Охлаждение и нагревание (комбинаторная теория игр)

Операции, регулирующие стимулы комбинаторных игр

В комбинаторной теории игр охлаждение , нагревание и перегрев — это операции над горячими играми , которые делают их более податливыми к традиционным методам теории, изначально разработанной для холодных игр , в которых победителем становится последний игрок, имеющий возможность сделать ход. ^[1]Перегрев был обобщен Элвином Берлекампом для анализа Blockbusting . ^[2]Охлаждение (или разогрев ) и потепление — это варианты, используемые при анализе эндшпиля в го . ^[3]^[4]

Охлаждение и заморозку можно рассматривать как налог на игрока, который двигается, заставляющий его платить за привилегию делать это, в то время как нагрев, подогрев и перегрев являются операциями, которые более или менее противоположны охлаждению и заморозке.

Основные операции: охлаждение, обогрев

Охлажденная игра (« охлажденная ») для игры и (сюрреалистического) числа определяется как ^[5] $G_{t}$ $G$ $т$ $G$ $т$

G_{t}={\begin{cases}\{G_{t}^{L}-t\mid G_{t}^{R}+t\}&{\text{ для всех чисел }}t\leq {\text{ любого числа }}\tau {\text{ для которого }}G_{\tau }{\text{ бесконечно близко к некоторому числу }}m{\text{ , }}\\m&{\text{ для }}t>\tau \end{cases}}

.

Величина , на которую происходит охлаждение, называется температурой ; минимум , при котором температура бесконечно близка к, называется температурой ; говорят , что она замерзает до ; — среднее значение (или просто среднее значение ) величины . $т$ $G$ $\тау$ $G_{\тау}$ $м$ $t(G)$ $G$ $G$ $G_{\тау}$ $м$ $G$

Нагревание является обратной величиной охлаждения и определяется как « интеграл » ^[6]

\int ^{t}G={\begin{cases}G&{\text{ если }}G{\text{ является числом, }}\\\{\int ^{t}(G^{L})+t\mid \int ^{t}(G^{R})-t\}&{\text{ в противном случае. }}\end{cases}}

Умножение и перегрев

Умножение Нортона — это расширение умножения до игры и положительной игры («единицы»), определяемой ^[7] $G$ $U$

GU={\begin{cases}G\times U&{\text{ (т. е. сумма }}G{\text{ копий }}U{\text{), если }}G{\text{ является неотрицательным целым числом, }}\\-G\times -U&{\text{ если }}G{\text{ является отрицательным целым числом, }}\\\{G^{L}.U+(U+I)\mid G^{R}.U-(U+I)\}{\text{ где }}I{\text{ варьируется в пределах }}\Delta (U)&{\text{ в противном случае. }}\end{cases}}

Стимулы игры определяются как . $\Дельта (U)$ $U$ $\{uU:u\in U^{L}\}\чашка \{Uu:u\in U^{R}\}$

Перегрев — это расширение нагрева, используемого в решении Берлекэмпа Blockbusting , где перегрев от до определяется для произвольных игр как ^[8] $G$ $с$ $т$ $G,s,t$ $с>0$

\int _{s}^{t}G={\begin{cases}Gs&{\text{ если }}G{\text{ является целым числом, }}\\\{\int _{s}^{t}(G^{L})+t\mid \int _{s}^{t}(G^{R})-t\}&{\text{ в противном случае. }}\end{cases}}

Winning Ways также определяет перегрев игрыположительной игрой, как^[9] $G$ $X$

\int _{0}^{t}G=\left\{\int _{0}^{t}(G^{L})+X\mid \int _{0}^{t}(G^{R})-X\right\}

Обратите внимание, что в этом определении числа не рассматриваются отдельно от произвольных игр.

Обратите внимание, что «нижняя граница» 0 отличает это определение от предыдущего определения Берлекэмпа.

