Радикс
| Part of a series on |
| Numeral systems |
|---|
| List of numeral systems |
В позиционной системе счисления основание ( мн. ч . radices ) или база — это количество уникальных цифр , включая цифру ноль, используемых для представления чисел. Например, для десятичной системы (наиболее распространенной системы, используемой сегодня) основание — десять, поскольку она использует десять цифр от 0 до 9.
В любой стандартной позиционной системе счисления число обычно записывается как ( x ) y , где x — строка цифр , а y — основание, хотя для основания десять нижний индекс обычно подразумевается (и опускается вместе с парой скобок ), поскольку это наиболее распространенный способ выражения значения . Например, (100) 10 эквивалентно 100 (в последнем подразумевается десятичная система) и представляет число сто, тогда как (100) 2 (в двоичной системе с основанием 2) представляет число четыре. [1]
Этимология
Radix — латинское слово, означающее «корень». Root можно считать синонимом base в арифметическом смысле.
В системах счисления
В общем случае в системе с основанием b ( b > 1 ) строка цифр d 1 ... d n обозначает число d 1 b n −1 + d 2 b n −2 + … + d n b 0 , где 0 ≤ d i < b . [1] В отличие от десятичной системы счисления или системы счисления с основанием 10, в которой есть разряд единиц, разряд десятков, разряд сотен и т. д., система с основанием b будет иметь разряд единиц, затем разряд b 1 s, разряд b 2 s и т. д. [2]
Например, если b = 12, то строка цифр, такая как 59A (где буква «A» представляет значение десяти), будет представлять значение 5 × 12 2 + 9 × 12 1 + 10 × 12 0 = 838 в десятичной системе счисления.
Обычно используемые системы счисления включают в себя:
| Основание/корень | Имя | Описание |
|---|---|---|
| 2 | Двоичная система счисления | Используется внутри почти всех компьютеров . Две цифры — «0» и «1», выраженные переключателями, отображающими OFF и ON соответственно. Используется в большинстве электрических счетчиков . |
| 8 | Восьмеричная система | Иногда используется в вычислениях. Восемь цифр — «0»–«7» — представляют 3 бита (2 3 ). |
| 10 | Десятичная система счисления | Используется людьми в подавляющем большинстве культур. Десять цифр — «0»–«9». Используется в большинстве механических счетчиков . |
| 12 | Двенадцатеричная (десятеричная) система счисления | Иногда его рекомендуют из-за делимости на 2, 3, 4 и 6. Традиционно он использовался как часть величин, выраженных в дюжинах и брутто . |
| 16 | Шестнадцатеричная система | Часто используется в вычислениях как более компактное представление двоичного числа (1 шестнадцатеричная цифра на 4 бита). Шестнадцать цифр — это «0»–«9», за которыми следуют «A»–«F» или «a»–«f». |
| 20 | Двадцатеричная система счисления | Традиционная система счисления в нескольких культурах, до сих пор используемая некоторыми для счета. Исторически также известная как система счета в английском языке, сейчас наиболее известна во фразе «четыре дюжины и семь лет назад» в Геттисбергской речи . |
| 36 | Base36 | Base36 — это схема кодирования двоичного кода в текст , которая представляет двоичные данные в формате строки ASCII путем перевода их в представление с основанием 36. Выбор 36 удобен тем, что цифры могут быть представлены с использованием арабских цифр 0–9 и латинских букв A–Z ( базовый латинский алфавит ISO ). Для представления каждой цифры base36 требуется менее 6 бит информации. |
| 60 | Шестидесятеричная система | Первоначально использовалась в измененной форме в древнем Шумере и перешла к вавилонянам . [3] Используется сегодня как основа современной круговой системы координат (градусы, минуты и секунды) и измерения времени (минуты и секунды) по аналогии с вращением Земли. |
Восьмеричная и шестнадцатеричная системы часто используются в вычислениях из-за их простоты в качестве сокращения двоичной. Каждая шестнадцатеричная цифра соответствует последовательности из четырех двоичных цифр, поскольку шестнадцать — это четвертая степень двойки; например, шестнадцатеричное 78 16 — это двоичное 111 1000 2 . Аналогично, каждая восьмеричная цифра соответствует уникальной последовательности из трех двоичных цифр, поскольку восемь — это куб двойки.
Это представление уникально. Пусть b — положительное целое число, большее 1. Тогда каждое положительное целое число a может быть выражено единственным образом в виде
где m — неотрицательное целое число, а r — целые числа, такие что
- 0 < r m < b и 0 ≤ r i < b для i = 0, 1, ... , m − 1. [4]
Основания обычно являются натуральными числами . Однако возможны и другие позиционные системы, например, основание золотого сечения (основание которого является нецелым алгебраическим числом ), [5] и отрицательное основание (основание которого отрицательно). [6] Отрицательное основание позволяет представлять отрицательные числа без использования знака минус. Например, пусть b = −10. Тогда строка цифр, такая как 19, обозначает (десятичное) число 1 × (−10) 1 + 9 × (−10) 0 = −1.
Смотрите также
- Основание (возведение в степень)
- Смешанная система счисления
- Полиномиальный
- Радикальная экономика
- Сортировка по радиксу
- Нестандартные позиционные системы счисления
- Список систем счисления
Примечания
- ^ ab Mano, M. Morris; Kime, Charles (2014). Основы логики и проектирования компьютеров (4-е изд.). Harlow: Pearson. стр. 13–14. ISBN 978-1-292-02468-4.
- ^ "Двоичный". experimonkey.com . Получено 2023-05-14 .
- ^ Бертман, Стивен (2005). Справочник по жизни в Древней Месопотамии (издание в мягкой обложке). Оксфорд [ua]: Oxford Univ. Press. стр. 257. ISBN 978-019-518364-1.
- ^ Маккой (1968, стр. 75)
- ^ Бергман, Джордж (1957). «Система чисел с иррациональным основанием». Mathematics Magazine . 31 (2): 98–110. doi :10.2307/3029218. JSTOR 3029218.
- ^ Уильям Дж. Гилберт (сентябрь 1979 г.). «Системы чисел с отрицательным основанием» (PDF) . Mathematics Magazine . 52 (4): 240–244. doi :10.1080/0025570X.1979.11976792 . Получено 7 февраля 2015 г. .
Ссылки
- Маккой, Нил Х. (1968), Введение в современную алгебру, пересмотренное издание , Бостон: Allyn and Bacon , LCCN 68015225
Внешние ссылки
- Запись MathWorld на базе
