: μερε-, mere- ) и суффикса -logy , 'изучение, обсуждение, наука') — философское исследование отношений части и целого, также называемых отношениями частичности . [1] [2] Как раздел метафизики , мереология изучает связи между частями и их целыми, исследуя, как компоненты взаимодействуют внутри системы. Эта теория имеет корни в античной философии, со значительным вкладом Платона , Аристотеля , а позднее, средневековых и ренессансных мыслителей , таких как Фома Аквинский и Иоанн Дунс Скот . [3] Мереология была формально аксиоматизирована в 20 веке польским логиком Станиславом Лесьневским , который представил ее как часть всеобъемлющей структуры логики и математики и придумал слово «мереология». [2]

Мереологические идеи оказали влияние на раннюю § Теорию множеств, и формальная мереология продолжала использоваться меньшинством в работах по § Основаниям математики. Различные аксиоматизации мереологии применялись в § Метафизике, использовались в § Лингвистическая семантика для анализа «массовых терминов», использовались в когнитивных науках [1] и развивались в § Общая теория систем. Мереология была объединена с топологией , для получения дополнительной информации см. статью о мереотопологии . Мереология также используется в основе точечной геометрии Уайтхеда , о которой см. Tarski 1956 и Gerla 1995. Мереология используется в обсуждениях таких разнообразных сущностей, как музыкальные группы, географические регионы и абстрактные концепции, демонстрируя ее применимость к широкому спектру философских и научных дискурсов. [1]

В метафизике мереология используется для формулировки тезиса «композиции как идентичности», теории о том, что индивиды или объекты идентичны мереологическим суммам (также называемым слияниями ) своих частей. [3] Метафизический тезис, называемый « мереологическим монизмом », предполагает, что версия мереологии, разработанная Станиславом Лесьневским и Нельсоном Гудманом (обычно называемая классической экстенсиональной мереологией , или КЭМ), служит общей и исчерпывающей теорией частичности и композиции, по крайней мере, для большой и значимой области вещей. [4] Этот тезис является спорным, поскольку частичность может показаться не транзитивным отношением (как утверждает КЭМ) в некоторых случаях, например, частичность между организмами и их органами. [5] Тем не менее, предположения CEM очень распространены в мереологических рамках, во многом благодаря влиянию Лесьневского как первого, кто придумал это слово и формализовал теорию: мереологические теории обычно предполагают, что все является частью самого себя ( рефлексивность ), что часть части целого сама является частью этого целого ( транзитивность ), и что две различные сущности не могут каждая быть частью другой ( антисимметрия ), так что отношение частичности является частичным порядком . Альтернативой является предположение, что частичность иррефлексивна (ничто никогда не является частью самого себя), но все же транзитивна, и в этом случае антисимметрия следует автоматически.

История

Неформальное рассуждение «часть-целое» сознательно использовалось в метафизике и онтологии , начиная с Платона (в частности, во второй половине «Парменида » ) и Аристотеля , и более или менее невольно в математике XIX века до триумфа теории множеств около 1910 года. Метафизические идеи этой эпохи, в которых обсуждаются концепции частей и целых, включают божественную простоту и классическую концепцию красоты .

Айвор Граттан-Гиннесс (2001) проливает много света на рассуждения часть-целое в 19-м и начале 20-го веков и рассматривает, как Кантор и Пеано разработали теорию множеств . Похоже, что первым, кто осознанно и подробно рассуждал о частях и целых [ требуется ссылка ], был Эдмунд Гуссерль в 1901 году во втором томе Логических исследований – Третье исследование: «О теории целых и частей» (Husserl 1970 — английский перевод). Однако слово «мереология» отсутствует в его трудах, и он не использовал никакой символики, хотя его докторская диссертация была по математике.

Станислав Лесьневский ввел термин «мереология» в 1927 году, от греческого слова μέρος ( méros , «часть»), для обозначения формальной теории части-целого, которую он разработал в серии высокотехнических статей, опубликованных между 1916 и 1931 годами и переведенных в Leśniewski (1992). Ученик Лесьневского Альфред Тарский в своем Приложении E к Woodger (1937) и статье, переведенной как Tarski (1984), значительно упростил формализм Лесьневского. Другие ученики (и ученики учеников) Лесьневского разрабатывали эту «польскую мереологию» в течение 20-го века. Для хорошей подборки литературы по польской мереологии см. Srzednicki and Rickey (1984). Для обзора польской мереологии см. Simons (1987). Однако примерно с 1980 года исследования польской мереологии носили почти исключительно исторический характер.

А. Н. Уайтхед планировал четвертый том Principia Mathematica , посвященный геометрии , но так и не написал его. Его переписка с Бертраном Расселом 1914 года показывает, что его предполагаемый подход к геометрии можно рассматривать, с выгодой ретроспективного взгляда, как мереологический по сути. Эта работа достигла кульминации в Уайтхеде (1916) и мереологических системах Уайтхеда (1919, 1920).

В 1930 году Генри С. Леонард завершил докторскую диссертацию в Гарварде по философии, изложив формальную теорию отношения часть-целое. Она превратилась в «исчисление индивидов» Гудмена и Леонарда (1940). Гудмен пересмотрел и развил это исчисление в трех изданиях Гудмена (1951). Исчисление индивидов является отправной точкой для возрождения мереологии после 1970 года среди логиков, онтологов и компьютерных ученых, возрождения, хорошо изученного в работах Саймонса (1987), Казати и Варци (1999) и Котнуара и Варци (2021).

Аксиомы и примитивные понятия

Основной выбор при определении мереологической системы — разрешить ли вещам считаться частями самих себя (рефлексивность части). В наивной теории множеств возникает похожий вопрос: следует ли считать множество «членом» самого себя. В обоих случаях «да» порождает парадоксы, аналогичные парадоксу Рассела : пусть будет объект O такой, что каждый объект, который не является собственной частью самого себя, является собственной частью O. Является ли O собственной частью самого себя? Нет, потому что ни один объект не является собственной частью самого себя; и да, потому что он соответствует указанному требованию для включения в качестве собственной части O. В теории множеств множество часто называют собственным подмножеством самого себя. Учитывая такие парадоксы, мереология требует аксиоматической формулировки.

Мереологическая «система» — это теория первого порядка (с идентичностью ), чей универсум дискурса состоит из целых и их соответствующих частей, совместно называемых объектами . Мереология — это набор вложенных и невложенных аксиоматических систем , мало чем отличающихся от случая с модальной логикой .

