Расширение (морфология)

Расширение (обычно обозначается знаком ⊕ ) — одна из основных операций в математической морфологии . Первоначально разработанная для бинарных изображений , она была расширена сначала до изображений в оттенках серого , а затем до полных решеток . Операция расширения обычно использует структурирующий элемент для зондирования и расширения форм, содержащихся во входном изображении.

В бинарной морфологии дилатация — это инвариантный относительно сдвига ( трансляционно-инвариантный ) оператор, эквивалентный сложению Минковского .

Двоичное изображение рассматривается в математической морфологии как подмножество евклидова пространства R ^d или целочисленной сетки Z ^d для некоторой размерности d . Пусть E — евклидово пространство или целочисленная сетка, A — бинарное изображение в E , а B — структурирующий элемент, рассматриваемый как подмножество R ^d .

Расширение A посредством B определяется как

${\displaystyle A\oplus B=\bigcup _{b\in B}A_{b},}$

где A _b — это перевод A на b .

Расширение коммутативно и также задается формулой .${\displaystyle A\oplus B=B\oplus A=\bigcup _{a\in A}B_{a}}$

Если B имеет центр в начале координат, то расширение A посредством B можно понимать как геометрическое место точек, охватываемых B , когда центр B перемещается внутрь A. Расширение квадрата размером 10 с центром в начале координат диском радиусом 2, также с центром в начале координат, представляет собой квадрат со стороной 14, с закругленными углами, с центром в начале координат. Радиус закругленных углов равен 2.

Расширение также можно получить с помощью , где B ^s обозначает симметричность B , то есть .${\displaystyle A\oplus B=\{z\in E\mid (B^{s})_{z}\cap A\neq \varnothing \}}$${\displaystyle B^{s}=\{x\in E\mid -x\in B\}}$

Предположим, что A — это следующая матрица 11 x 11, а B — это следующая матрица 3 x 3:

 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0  0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0  0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0  0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0  0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Для каждого пикселя в A, имеющего значение 1, наложите B, выровняв центр B с соответствующим пикселем в A.

Каждый пиксель каждого наложенного B включен в расширение A посредством B.

Расширение A посредством B задается этой матрицей 11 x 11.

 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0  1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0

Вот некоторые свойства бинарного оператора расширения.

• Он инвариантен к трансляции .
• Она возрастает , то есть если , то .${\displaystyle A\subseteq C}$${\displaystyle A\oplus B\subseteq C\oplus B}$
• Это коммутативно .
• Если начало E принадлежит структурирующему элементу B , то оно является экстенсивным , т.е. .${\displaystyle A\subseteq A\oplus B}$
• Он ассоциативен , т.е.${\displaystyle (A\oplus B)\oplus C=A\oplus (B\oplus C)}$
• Он дистрибутивен по множеству объединений

В морфологии оттенков серого изображения представляют собой функции, отображающие евклидово пространство или сетку E в , где — множество действительных чисел , — элемент, больший любого действительного числа, и — элемент, меньший любого действительного числа.${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty, -\infty \}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \infty}$${\displaystyle -\infty}$

Структурирующие элементы в оттенках серого также являются функциями того же формата, называемыми «структурирующими функциями».

Обозначая изображение как f ( x ), а структурирующую функцию как b ( x ), расширение градаций серого f на b задается выражением

${\displaystyle (f\oplus b)(x)=\sup _{y\in E}[f(y)+b(xy)],}$

где «sup» обозначает супремум .

В морфологических приложениях принято использовать плоские структурные элементы. Плоские структурные функции — это функции b ( x ) в форме

${\displaystyle b(x)=\left\{{\begin{array}{ll}0,&x\in B,\\-\infty,&{\text{иначе}},\end{array}}\right.}$

где .${\displaystyle B\subseteq E}$

В этом случае расширение значительно упрощается и определяется выражением

${\displaystyle (f\oplus b)(x)=\sup _{y\in E}[f(y)+b(xy)]=\sup _{z\in E}[f(xz)+b(z)]=\sup _{z\in B}[f(xz)].}$

(Предположим, x  = ( px ,  qx ), z  = ( pz ,  qz ), тогда x  −  z  = ( px  −  pz ,  qx  −  qz ).)

В ограниченном, дискретном случае ( E — сетка, а B — ограничено) оператор супремума можно заменить на максимум . Таким образом, расширение является частным случаем фильтров порядковой статистики , возвращая максимальное значение в пределах скользящего окна (симметричного опоры структурирующей функции B ).

Полные решетки — это частично упорядоченные множества , где каждое подмножество имеет инфимум и супремум . В частности, оно содержит наименьший элемент и наибольший элемент (также обозначаемый как «вселенная»).

Пусть будет полной решеткой, с инфимумом и супремумом, обозначенными и , соответственно. Ее универсум и наименьший элемент обозначены U и , соответственно. Более того, пусть будет набором элементов из L .${\displaystyle (L,\leq)}$${\displaystyle \клин}$${\displaystyle \vee}$${\displaystyle \varnothing}$${\displaystyle \{X_{i}\}}$

Расширение — это любой оператор , который распределяется по супремуму и сохраняет наименьший элемент. То есть, верны следующие утверждения:${\displaystyle \delta:L\rightarrow L}$

• ${\displaystyle \bigvee _{i}\delta (X_{i})=\delta \left(\bigvee _{i}X_{i}\right),}$
• ${\displaystyle \delta (\varnothing )=\varnothing .}$

• Буфер (ГИС)
• Закрытие (морфология)
• Эрозия (морфология)
• Математическая морфология
• Открытие (морфология)
• дополнение Минковского

• Анализ изображений и математическая морфология Жана Серры, ISBN  0-12-637240-3 (1982)
• Анализ изображений и математическая морфология, том 2: Теоретические достижения Жана Серры, ISBN 0-12-637241-1 (1988) 
• Введение в морфологическую обработку изображений Эдварда Р. Догерти, ISBN 0-8194-0845-X (1992)