Нулевой вектор

В математике , если задано векторное пространство X с соответствующей квадратичной формой q , обозначаемой как ( X , q ) , то нулевой вектор или изотропный вектор — это ненулевой элемент x пространства X , для которого q ( x ) = 0 .

В теории действительных билинейных форм различают определенные квадратичные формы и изотропные квадратичные формы . Они отличаются тем, что только для последних существует ненулевой нулевой вектор.

Квадратичное пространство ( X , q ), имеющее нулевой вектор, называется псевдоевклидовым пространством . Термин изотропный вектор v, когда q ( v ) = 0, использовался в квадратичных пространствах ^[1] и анизотропное пространство для квадратичного пространства без нулевых векторов.

Псевдоевклидово векторное пространство может быть разложено (неединственно) на ортогональные подпространства A и B , X = A + B , где q положительно определено на A и отрицательно определено на B. Нулевой конус , или изотропный конус , пространства X состоит из объединения сбалансированных сфер: Нулевой конус также является объединением изотропных прямых, проходящих через начало координат.$${\displaystyle \bigcup _{r\geq 0}\{x=a+b:q(a)=-q(b)=r,\ \ a,b\in B\}.}$$

Композиционная алгебра с нулевым вектором является расщепляемой алгеброй . ^[2]

В композиционной алгебре ( A , +, ×, *) квадратичная форма имеет вид q( x ) = xx *. Когда x — нулевой вектор, то для x не существует мультипликативного обратного , и поскольку x ≠ 0, A не является алгеброй с делением .

В конструкции Кэли–Диксона расщепленные алгебры возникают в рядах бикомплексных чисел , бикватернионов и биоктонионов , которые используют поле комплексных чисел в качестве основы этой конструкции удвоения, предложенной Л. Э. Диксоном (1919). В частности, эти алгебры имеют две мнимые единицы , которые коммутируют, так что их произведение при возведении в квадрат дает +1:${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle (привет)^{2}=h^{2}i^{2}=(-1)(-1)=+1.}$Затем

${\displaystyle (1+привет)(1+привет)^{*}=(1+привет)(1-привет)=1-(привет)^{2}=0}$поэтому 1 + hi — нулевой вектор.

Действительные подалгебры, расщепленные комплексные числа , расщепленные кватернионы и расщепленные октонионы с их нулевыми конусами, представляющими свет, движущийся в точку 0 ∈ A и из нее , предполагают топологию пространства-времени .

Светоподобные векторы пространства Минковского являются нулевыми векторами.

Четыре линейно независимых бикватерниона l = 1 + hi , n = 1 + hj , m = 1 + hk , и m ^∗ = 1 – hk являются нулевыми векторами и { l , n , m , m ^∗ } могут служить основой для подпространства, используемого для представления пространства-времени . Нулевые векторы также используются в подходе формализма Ньюмена-Пенроуза к пространственно-временным многообразиям. ^[3]

В модуле Верма алгебры Ли имеются нулевые векторы.

• Дубровин, BA; Фоменко, AT ; Новиков, SP (1984). Современная геометрия: методы и приложения . Перевод Бернса, Роберта Г. Спрингера. стр. 50. ISBN 0-387-90872-2.
• Шоу, Рональд (1982). Линейная алгебра и представления групп. Том 1. Academic Press . С. 151. ISBN 0-12-639201-3.
• Невилл, Э. Х. (Эрик Гарольд) (1922). Пролегомены к аналитической геометрии в анизотропном евклидовом пространстве трех измерений. Cambridge University Press . стр. 204.