Обработка, терминология и иерархическая организация ниже тесно следуют Casati и Varzi (1999: Ch. 3). Более поздний вариант обработки, исправляющий некоторые заблуждения, см. Hovda (2008). Строчные буквы обозначают переменные, ранжирующиеся по объектам. После каждой символической аксиомы или определения следует номер соответствующей формулы в Casati и Varzi, выделенный жирным шрифтом.

Мереологическая система требует по крайней мере одного примитивного бинарного отношения ( диадического предиката ). Наиболее общепринятым выбором для такого отношения является частичность (также называемая «включением»), « x является частью y » , пишется Pxy . Почти все системы требуют, чтобы частичность частично упорядочивала вселенную. Следующие определенные отношения, требуемые для аксиом ниже, немедленно вытекают из одной только частичности:

  • Непосредственно определяемый предикат — это «x является собственной частью y » , записанный как PPxy , который выполняется (т.е. удовлетворяется, становится истинным), если Pxy является истинным, а Pyx является ложным. По сравнению с parthood (который является частичным порядком ), ProperPart является строгим частичным порядком .
П П х у ↔ ( П х у ∧ ¬ П у х ) . {\displaystyle PPxy\leftrightarrow (Pxy\land \lnot Pyx).} 3.3
Объект, не имеющий собственных частей, является атомом . Мереологическая вселенная состоит из всех объектов, о которых мы хотим думать, и всех их собственных частей:
  • Перекрытие : x и y перекрываются, обозначаются как Oxy , если существует объект z, такой что Pzx и Pzy оба выполняются.
О х у ↔ ∃ з [ П з х ∧ П з у ] . {\displaystyle Oxy\leftrightarrow \exists z[Pzx\land Pzy].} 3.1
Части z , «перекрытие» или «произведение» x и y , — это именно те объекты, которые являются частями как x , так и y .
  • Underlap : x и y underlap, обозначается как Uxy , если существует объект z, такой что x и y являются частями z .
У х у ↔ ∃ з [ П х з ∧ П у з ] . {\displaystyle Uxy\leftrightarrow \exists z[Pxz\land Pyz].} 3.2

Overlap и Underlap являются рефлексивными , симметричными и нетранзитивными .

Системы различаются в том, какие отношения они принимают за примитивные и как определенные. Например, в экстенсиональных мереологиях (определенных ниже) parthood может быть определена из Overlap следующим образом:

П х у ↔ ∀ з [ О з х → О з у ] . {\displaystyle Pxy\leftrightarrow \forall z[Ozx\rightarrow Ozy].} 3.31

Аксиомы таковы:

М1, Рефлексивный : Объект является частью самого себя.
  П х х . {\displaystyle \ Pxx.} П.1
M2, антисимметричный : если Pxy и Pyx оба выполняются, то x и y являются одним и тем же объектом.
( П х у ∧ П у х ) → х = у . {\displaystyle (Pxy\land Pyx)\rightarrow x=y.} П.2
M3, транзитивный : если Pxy и Pyz , то Pxz .
( П х у ∧ П у з ) → П х з . {\displaystyle (Pxy\land Pyz)\rightarrow Pxz.} П.3
  • M4, слабое дополнение : если PPxy выполняется, то существует z, такой что Pzy выполняется, а Ozx — нет.
П П х у → ∃ з [ П з у ∧ ¬ О з х ] . {\displaystyle PPxy\rightarrow \exists z[Pzy\land \lnot Ozx].} стр.4
  • M5, сильное дополнение : если Pyx не выполняется, то существует z, такое что Pzy выполняется, а Ozx — нет.
¬ П у х → ∃ з [ П з у ∧ ¬ О з х ] . {\displaystyle \lnot Pyx\rightarrow \exists z[Pzy\land \lnot Ozx].} С.5
  • M5', атомистическое дополнение : если Pxy не выполняется, то существует атом z, такой что Pzx выполняется, но Ozy — нет.
¬ П х у → ∃ з [ П з х ∧ ¬ О з у ∧ ¬ ∃ в [ П П в з ] ] . {\displaystyle \lnot Pxy\rightarrow \exists z[Pzx\land \lnot Ozy\land \lnot \exists v[PPvz]].} Стр.5'
  • Вверху : существует «универсальный объект», обозначенный W , такой, что PxW выполняется для любого x .
∃ Вт ∀ х [ П х Вт ] . {\displaystyle \exists W\forall x[PxW].} 3.20
Верх является теоремой, если выполняется M8.
  • Внизу : существует атомарный «нулевой объект», обозначенный N , такой, что PNx выполняется для любого x .
∃ Н ∀ х [ П Н х ] . {\displaystyle \exists N\forall x[PNx].} 3.22
  • M6, Сумма : Если выполняется Uxy , то существует z , называемый «суммой» или «слиянием» x и y , такой, что объекты, перекрывающие z, — это просто те объекты, которые перекрывают либо x , либо y .
У х у → ∃ з ∀ в [ О в з ↔ ( О в х ∨ О в у ) ] . {\displaystyle Uxy\rightarrow \exists z\forall v[Ovz\leftrightarrow (Ovx\or Ovy)].} С.6
  • M7, Произведение : Если Oxy выполняется, то существует z , называемое «произведением» x и y , такое, что части z — это просто те объекты, которые являются частями как x, так и y .
О х у → ∃ з ∀ в [ П в з ↔ ( П в х ∧ П в у ) ] . {\displaystyle Oxy\rightarrow \exists z\forall v[Pvz\leftrightarrow (Pvx\land Pvy)].} С.7
Если условие Oxy не выполняется, то x и y не имеют общих частей, а произведение x и y не определено.
∃ х [ ϕ ( х ) ] → ∃ з ∀ у [ О у з ↔ ∃ х [ ϕ ( х ) ∧ О у х ] ] . {\displaystyle \exists x[\phi (x)]\to \exists z\forall y[Oyz\leftrightarrow \exists x[\phi (x)\land Oyx]].} С.8
M8 также называется «Общим принципом суммы», «Неограниченной мереологической композицией» или «Универсализмом». M8 соответствует принципу неограниченного понимания наивной теории множеств , который порождает парадокс Рассела . Мереологического аналога этому парадоксу не существует просто потому, что частичность , в отличие от членства во множестве, является рефлексивной .
  • M8', Уникальное слияние : Слияния, существование которых утверждает M8, также уникальны. P.8'
  • M9, Атомарность : Все объекты представляют собой либо атомы, либо слияния атомов.
∃ у [ П у х ∧ ∀ з [ ¬ П П з у ] ] . {\displaystyle \exists y[Pyx\land \forall z[\lnot PPzy]].} С.10

Различные системы

Саймонс (1987), Касати и Варзи (1999) и Ховда (2008) описывают множество мереологических систем, аксиомы которых взяты из приведенного выше списка. Мы принимаем жирную номенклатуру Касати и Варзи. Наиболее известная из таких систем — это система, называемая классической экстенсиональной мереологией , далее сокращенно CEM (другие сокращения объясняются ниже). В CEM , P.1 — P.8' считаются аксиомами или являются теоремами. M9, Top и Bottom являются необязательными.

