Открытие (морфология)

В математической морфологии открытие — это расширение эрозии множества A структурирующим элементом B :

${\displaystyle A\circ B=(A\ominus B)\oplus B,\,}$

где и обозначают эрозию и расширение соответственно.${\displaystyle \ominus}$${\displaystyle \oplus}$

Вместе с закрытием открытие служит в компьютерном зрении и обработке изображений в качестве основной рабочей лошадки удаления морфологического шума. Открытие удаляет небольшие объекты с переднего плана (обычно принимаемые за яркие пиксели) изображения, помещая их на задний план, в то время как закрытие удаляет небольшие отверстия на переднем плане, превращая небольшие островки фона в передний план. Эти методы также могут быть использованы для поиска определенных форм на изображении. Открытие может быть использовано для поиска вещей, в которые может вписаться определенный структурный элемент (края, углы, ...).

Можно представить, что элемент B охватывает внутреннюю часть границы элемента A так, чтобы он не выходил за ее пределы, и формирует границу A вокруг границы элемента.

• Открытие идемпотентно , то есть .${\displaystyle (A\circ B)\circ B=A\circ B}$
• Открытие увеличивается , то есть если , то .${\displaystyle A\subseteq C}$${\displaystyle A\circ B\subseteq C\circ B}$
• Открытие антиэкстенсивное, т.е. .${\displaystyle A\circ B\subseteq A}$
• Открытие инвариантно к трансляции .
• Открытие и закрытие удовлетворяют двойственности , где обозначает закрытие.${\displaystyle A\bullet B=(A^{c}\circ B^{c})^{c}}$${\displaystyle \пуля}$

Выполнить эрозию :${\displaystyle (A\ominus B)}$

Предположим, что A — это следующая матрица размером 16 x 15, а B — это следующая матрица размером 3 x 3:

 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0  0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0  0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Сначала выполните эрозию на A с помощью B ):${\displaystyle (A\ominus B}$

Предполагая, что начало координат B находится в его центре, для каждого пикселя в A накладываем начало координат B; если B полностью содержится в A, то пиксель сохраняется, в противном случае удаляется.

Таким образом, эрозия A посредством B задается матрицей 16 x 15.

${\displaystyle (A\ominus B)}$определяется по формуле:

 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Затем выполните расширение результата эрозии с помощью B ::${\displaystyle (A\ominus B)\oplus B}$

Для каждого пикселя в , имеющего значение 1, наложите B, выровняв центр B с соответствующим пикселем в .${\displaystyle (A\ominus B)}$${\displaystyle (A\ominus B)}$

Каждый пиксель каждого наложенного B включен в расширение A посредством B.

Расширение на B задается этой матрицей 16 x 15.${\displaystyle (A\ominus B)}$

${\displaystyle (A\ominus B)\oplus B}$дается как:

 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0  0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0  0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0  0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0  0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0  0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Таким образом, операция открытия удаляет небольшие выступы с границы объекта, представленного буквой А, сохраняя при этом общую форму и размер более крупных компонентов.${\displaystyle A\circ B}$

При морфологическом открытии операция эрозии удаляет объекты, которые меньше структурного элемента B, а операция расширения (приблизительно) восстанавливает размер и форму оставшихся объектов. Однако точность восстановления при операции расширения сильно зависит от типа структурного элемента и формы восстанавливаемых объектов. Метод открытия реконструкцией способен восстановить объекты более полно после применения эрозии. Он определяется как реконструкция геодезическим расширением эрозий на по отношению к  :${\displaystyle (A\ominus B)\oplus B}$${\displaystyle n}$${\displaystyle F}$${\displaystyle Б}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle O_{R}^{(n)}(F)=R_{F}^{D}[(F\ominus nB)],}$^[1]

где обозначает изображение маркера, а — изображение маски в морфологической реконструкции методом дилатации. ^[1] обозначает геодезическую дилатацию с итерациями до достижения устойчивости, т. е. такую, что ^[1] Поскольку , ^[1] изображение маркера ограничено в области роста изображением маски, поэтому операция дилатации на изображении маркера не будет выходить за пределы изображения маски. В результате изображение маркера является подмножеством изображения маски ^[1] (Строго говоря, это справедливо только для бинарных масок. Однако аналогичные утверждения справедливы, когда маска не является бинарной.)${\displaystyle (F\ominus nB)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle R_{F}^{D}[(F\ominus nB)]=D_{F}^{(k)}[(F\ominus nB)],}$ ${\displaystyle D}$${\displaystyle к}$${\displaystyle D_{F}^{(k)}[(F\ominus nB)]=D_{F}^{(k-1)}[(F\ominus nB)].}$${\displaystyle D_{F}^{(1)}[(F\ominus nB)]=([(F\ominus nB)]\oplus B)\cap F}$${\displaystyle (F\ominus nB)\subseteq F.}$

Изображения ниже представляют собой простой пример открытия путем реконструкции, который извлекает вертикальные штрихи из входного текстового изображения. Поскольку исходное изображение преобразуется из оттенков серого в бинарное изображение, оно имеет несколько искажений в некоторых символах, так что одни и те же символы могут иметь разную вертикальную длину. В этом случае структурирующим элементом является 8-пиксельная вертикальная линия, которая применяется в операции эрозии для поиска интересующих объектов. Более того, морфологическая реконструкция путем расширения ^[1] повторяется раз, пока результирующее изображение не сойдется.${\displaystyle R_{F}^{D}[(F\ominus nB)]=D_{F}^{(k)}[(F\ominus nB)]}$${\displaystyle к=9}$

• Математическая морфология
• Закрытие
• Расширение
• Эрозия

• Анализ изображений и математическая морфология Жана Серры, ISBN  0-12-637240-3 (1982)
• Анализ изображений и математическая морфология, том 2: Теоретические достижения Жана Серры, ISBN 0-12-637241-1 (1988) 
• Введение в морфологическую обработку изображений Эдварда Р. Догерти, ISBN 0-8194-0845-X (1992) 

• http://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/HIPR2/open.htm - Морфологическое открытие

• Цифровая обработка изображений ( третье издание ) Рафаэля К. Гонсалеса и Ричарда Э. Вудса, ISBN 978-93-325-7032-0 (2008)