Операции для Go: охлаждение и согревание

Охлаждение — это вариант охлаждения, используемый для анализа эндшпиля Го в Го , и определяется формулой ^[10] $1$

f(G)={\begin{cases}m&{\text{ если }}G{\text{ имеет вид }}m{\text{ или }}m*,\\\{f(G^{L})-1\mid f(G^{R})+1\}&{\text{ в противном случае.}}\end{cases}}

Это эквивалентно охлаждению на , когда это «четная элементарная позиция Go в канонической форме». ^[11] $1$ $G$

Потепление является частным случаем перегрева, а именно , обычно записывается просто как что инвертирует охлаждение, когда является "четной элементарной позицией Go в канонической форме". В этом случае предыдущее определение упрощается до формы ^[12] $\int _{1*}^{1}$ $\int$ $G$

\int G={\begin{cases}G&{\text{ if }}G{\text{ is an even integer, }}\\G*&{\text{ if }}G{\text{ is an odd integer, }}\\\{\int (G^{L})+1\mid \int (G^{R})-1\}&{\text{ otherwise. }}\end{cases}}

Ссылки

^ Берлекамп, Элвин Р .; Конвей, Джон Х .; Гай, Ричард К. (1982). Выигрышные пути для ваших математических игр . Academic Press. стр. 147, 163, 170. ISBN 978-0-12-091101-1.
^ Берлекамп, Элвин (13 января 1987 г.). «Blockbusting and Domineering». Журнал комбинаторной теории . 49 (1) (опубликовано в сентябре 1988 г.): 67– 116. doi : 10.1016/0097-3165(88)90028-3 .^{[ постоянная мертвая ссылка ‍ ]}
^ Берлекамп, Элвин ; Вулф, Дэвид (1997). Математическое го: охлаждение получает последнюю точку . AK Peters Ltd. ISBN 978-1-56881-032-4.
^ Берлекамп, Элвин ; Вулф, Дэвид (1994). Математические эндшпили Го . Ishi Press. С. 50–55 . ISBN 978-0-923891-36-7.(мягкая обложка книги «Математическое го: охлаждение доставляет последнее очко »)
^ Берлекамп, Конвей и Гай (1982), стр. 147
^ Берлекэмп, Конвей и Гай (1982), стр. 163
^ Берлекэмп, Конвей и Гай (1982), стр. 246
^ Берлекэмп (1987), стр. 77
^ Берлекамп, Конвей и Гай (1982), стр. 170
^ Берлекамп и Вулф (1994), стр. 53
^ Берлекамп и Вулф (1994), стр. 53–55.
^ Берлекамп и Вулф (1994), стр. 52–55.

Эта статья по комбинаторике — заглушка . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

[1] Берлекамп, Элвин Р .; Конвей, Джон Х .; Гай, Ричард К. (1982). Выигрышные пути для ваших математических игр . Academic Press. стр. 147, 163, 170. ISBN 978-0-12-091101-1.

[2] Берлекамп, Элвин (13 января 1987 г.). «Blockbusting and Domineering». Журнал комбинаторной теории . 49 (1) (опубликовано в сентябре 1988 г.): 67– 116. doi : 10.1016/0097-3165(88)90028-3 .^{[ постоянная мертвая ссылка ‍ ]}

[3] Берлекамп, Элвин ; Вулф, Дэвид (1997). Математическое го: охлаждение получает последнюю точку . AK Peters Ltd. ISBN 978-1-56881-032-4.

[4] Берлекамп, Элвин ; Вулф, Дэвид (1994). Математические эндшпили Го . Ishi Press. С. 50–55 . ISBN 978-0-923891-36-7.(мягкая обложка книги «Математическое го: охлаждение доставляет последнее очко »)

[5] Берлекамп, Конвей и Гай (1982), стр. 147

[6] Берлекэмп, Конвей и Гай (1982), стр. 163

[7] Берлекэмп, Конвей и Гай (1982), стр. 246

[8] Берлекэмп (1987), стр. 77

[9] Берлекамп, Конвей и Гай (1982), стр. 170

[10] Берлекамп и Вулф (1994), стр. 53

[11] Берлекамп и Вулф (1994), стр. 53–55.

[12] Берлекамп и Вулф (1994), стр. 52–55.