Системы в таблице ниже частично упорядочены по включению , в том смысле, что если все теоремы системы A являются также теоремами системы B, но обратное не обязательно верно , то B включает A. Полученная диаграмма Хассе похожа на рис. 3.2 в работе Casati and Varzi (1999: 48).

ЭтикеткаИмяСистемаВключенные аксиомы
М1Рефлексивность
М2Антисимметрия
М3ТранзитивностьММ1, М2, М3
М4Слабое дополнениеМММ , М4
М5Сильное дополнениеЭММ , М5
М5'Атомистическое дополнение
М6Сумма
М7ПродуктКЕМЭМ , М6, М7
М8Неограниченное слияниеГММ , М8
ДЖЕМЭМ , М8
М8'Уникальный сплавДЖЕМЭМ , М8'
М9АтомарностьАГЕММ2, М8, М9
АГЕММ , М5', М8

Есть два эквивалентных способа утверждать, что вселенная частично упорядочена : Предположим либо M1-M3, либо что Proper Parthood транзитивен и асимметричен , отсюда строгий частичный порядок . Любая аксиоматизация приводит к системе M. M2 исключает замкнутые циклы, образованные с помощью Parthood, так что отношение части является обоснованным . Множества являются обоснованными, если предполагается аксиома регулярности . В литературе время от времени встречаются философские и здравомыслящие возражения против транзитивности Parthood.

M4 и M5 — это два способа утверждения дополнения, мереологического аналога множества дополнения , при этом M5 сильнее, поскольку M4 выводится из M5. M и M4 дают минимальную мереологию, MM . Переформулированная в терминах Собственной Части, MM — это предпочтительная минимальная система Саймонса (1987).

В любой системе, в которой M5 или M5' предполагаются или могут быть выведены, можно доказать, что два объекта, имеющие одни и те же собственные части, идентичны. Это свойство известно как Экстенсиональность , термин, заимствованный из теории множеств, для которой экстенсиональность является определяющей аксиомой. Мереологические системы, в которых Экстенсиональность имеет место, называются экстенсиональными , факт, обозначаемый включением буквы E в их символические имена.

M6 утверждает, что любые два перекрывающихся объекта имеют уникальную сумму; M7 утверждает, что любые два перекрывающихся объекта имеют уникальное произведение. Если вселенная конечна или если предполагается Top , то вселенная замкнута относительно Sum . Универсальное замыкание Product и дополнения относительно W требует Bottom . W и N , очевидно, являются мереологическими аналогами универсальных и пустых множеств , а Sum и Product также являются аналогами теоретико- множественного объединения и пересечения . Если M6 и M7 либо предполагаются, либо выводятся, результатом является мереология с замыканием.

Поскольку Sum и Product являются бинарными операциями, M6 и M7 допускают сумму и произведение только конечного числа объектов. Аксиома Unrestricted Fusion , M8, позволяет брать сумму бесконечного числа объектов. То же самое справедливо для Product , если она определена. На этом этапе мереология часто ссылается на теорию множеств , но любое обращение к теории множеств можно устранить, заменив формулу с квантифицированной переменной, пробегающей вселенную множеств, на схематическую формулу с одной свободной переменной . Формула оказывается истинной (выполняется) всякий раз, когда имя объекта, который был бы членом множества (если бы он существовал), заменяет свободную переменную. Следовательно, любая аксиома с множествами может быть заменена схемой аксиом с монадическими атомарными подформулами. M8 и M8' являются схемами именно такого рода. Синтаксис теории первого порядка может описывать только счетное число множеств; Следовательно, таким образом можно исключить только счетное число множеств, но это ограничение не является обязательным для рассматриваемого здесь вида математики.

Если M8 выполняется, то W существует для бесконечных вселенных. Следовательно, Top нужно предполагать только если вселенная бесконечна и M8 не выполняется. Top (постулирующий W ) не является спорным, а Bottom (постулирующий N ) является спорным. Лесьневский отверг Bottom , и большинство мереологических систем следуют его примеру (исключением является работа Ричарда Милтона Мартина ). Следовательно, в то время как вселенная замкнута относительно суммы, произведение объектов, которые не перекрываются, обычно не определено. Система с W , но не с N изоморфна:

  • Булева алгебра, в которой отсутствует 0;
  • полурешетка соединений , ограниченная сверху 1. Бинарное слияние и W интерпретируют соединение и 1 соответственно.

Постулирование N делает все возможные продукты определимыми, но также преобразует классическую экстенсиональную мереологию в модель булевой алгебры , свободную от множеств .

Если множества допускаются, M8 утверждает существование слияния всех членов любого непустого множества. Любая мереологическая система, в которой выполняется M8, называется общей , и ее имя включает G. В любой общей мереологии M6 и M7 доказуемы. Добавление M8 к экстенсиональной мереологии приводит к общей экстенсиональной мереологии , сокращенно GEM ; более того, экстенсиональность делает слияние уникальным. С другой стороны, однако, если слияние, утверждаемое M8, предполагается уникальным, так что M8' заменяет M8, то — как показал Тарский (1929) — M3 и M8' достаточны для аксиоматизации GEM , что является удивительно экономичным результатом. Саймонс (1987: 38–41) перечисляет ряд теорем GEM .

M2 и конечная вселенная обязательно подразумевают Атомичность , а именно, что все либо является атомом, либо включает атомы среди своих собственных частей. Если вселенная бесконечна, Атомичность требует M9. Добавление M9 к любой мереологической системе, X приводит к ее атомистическому варианту, обозначаемому AX . Атомичность допускает экономию, например, предполагая, что M5' подразумевает Атомичность и экстенсиональность, и дает альтернативную аксиоматизацию AGEM .

