Аномалия четности

Для проверки этой статьи нужны дополнительные цитаты . Помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Материалы без источников могут быть оспорены и удалены. Найти источники:  «Аномалия четности» – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( апрель 2022 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В теоретической физике говорят, что квантовая теория поля имеет аномалию четности , если ее классическое действие инвариантно относительно изменения четности Вселенной, но квантовая теория не инвариантна.

Этот вид аномалии может возникнуть в нечетномерных калибровочных теориях с фермионами, калибровочные группы которых имеют нечетные дуальные числа Коксетера . Они были впервые введены Антти Дж. Ниеми и Гордоном Уолтером Семеновым в письме Axial-Anomaly-Induced Fermion Fractionization and Effective Gauge-Theory Actions in Odd-Dimensional Space-Times и А. Норманом Редлихом в письме Gauge Noninvariance and Parity Nonconservation of Three-Dimensional Fermions и статье Parity violence and gauge noninvariance of the effective gauge field action in three dimensions. Это в некотором смысле нечетномерная версия аномалии SU(2) Эдварда Виттена в 4-мериях, и на самом деле Редлих пишет, что его демонстрация следует за Виттеном.

Рассмотрим классическую четно-инвариантную калибровочную теорию, калибровочная группа которой G имеет дуальное число Кокстера h в 3-мерном пространстве. Включите n фермионов Майораны , которые преобразуются при действительном представлении G. Эта теория наивно страдает от ультрафиолетовой расходимости . Если включить калибровочно-инвариантный регулятор , то квантовая четность теории будет нарушена, если h и n нечетны.

Рассмотрим, например, регуляризацию Паули–Вилларса . Нужно добавить n массивных майорановских фермионов с противоположной статистикой и довести их массы до бесконечности. Сложность возникает из-за того, что трехмерный майорановский массовый член не является инвариантом четности, поэтому существует вероятность, что нарушение инвариантности четности может остаться, когда масса стремится к бесконечности. Действительно, это источник аномалии.${\displaystyle м{\overline {\psi }}\psi }$

Если n четно, то можно переписать n фермионов Майораны как n /2 фермионов Дирака . Они имеют инвариантные по четности массовые члены, и поэтому Паули–Вилларс может использоваться для регулирования расходимостей, и аномалия четности не возникает. Следовательно, для четного n аномалии нет. Более того, поскольку вклад 2n фермионов Майораны в статистическую сумму является квадратом вклада n фермионов, квадрат вклада в аномалию n фермионов должен быть равен единице. Следовательно, аномальная фаза может быть равна только квадратному корню из единицы, другими словами, плюс или минус единица. Если она равна единице, то аномалии нет. Следовательно, вопрос в том, когда возникает неоднозначность в статистическом сумме множителя -1.

Мы хотим знать, когда выбор знака функции распределения неверен. Возможность того, что он неверен, существует, поскольку действие содержит фермионный кинетический член

${\displaystyle я{\overline {\psi }}(\partial _{\mu }+A_{\mu })\Gamma ^{\mu }\psi }$

где ψ — фермион Майораны, а A — векторный потенциал . В интеграле по траектории экспонента действия интегрируется по всем полям. При интегрировании вышеуказанного члена по фермионным полям получается множитель квадратного корня из определителя оператора Дирака для каждого из n фермионов Майораны.

Как обычно бывает с квадратным корнем, нужно определить его знак. Общая фаза статистической суммы не является наблюдаемой величиной в квантовой механике, и поэтому для данной конфигурации этот выбор знака может быть сделан произвольно. Но нужно проверить, что выбор знака является последовательным. Для этого давайте деформируем конфигурацию через конфигурационное пространство по пути, который в конечном итоге вернется к исходной конфигурации. Если выбор знака был последовательным, то, вернувшись к исходной конфигурации, мы получим исходный знак. Это то, что нужно проверить.

Исходное пространство-время трехмерно, назовем его пространством M. Теперь мы рассматриваем окружность в конфигурационном пространстве, что то же самое, что и одна конфигурация в пространстве . Чтобы узнать, сколько раз знак квадратного корня исчезает при движении по окружности, достаточно подсчитать количество нулей определителя в , потому что каждый раз, когда пара собственных значений меняет знак, будет ноль. Обратите внимание, что собственные значения идут парами, как обсуждалось, например, в Supersymmetric Index Of Three-Dimensional Gauge Theory, и поэтому всякий раз, когда одно собственное значение пересекает ноль, пересекаются два.${\displaystyle M\times S^{1}}$${\displaystyle M\times S^{1}}$

Подводя итог, мы хотим узнать, сколько раз знак квадратного корня определителя оператора Дирака меняет знак при обходе окружности. Собственные значения оператора Дирака идут парами, и знак меняется каждый раз, когда пара пересекает ноль. Таким образом, мы подсчитываем нули оператора Дирака в пространстве . Эти нули подсчитываются теоремой Атьи–Зингера об индексе , которая дает ответ h раз на второй класс Черна калибровочного расслоения над . Этот второй класс Черна может быть любым целым числом. В частности, это может быть единица, и в этом случае знак меняется h раз. Если знак меняется нечетное число раз, то функция распределения определена некорректно, и поэтому возникает аномалия.${\displaystyle M\times S^{1}}$${\displaystyle M\times S^{1}}$

В заключение мы обнаружили, что аномалия возникает, если число майорановских фермионов n нечетно и если дуальное число Кокстера h калибровочной группы также нечетно.

3-мерные калибровочные теории Черна–Саймонса также аномальны, когда их уровень полуцелый. Фактически, вывод идентичен приведенному выше. Используя теорему Стокса и тот факт, что внешняя производная действия Черна–Саймонса равна числу инстантонов , 4-мерная теория на имеет угол тета, равный уровню теории Черна–Саймонса, и поэтому 4-мерная статистическая сумма равна -1 точно тогда, когда число инстантонов нечетное. Это означает, что 3-мерная статистическая сумма плохо определена на коэффициент -1 при рассмотрении деформаций по пути с нечетным числом инстантонов.${\displaystyle M\times S^{1}}$

В частности, аномалии, возникающие из-за фермионов и членов Черна–Саймонса половинного уровня, будут сокращаться тогда и только тогда, когда число фермионов Майораны плюс удвоенный уровень Черна–Саймонса будет четным. В случае n=1 это утверждение является условием полуцелого квантования в суперсимметричных калибровочных теориях Черна–Саймонса, представленным в работе The Chern-Simons Coefficient in Supersymmetric Yang-Mills Chern-Simons Theories. При n=2 этот вклад в статсумму был обнаружен в и 3 калибровочных теориях в Branes and Supersymmetry Breaking in Three Dimensional Gauge Theories.${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$

Тот факт, что и члены Черна–Саймонса, и фермионы Майораны являются аномальными при деформациях с нечетными числами инстантонов, не является совпадением. Когда масса Паули–Вилларса для n фермионов Майораны стремится к бесконечности, Редлих обнаружил, что оставшийся вклад в статистическую сумму равен члену Черна–Саймонса на уровне − n /2. Это означает, в частности, что интегрирование n заряженных фермионов Майораны перенормирует уровень Черна–Саймонса соответствующей калибровочной теории на − n /2. Тот факт, что уровень Черна–Саймонса может принимать только дискретные значения, подразумевает, что константа связи не может входить в поправку к уровню. Это происходит только для 1-петлевой поправки, поэтому вклад фермионов Майораны в уровень Черна–Саймонса может быть точно вычислен на 1-петле, и все более высокие петлевые поправки исчезают.