Горячая игра

В комбинаторной теории игр , разделе математики, горячая игра — это игра, в которой каждый игрок может улучшить свою позицию, сделав следующий ход.

Напротив, холодная игра — это игра, в которой каждый игрок может только ухудшить свое положение, сделав следующий ход. Класс холодных игр эквивалентен классу сюрреалистических чисел и поэтому может быть упорядочен по значению, в то время как горячие игры могут иметь другие значения. ^[1]

Существуют также tepid games , то есть игры с температурой, равной точно нулю. tepid games образуют класс строго числовых игр: то есть игр, которые эквивалентны числу плюс бесконечно малому.

Хакенбуш может представлять только прохладные и холодные игры (разлагаясь на фиолетовую гору и зеленые джунгли).

Например, рассмотрим игру, в которой игроки поочередно убирают фишки своего цвета со стола, причем Синий игрок убирает только синие фишки, а Красный игрок убирает только красные фишки, причем победителем становится последний игрок, убирающий фишку. Очевидно, что победа достанется игроку, который начинает с большим количеством фишек, или второму игроку, если количество красных и синих фишек одинаково. Убирание фишки своего цвета оставляет положение немного хуже для игрока, сделавшего ход, поскольку у этого игрока теперь меньше фишек на столе. Таким образом, каждая фишка представляет собой «холодный» компонент игры.

Теперь рассмотрим специальную фиолетовую фишку с номером «100», которую может убрать любой игрок, который затем заменит фиолетовую фишку на 100 фишек своего цвета. (В обозначениях Конвея фиолетовая фишка — это игра {100|−100}.) Фиолетовая фишка — это «горячий» компонент, потому что очень выгодно быть игроком, который убирает фиолетовую фишку. Действительно, если на столе есть какие-либо фиолетовые фишки, игроки предпочтут убрать их в первую очередь, оставив красные или синие фишки напоследок. В общем, игрок всегда предпочтет сделать ход в горячей игре, а не в холодной, потому что ход в горячей игре улучшает его позицию, в то время как ход в холодной игре ухудшает его позицию.

Температура игры является мерой ее ценности для двух игроков. Фиолетовый жетон «100» имеет температуру 100 , потому что его ценность для каждого игрока составляет 100 ходов. В общем, игроки предпочтут сделать ход в самом горячем компоненте из доступных. Например, предположим, что есть фиолетовый жетон «100», а также фиолетовый жетон «1000», который позволяет игроку, который его берет, выложить на стол 1000 жетонов своего цвета. Каждый игрок предпочтет убрать жетон «1000» с температурой 1000 перед жетоном «100» с температурой 100.

Чтобы взять немного более сложный пример, рассмотрим игру {10|2} + {5|−5}. {5|−5} — это фишка, которую любой игрок может заменить 5 фишками своего цвета, а {10|2} — это фишка, которую синий игрок может заменить 10 синими фишками, а красный игрок может заменить 2 синими фишками.

Температура компонента {10|2} равна ½(10 − 2) = 4, в то время как температура компонента {5|−5} равна 5. Это говорит о том, что каждый игрок должен предпочесть играть в компоненте {5|−5}. Действительно, лучший первый ход для красного игрока — заменить {5|−5} на −5, после чего синий игрок заменяет {10|2} на 10, оставляя в общей сложности 5; если бы красный игрок вместо этого переместился в более холодный компонент {10|2}, то конечная позиция была бы 2 + 5 = 7, что хуже для красного. Аналогично, лучший первый ход для синего игрока также находится в более горячем компоненте, от {5|-5} до 5, даже несмотря на то, что перемещение в компоненте {10|2} дает больше синих фишек в краткосрочной перспективе.

В игре Snort игроки Red и Blue по очереди раскрашивают вершины графа, с ограничением, что две вершины, соединенные ребром, не могут быть окрашены по-разному. Как обычно, последний игрок, сделавший допустимый ход, становится победителем. Поскольку ходы игрока улучшают его позицию, фактически резервируя смежные вершины только для него, позиции в Snort обычно горячие. Напротив, в близкой игре Col , где смежные вершины могут иметь разный цвет, позиции обычно холодные.

Теория горячих игр нашла применение в анализе стратегии эндшпиля в Го . ^{[2] [3]}

• Доминирование , еще одна игра, в которой возникают горячие позиции
• Охлаждение и нагревание (комбинаторная теория игр) , операции, позволяющие сделать горячие игры поддающимися тому же типу анализа, что и холодные игры

• Берлекэмп, Элвин П.; Конвей , Джон Х .; Гай, Ричард К. (1982). Winning Ways . Том 1 (1-е изд.). Нью-Йорк : Academic Press . ISBN 0-12-091150-7.
• Конвей, Джон Х. (2001). О числах и играх (2-е изд.). AK Peters, Ltd. стр.  101–108 . ISBN 1-56881-127-6.