Теория множеств

С самого начала теории множеств существовал спор между пониманием множеств «мереологически», где множество является мереологической суммой своих элементов, и пониманием множеств «коллективно», где множество является чем-то «сверх и сверх» своих элементов. [6] Последняя концепция в настоящее время доминирует, но некоторые из самых ранних теоретиков множеств придерживались мереологической концепции: Рихард Дедекинд в «Was sind und was sollen die Zahlen?» (1888) избегал пустого множества и использовал один и тот же символ для принадлежности множеству и включения множеству, [7] что является двумя признаками того, что он понимал множества мереологически. [6] Аналогично, Эрнст Шрёдер в «Vorlesungen über die Algebra der Logik» (1890) [8] также использовал мереологическую концепцию. [6] Готтлоб Фреге в обзоре работы Шредера 1895 года [9] первым изложил разницу между коллекциями и мереологическими суммами. [6] Тот факт, что Эрнст Цермело принял коллективную концепцию, когда написал свою влиятельную аксиоматизацию теории множеств 1908 года [10] [11] , безусловно, имеет значение для ее нынешней популярности, хотя и не полностью объясняет ее. [6]

В теории множеств синглтоны являются «атомами», не имеющими (непустых) собственных частей; теория множеств, в которой множества не могут быть построены из единичных множеств, является нестандартным типом теории множеств, называемой не вполне обоснованной теорией множеств . Исчисление индивидов считалось [ кем? ] требующим, чтобы объект либо не имел собственных частей, в этом случае он является «атомом», либо был мереологической суммой атомов. Однако Эберле (1970) показал, как построить исчисление индивидов, в котором отсутствуют « атомы », т. е. такое, в котором каждый объект имеет « надлежащую часть », так что вселенная бесконечна.

Подробное сравнение мереологии, теории множеств и семантической «теории ансамбля» представлено в главе 13 книги Bunt (1985). [12]

Части классов

Философ Дэвид Льюис в своей работе 1991 года «Части классов » [13] аксиоматизировал теорию множеств Цермело-Френкеля (ZFC), используя только классическую мереологию, множественную квантификацию и примитивный оператор формирования синглтона [14] , управляемый аксиомами, которые напоминают аксиомы для «последователя» в арифметике Пеано . [15] Это контрастирует с более обычными аксиоматизациями ZFC, которые используют только примитивное понятие членства . [16] Работа Льюиса названа в честь его тезиса о том, что подклассы класса являются мереологическими частями класса (и аналогично, подмножества множества являются частями множества); этот тезис был оспорен. [17]

Майкл Поттер, создатель теории множеств Скотта–Поттера , критиковал работу Льюиса за то, что она не смогла сделать теорию множеств более понятной, поскольку Льюис говорит о своем примитивном операторе синглтона, что, учитывая необходимость (осознаваемую Льюисом) избегать философски мотивированного математического ревизионизма, «я должен сказать, стиснув зубы, что каким-то образом, я не знаю как, мы понимаем, что значит говорить об синглтонах». [18] Поттер говорит, что Льюис «мог бы так же легко сказать, стиснув зубы, что каким-то образом, он не знает как, мы понимаем, что значит говорить о членстве, и в этом случае не было бы необходимости в остальной части книги». [16]

Форрест (2002) пересмотрел анализ Льюиса, сначала сформулировав обобщение CEM , названное «мереологией Гейтинга», единственным нелогическим примитивом которой является Proper Part , предполагаемая транзитивной и антирефлексивной . Согласно этой теории, существует «фиктивный» нулевой индивид, который является собственной частью каждого индивида; две схемы утверждают, что каждое объединение решеток существует (решетки являются полными ) и что meet распределяет по join. На этой мереологии Гейтинга Форрест строит теорию псевдомножеств , адекватную для всех целей, для которых были поставлены множества.

Основы математики

Мереология оказала влияние на ранние концепции теории множеств (см. § Теория множеств), которая в настоящее время рассматривается как основа всех математических теорий . [19] [20] Даже после того, как доминирующая в настоящее время «коллективная» концепция множеств стала общепринятой, мереология иногда разрабатывалась как альтернативная основа, особенно авторами, которые были номиналистами и поэтому отвергали абстрактные объекты , такие как множества. Преимущество мереологии для номиналистов заключается в том, что мереологические суммы, в отличие от коллективных множеств, считаются ничем «сверх и сверх» своих (возможно, конкретных) частей. [3]

Мереология все еще может быть ценной для неноминалистов: Эберле (1970) отстаивал «онтологическую невинность» мереологии, которая заключается в том, что можно использовать мереологию независимо от онтологической позиции относительно множеств. Эта невинность вытекает из того, что мереология формализуема одним из двух эквивалентных способов: квантифицированные переменные, ранжирующиеся по вселенной множеств , или схематические предикаты с единственной свободной переменной .

Тем не менее, Станислав Лесьневский и Нельсон Гудман , которые разработали классическую экстенсиональную мереологию, были номиналистами [21] и сознательно развивали мереологию как альтернативу теории множеств как основе математики. [4] Гудман [22] защищал принцип номинализма , который гласит, что если две сущности имеют одинаковые основные составляющие, они идентичны. [23] Большинство математиков и философов приняли теорию множеств как законную и ценную основу для математики, фактически отвергнув принцип номинализма в пользу какой-то другой теории, такой как математический платонизм . [23]

Ричард Милтон Мартин , который также был номиналистом, использовал версию исчисления индивидов на протяжении всей своей карьеры, начиная с 1941 года. Гудман и Куайн (1947) пытались разработать натуральные и действительные числа , используя исчисление индивидов, но в основном безуспешно; Куайн не перепечатал эту статью в своих Selected Logic Papers . В серии глав в книгах, которые он опубликовал в последнее десятилетие своей жизни, Ричард Милтон Мартин намеревался сделать то, от чего Гудман и Куайн отказались 30 лет назад. Повторяющаяся проблема с попытками обосновать математику в мереологии заключается в том, как построить теорию отношений , воздерживаясь от теоретико-множественных определений упорядоченной пары . Мартин утверждал, что теория реляционных индивидов Эберле (1970) решила эту проблему.

Берджесс и Розен (1997) дают обзор попыток основать математику без использования теории множеств, например, с помощью мереологии.

Общая теория систем

В общей теории систем мереология относится к формальной работе по декомпозиции системы и частям, целым и границам (например, Михайло Д. Месарович (1970), Габриэль Крон (1963) или Морис Джессел (см. Боуден (1989, 1998)). Иерархическая версия Network Tearing Габриэля Крона была опубликована Кейтом Боуденом (1991), отражая идеи Дэвида Льюиса о мусоре . Такие идеи появляются в теоретической информатике и физике , часто в сочетании с теорией пучков , топосом или теорией категорий . См. также работу Стива Викерса по (частям) спецификаций в информатике, Джозефа Гогуэна по физическим системам и Тома Эттера (1996, 1998) по теории связей и квантовой механике .

Лингвистическая семантика

Bunt (1985), исследование семантики естественного языка, показывает, как мереология может помочь понять такие явления, как различие массы и количества и глагольный аспект [ нужен пример ] . Но Nicolas (2008) утверждает, что для этой цели следует использовать другую логическую структуру, называемую логикой множественного числа . Кроме того, естественный язык часто использует «часть» неоднозначно (Simons 1987 подробно обсуждает это) [ нужен пример ] . Следовательно, неясно, как, если вообще можно, можно перевести определенные выражения естественного языка в мереологические предикаты. Чтобы избежать таких трудностей, может потребоваться ограничить интерпретацию мереологии математикой и естественными науками . Например, Casati и Varzi (1999) ограничивают сферу применения мереологии физическими объектами .

Метафизика

В метафизике есть много тревожных вопросов, касающихся частей и целых. Один вопрос касается конституции и сохранения, другой спрашивает о составе.

Мереологическая конституция

В метафизике есть несколько головоломок, касающихся случаев мереологического конституирования, то есть того, что составляет целое. [24] Все еще есть проблема с частями и целыми, но вместо того, чтобы рассматривать, какие части составляют целое, акцент делается на том, из чего сделана вещь, например, из ее материалов, например, бронза в бронзовой статуе. Ниже приведены две из основных головоломок, которые философы используют для обсуждения конституции.

Корабль Тесея: Вкратце, головоломка выглядит примерно так. Есть корабль, который называется Корабль Тесея . Со временем доски начинают гнить, поэтому мы убираем доски и складываем их в кучу. Первый вопрос: является ли корабль, сделанный из новых досок, тем же самым, что и корабль, у которого были все старые доски? Во-вторых, если мы реконструируем корабль, используя все старые доски и т. д. с Корабля Тесея, и у нас также есть корабль, который был построен из новых досок (каждая из которых добавлялась по одной с течением времени, чтобы заменить старые гниющие доски), какой корабль является настоящим Кораблем Тесея?

Статуя и кусок глины: Грубо говоря, скульптор решает слепить статую из куска глины. В момент времени t1 у скульптора есть кусок глины. После множества манипуляций в момент времени t2 получается статуя. Возникает вопрос, идентичны ли кусок глины и статуя (численно)? Если да, то как и почему? [25]

Конституция обычно имеет последствия для взглядов на сохранение: как объект сохраняется с течением времени, если какие-либо его части (материалы) изменяются или удаляются, как в случае с людьми, которые теряют клетки, меняют рост, цвет волос, воспоминания, и все же говорят, что мы являемся тем же человеком сегодня, каким мы были, когда мы только родились. Например, Тед Сайдер сегодня тот же самый, каким он был, когда он родился, — он просто изменился. Но как это может быть, если многие части Теда сегодня не существовали, когда Тед только родился? Возможно ли, чтобы такие вещи, как организмы, сохранялись? И если да, то как? Существует несколько взглядов, которые пытаются ответить на этот вопрос. Некоторые из взглядов следующие (обратите внимание, что есть несколько других взглядов): [26] [27]

(a) Конституционный взгляд. Этот взгляд допускает сосуществование. То есть, два объекта разделяют одну и ту же материю. Здесь следует, что нет никаких временных частей.

(b) Мереологический эссенциализм , который утверждает, что единственные существующие объекты — это количества материи, которые являются вещами, определяемыми своими частями. Объект сохраняется, если материя удалена (или форма изменена); но объект прекращает свое существование, если какая-либо материя уничтожена.

(c) Доминантные сорта. Это точка зрения, что трассировка определяется тем, какой сорт является доминирующим; они отвергают сожительство. Например, lump не равен statue, потому что это разные «сорта».

(d) Нигилизм — утверждает, что не существует никаких объектов, кроме простых, поэтому нет и проблемы сохранения.

(e) 4-мерность или временные части (также могут называться perdurantism или exdurantism ), которая грубо утверждает, что совокупности временных частей тесно связаны. Например, две дороги, сливающиеся на мгновение и пространственно, все еще являются одной дорогой, потому что они разделяют часть.

(f) 3-мерность (также может называться эндурантизмом ), где объект присутствует полностью. То есть сохраняющийся объект сохраняет числовую идентичность.

Мереологическая композиция

Один из вопросов, который задают философы, заключается в том, что является более фундаментальным: части, целые или ни то, ни другое? [28] [29 ] [30] [31] [32] [ 33 ] [34] [35 ] [36] [37] Другой насущный вопрос называется вопросом специальной композиции (SCQ): для любых X, когда существует Y, такой что X составляют Y? [26] [38] [ 39] [40] [41] [42] [43] Этот вопрос заставил философов двигаться в трех разных направлениях: нигилизм, универсальная композиция (UC) или умеренная точка зрения (ограниченная композиция). Первые две точки зрения считаются крайними, поскольку первая отрицает композицию, а вторая позволяет любым и всем непространственно перекрывающимся объектам составлять другой объект. Умеренная точка зрения охватывает несколько теорий, которые пытаются осмыслить SCQ, не говоря «нет» композиции или «да» неограниченной композиции.

Фундаментальность

Есть философы, которых волнует вопрос фундаментальности. То есть, что более онтологически фундаментально — части или их целые. На этот вопрос есть несколько ответов, хотя одно из стандартных предположений заключается в том, что части более фундаментальны. То есть целое основано на своих частях. Это общепринятая точка зрения. Другая точка зрения, исследованная Шаффером (2010), — это монизм, где части основаны на целом. Шаффер не просто имеет в виду, что, скажем, части, составляющие мое тело, основаны на моем теле. Скорее, Шаффер утверждает, что весь космос более фундаментален, а все остальное является частью космоса. Затем есть теория идентичности, которая утверждает, что нет иерархии или фундаментальности для частей и целых. Вместо этого целые являются просто (или эквивалентны) своим частям. Также может быть двухобъектная точка зрения, которая говорит, что целые не равны частям — они численно отличны друг от друга. Каждая из этих теорий имеет свои преимущества и издержки, связанные с ними. [28] [29] [30] [31]

Специальный вопрос по составу

Философы хотят знать, когда некоторые X составляют что-то Y. Существует несколько видов ответов:

  • Один из ответов — нигилизм . Согласно нигилизму, не существует мереологических сложных объектов (составных объектов), есть только простые . Нигилисты не полностью отвергают композицию, потому что они думают, что простые составляют себя сами, но это другой вопрос. Более формально, нигилисты сказали бы: Обязательно, для любых неперекрывающихся X, существует объект, состоящий из X, если и только если есть только один из X. [39] [43] [44] Эта теория, хотя и хорошо изучена, имеет свои собственные проблемы: она, кажется, противоречит опыту и здравому смыслу, несовместима с безатомным мусором и не поддерживается физикой пространства-времени. [39] [43]
  • Другой известный ответ — универсальная композиция (UC). Согласно UC, пока X не перекрываются пространственно, они могут составлять сложный объект. Сторонники универсальной композиции также поддерживают неограниченную композицию. Более формально: обязательно, для любых неперекрывающихся X, существует Y, такой что Y состоит из X. Например, чей-то левый большой палец, верхняя половина правого ботинка другого человека и кварк в центре его галактики могут составлять сложный объект. Эта теория также имеет некоторые недостатки, наиболее заметным из которых является то, что она допускает слишком много объектов.
  • Третий ответ (возможно, менее изученный, чем два других) включает ряд ограниченных взглядов на состав . Существует несколько взглядов, но все они разделяют идею: что существует ограничение на то, что считается сложным объектом: некоторые (но не все) X объединяются, чтобы составить сложный Y. Некоторые из этих теорий включают:

(а) Контакт — X составляют комплекс Y тогда и только тогда, когда X находятся в контакте;

(б) Крепление — X составляют комплекс Y тогда и только тогда, когда X закреплены;

(c) Сплоченность — X составляют сложный Y тогда и только тогда, когда X связаны (не могут быть разорваны или перемещены относительно друг друга без разрушения);

(d) Слияние — X составляют комплекс Y тогда и только тогда, когда X слиты (соединены вместе таким образом, что нет границы);

(e) Организм — X составляют сложный Y тогда и только тогда, когда либо деятельность X составляет жизнь, либо существует только один из X; [44] и

(f) Брутальная композиция — «Просто так обстоят дела». Не существует истинного, нетривиального и конечно длинного ответа. [45]

Продолжается изучение еще многих гипотез. Общей проблемой этих теорий является их неопределенность. Например, остается неясным, что означают слова «закрепленный» или «жизнь». Существуют и другие проблемы с ответами об ограниченном составе, многие из которых зависят от того, какая теория обсуждается. [39]

  • Четвертый ответ — дефляционизм . Согласно дефляционизму, способ использования термина «существовать» варьируется, и, таким образом, все приведенные выше ответы на SCQ могут быть правильными, если индексировать их на соответствующее значение «существовать». Кроме того, не существует привилегированного способа использования термина «существовать». Следовательно, не существует привилегированного ответа на SCQ, поскольку не существует привилегированного условия для того, когда X составляют Y. Вместо этого дебаты сводятся к простому словесному спору, а не к подлинным онтологическим дебатам. Таким образом, SCQ является частью более масштабных дебатов в общем онтологическом реализме и антиреализме. Хотя дефляционизм успешно избегает SCQ, это происходит за счет онтологического антиреализма, так как природа не имеет объективной реальности, поскольку, если нет привилегированного способа объективно подтвердить существование объектов, сама природа не должна иметь объективности. [46]

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ abc Шампольон, Лукас; Крифка, Манфред (2016), Алони, Мария; Деккер, Пол (ред.), «Mereology», Кембриджский справочник по формальной семантике , Кембриджские справочники по языку и лингвистике, Кембридж: Cambridge University Press, стр.  369–388 , doi :10.1017/cbo9781139236157.014, ISBN 978-1-139-23615-7, получено 2024-04-21
  2. ^ ab Cotnoir, AJ; Varzi, Achille C. (2021). «Что такое мереология?». Мереология. Нью-Йорк: Oxford University Press. ISBN 9780191811647.
  3. ^ abc Varzi, Achille (2019), Zalta, Edward N. (ред.), "Mereology", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (весеннее издание 2019 г.), Metaphysics Research Lab, Stanford University , дата обращения 21 апреля 2024 г.
  4. ^ ab Ландо, Джорджио (2017-06-29). Мереология: философское введение. Bloomsbury Publishing. стр. 71. ISBN 978-1-4725-8367-3.
  5. ^ Буннин, Николас; Ю, Цзиюань (2004). Словарь Блэквелла западной философии . Молден, Массачусетс: Паб Blackwell. п. 424. ИСБН 978-1-4051-0679-5.
  6. ^ abcde Поттер, Майкл (2004-01-15). Теория множеств и ее философия: критическое введение. Clarendon Press. стр. 23. ISBN 978-0-19-155643-2.
  7. ^ Дедекинд, Ричард (2012). Был ли грех и был ли соллен умереть Зален? Коллекция Кембриджской библиотеки — Математика. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-108-05038-8.
  8. ^ Эрнст Шредер (1891). Vorlesungen über die алгебра der logik exakte logik (на немецком языке). Принстонский университет. Б. Г. Тойбнер.
  9. ^ Фреге, Готтлоб (1895). Kritische Beleuchtung einiger Punkte in E. Schröders Vorlesungen über die Algebra der Logik (на немецком языке). Тойбнер.
  10. ^ Цермело, Э. (1 июня 1908 г.). «Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre. I». Mathematische Annalen (на немецком языке). 65 (2): 261–281 . doi : 10.1007/BF01449999. ISSN  1432-1807.
  11. ^ Халлетт, Майкл (2024), «Аксиоматизация теории множеств Цермело», в Zalta, Эдвард Н.; Nodelman, Ури (ред.), Стэнфордская энциклопедия философии (ред. осень 2024 г.), Исследовательская лаборатория метафизики, Стэнфордский университет , получено 09.01.2025
  12. ^ Бунт, Гарри С. (1985-11-14). Массовые термины и теоретико-модельная семантика. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-25681-0.
  13. ^ Льюис, Дэвид К. (1991). Части классов. Архив Интернета. Оксфорд; Кембридж, Массачусетс. : B. Blackwell. ISBN 978-0-631-17655-8.
  14. ^ Форрест, Питер (1991-06-01). "Обзор книги: Дэвид Льюис. Части классов". Notre Dame Journal of Formal Logic . 32 (3). doi :10.1305/ndjfl/1093635842. ISSN  0029-4527.
  15. ^ Котнуар, А. Дж.; Варзи, Ахилл К. (2021). Мереология. Oxford University Press. стр. 244. ISBN 978-0-19-874900-4.
  16. ^ ab Potter, Michael (1993). «Обзор частей классов». The Philosophical Quarterly (1950-) . 43 (172): 362– 366. doi :10.2307/2219902. ISSN  0031-8094. JSTOR  2219902.
  17. ^ Оливер, Алекс (1994). «Являются ли подклассы частями классов?». Анализ . 54 (4): 215– 223. doi :10.2307/3328808. ISSN  0003-2638. JSTOR  3328808.
  18. ^ "Вольфганг Шварц :: Магия, миры, числа и множества". www.umsu.de . Получено 2025-01-09 .
  19. ^ Багария, Джоан (2023), «Теория множеств», в Zalta, Edward N.; Nodelman, Uri (ред.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (весна 2023 г.), Metaphysics Research Lab, Stanford University , получено 2025-01-09
  20. ^ "Теория множеств | Интернет-энциклопедия философии" . Получено 2025-01-09 .
  21. ^ Хинтикка, Яакко; Чарнецкий, Тадеуш; Кияния-Плачек, К.; Плачек, Томаш; Ройщак, Артур (2013-06-29). Философия и логика в поисках польской традиции: эссе в честь Яна Воленского по случаю его 60-летия. Springer Science & Business Media. стр. 39. ISBN 978-94-017-0249-2.
  22. ^ Гудман, Нельсон (1964), Патнэм, П. Бенасерраф Х. (ред.), «Мир индивидуумов» Цитируется по П. Бенасеррафу и Х. Патнэму, Философия математики , Prentice-Hall, стр. 209 , получено 09.01.2025
  23. ^ ab Linnebo, Øystein (2024), Zalta, Edward N.; Nodelman, Uri (ред.), «Платонизм в философии математики», The Stanford Encyclopedia of Philosophy (лето 2024 г.), Metaphysics Research Lab, Stanford University , дата обращения 09.01.2025
  24. ^ Вассерман, Райан (5 июля 2017 г.). «Mereological Constitution». В Zalta, Edward N. (ред.). Stanford Encyclopedia of Philosophy (ред. осень 2018 г.).
  25. ^ Ри, Майкл (1995). «Проблема материальной конституции». The Philosophical Review . 104 (4): 525–552 . doi :10.2307/2185816. JSTOR  2185816.
  26. ^ ab Ney, Alyssa (2014). Метафизика: Введение . Routledge.
  27. ↑ В Theodore Sider, John Hawthorne & Dean W. Zimmerman (ред.), Contemporary Debates in Metaphysics . Blackwell Pub. 241—262 (2007).
  28. ^ ab Healey, Richard; Uffink, Jos (2013). «Часть и целое в физике: Введение». Исследования по истории и философии науки , часть B. 44 (1): 20– 21. Bibcode :2013SHPMP..44...20H. doi :10.1016/j.shpsb.2011.11.004.
  29. ^ ab Healey, Richard (2013). «Физический состав». Исследования по истории и философии науки Часть B. 44 ( 1): 48– 62. Bibcode :2013SHPMP..44...48H. doi :10.1016/j.shpsb.2011.05.001.
  30. ^ ab Каданофф, Лео (2013). «Связывание теорий посредством перенормировки». Исследования по истории и философии науки, часть B. 44 ( 1): 22– 39. arXiv : 1102.3705 . Bibcode :2013SHPMP..44...22K. doi :10.1016/j.shpsb.2012.05.002. S2CID  52243933.
  31. ^ ab Ghirardi, GianCarlo (2013). «Части и целое: теории коллапса и системы с идентичными составляющими». Исследования по истории и философии науки, часть B. 44 ( 1): 40– 47. Bibcode : 2013SHPMP..44...40G. doi : 10.1016/j.shpsb.2011.06.002.
  32. ^ Шаффер, Джонатан (2010). «Монизм: приоритет целого». Philosophical Review . 119 (1): 31– 76. doi :10.1215/00318108-2009-025.
  33. ^ Кэмерон, Росс (2014). «Части порождают целое, но они не идентичны ему». В Аароне Котнуаре; Дональде Бакстере (ред.). Композиция как идентичность . Oxford University Press.
  34. ^ Лосс, Роберто (2016). «Части составляют целое и идентичны ему». Australasian Journal of Philosophy . 94 (3): 489– 498. doi :10.1080/00048402.2015.1119864. S2CID  170812833.
  35. ^ Котнуар, Аарон (2014). Котнуар, Аарон Дж.; Бакстер, Дональд Л. М. (ред.). Композиция как идентичность: обрамление дебатов . Oxford University Press. doi :10.1093/acprof:oso/9780199669615.001.0001. ISBN 9780199669615.
  36. ^ Сайдер, Тед (2015). «Ничего сверх того». Грацер Философское исследование . 91 : 191–216 . doi : 10.1163/9789004302273_009.
  37. ^ Уоллес, Меган (2011). «Композиция как идентичность: Pt. I & II». Philosophy Compass . 6 (11): 804– 827. doi :10.1111/j.1747-9991.2011.00431.x.
  38. ^ Джеймс ван Клив (2008). «Луна и грош: защита мереологического универсализма». В книге Sider, Ted (ред.). Современные дебаты в метафизике . Blackwell Publishing.
  39. ^ abcd Нед Маркосян (2008). «Ограниченная композиция». В Sider, Ted (ред.). Современные дебаты в метафизике . Blackwell Publishing. стр.  341–363 .
  40. ^ Макдэниел, Крис (2010). «Части и целые». Philosophy Compass . 5 (5): 412– 425. doi :10.1111/j.1747-9991.2009.00238.x.
  41. ^ Корман, Дэниел; Кармайкл, Чад (2016). «Сочинение (Черновик: 29.09.15)». Oxford Handbooks Online . 1. doi :10.1093/oxfordhb/9780199935314.013.9.
  42. ^ Варзи, Ахилл (2019). Мереология. Лаборатория метафизических исследований, Стэнфордский университет.
  43. ^ abc Sider, Ted (2013). «Против парциальности». Oxford Studies in Metaphysics . 8 : 237–293 .
  44. ^ ab van Inwagen, Peter (1990). Материальные существа . Cornell University Press.
  45. ^ Маркосян, Нед (1998). «Жестокая композиция». Философские исследования . 92 (3): 211– 249. doi :10.1023/a:1004267523392. S2CID  2174065.
  46. ^ Хирш, Эли (2005). «Онтология физических объектов, вербальные споры и здравый смысл». Философия и феноменологические исследования . 70 (1): 67– 97. doi :10.1111/j.1933-1592.2005.tb00506.x. S2CID  170993549.

Источники

  • Боуден, Кит, 1991. Иерархическое разбиение: эффективный голографический алгоритм для разложения системы , Int. J. General Systems, т. 24(1), стр. 23–38.
  • Боуден, Кит, 1998. Принцип Гюйгенса, Физика и компьютеры . Int. J. General Systems, т. 27(1–3), стр. 9–32.
  • Бунт, Гарри, 1985. Массовые термины и теоретико-модельная семантика . Cambridge Univ. Press.
  • Берджесс, Джон П. и Розен, Гидеон , 1997. Субъект без объекта . Oxford Univ. Press.
  • Буркхардт, Х. и Дюфур, К. А., 1991, «Часть/Целое I: История» в книге Буркхардта, Х. и Смита, Б., ред., Справочник по метафизике и онтологии . Мюнхен: Philosophia Verlag.
  • Казати, Роберто и Варци, Ахилл К. , 1999. Части и места: структуры пространственного представления . MIT Press.
  • Котнуар, А. Дж. и Варзи, Ахилл К. , 2021, Мереология , Oxford University Press.
  • Эберле, Рольф, 1970. Номиналистические системы . Клювер.
  • Эттер, Том, 1996. Квантовая механика как раздел мереологии в работе Тоффоли Т. и др. , PHYSCOMP96, Труды Четвертого семинара по физике и вычислениям , Институт сложных систем Новой Англии.
  • Эттер, Том, 1998. Процесс, система, причинность и квантовая механика . SLAC-PUB-7890, Стэнфордский центр линейных ускорителей.
  • Форрест, Питер , 2002, «Неклассическая мереология и ее применение к множествам», Notre Dame Journal of Formal Logic 43 : 79–94.
  • Gerla, Giangiacomo, (1995). «Бесточечные геометрии», в Buekenhout, F., Kantor, W. eds., «Справочник по геометрии инцидентности: здания и фундаменты». North-Holland: 1015–31.
  • Гудман, Нельсон , 1977 (1951). Структура явления . Клювер.
  • Гудман, Нельсон и Куайн, Уиллард , 1947, «Шаги к конструктивному номинализму», Журнал символической логики 12: 97–122.
  • Грущинский, Р. и Петрушчак, А., 2008, «Полное развитие геометрии твердых тел Тарского», Бюллетень символической логики 14: 481–540. Система геометрии, основанная на мереологии Лесневского, с основными свойствами мереологических структур.
  • Ховда, Пол, 2008, «Что такое классическая мереология?» Журнал философской логики 38(1): 55–82.
  • Гуссерль, Эдмунд , 1970. Логические исследования, т. 2. Финдли, Дж. Н., перевод Рутледжа.
  • Крон, Габриэль, 1963, Диакоптика: кусочное решение крупномасштабных систем . Macdonald, Лондон.
  • Льюис, Дэвид К. , 1991. Части классов . Блэквелл.
  • Леонард, Х.С. и Гудман, Нельсон , 1940, «Исчисление индивидов и его применение», Журнал символической логики 5 : 45–55.
  • Лесьневский, Станислав , 1992. Собрание сочинений . Сурма, С. Дж., Сжедницкий, Дж. Т., Барнетт, Д. И., и Рики, В. Ф., редакторы и переводчики. Kluwer.
  • Лукас, Дж. Р. , 2000. Концептуальные корни математики . Routledge. Гл. 9.12 и 10 обсуждают мереологию, мереотопологию и связанные с ними теории А. Н. Уайтхеда , все из которых находятся под сильным влиянием неопубликованных трудов Дэвида Бостока .
  • Месарович, М. Д., Мацко, Д. и Такахара, Й., 1970, «Теория многоуровневых иерархических систем». Academic Press.
  • Николас, Дэвид, 2008, «Неисчислимые существительные и логика множественного числа», Лингвистика и философия 31(2): 211–44.
  • Петрушчак, Анджей, 1996, «Мереологические множества дистрибутивных классов», Логика и логическая философия 4: 105–22. Конструирует, используя мереологию, математические сущности из теоретико-множественных классов.
  • Петрушчак, Анджей, 2005, «Части мереологии», Логика и логическая философия 14: 211–34. Основные математические свойства мереологии Лесневского.
  • Петрущак, Анджей, 2018, Метамерология , Научное издательство Университета Николая Коперника.
  • Поттер, Майкл, 2004. Теория множеств и ее философия . Oxford Univ. Press.
  • Саймонс, Питер , 1987 (переиздано в 2000). Части: Исследование онтологии . Oxford Univ. Press.
  • Srzednicki, JTJ, и Rickey, VF, ред., 1984. Системы Лесневского: онтология и мереология . Kluwer.
  • Тарский, Альфред , 1984 (1956), «Основы геометрии твердых тел» в его «Логике, семантике, метаматематике: статьи 1923–38» . Вуджер, Дж., и Коркоран, Дж., ред. и перевод. Хакетт.
  • Варци, Ахилл К. , 2007, «Пространственное рассуждение и онтология: части, целые и местоположения» в книге Айелло, М. и др., ред., Справочник по пространственной логике . Springer-Verlag: 945–1038.
  • Уайтхед, AN , 1916, «La Theorie Relationiste de l'Espace», Revue de Metaphysical et de Morale 23 : 423–454. Переведено как Херли, П.Дж., 1979, «Реляционная теория пространства», Philosophy Research Archives 5 : 712–741.
  • ------, 1919. Исследование принципов естественного знания . Cambridge Univ. Press. 2-е изд., 1925.
  • ------, 1920. Концепция природы . Cambridge Univ. Press. 2004, мягкая обложка, Prometheus Books. Будучи лекциями Тарнера 1919 года, прочитанными в Тринити-колледже, Кембридж .
  • ------, 1978 (1929). Процесс и реальность . Свободная пресса.
  • Вуджер, Дж. Х. , 1937. Аксиоматический метод в биологии . Cambridge Univ. Press.
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Mereology&oldid=1272073864"