В математике сплит -октонионы представляют собой 8-мерную неассоциативную алгебру над действительными числами . В отличие от стандартных октонионов , они содержат ненулевые элементы, которые необратимы. Также различаются сигнатуры их квадратичных форм : сплит-октонионы имеют сплит-сигнатуру (4,4), тогда как октонионы имеют положительно-определенную сигнатуру (8,0).
С точностью до изоморфизма октонионы и сплит-октонионы являются единственными двумя 8-мерными композиционными алгебрами над действительными числами. Они также являются единственными двумя октонионными алгебрами над действительными числами. Сплит-октонионные алгебры, аналогичные сплит-октонионам, могут быть определены над любым полем .
Определение
Строительство Кейли–Диксона
Октонионы и сплит-октонионы могут быть получены из конструкции Кэли–Диксона путем определения умножения пар кватернионов . Введем новую мнимую единицу ℓ и запишем пару кватернионов ( a , b ) в виде a + ℓ b . Произведение определяется правилом: [1]
где
Если λ выбрано равным −1, мы получаем октонионы. Если же вместо этого оно взято равным +1, мы получаем сплит-октонионы. Можно также получить сплит-октонионы через удвоение Кэли-Диксона сплит-кватернионов . Здесь любой выбор λ (±1) дает сплит-октонионы.
Каждый сплит-октонион можно записать в виде линейной комбинации базисных элементов,
с реальными коэффициентами .
По линейности умножение сплит-октонионов полностью определяется следующей таблицей умножения :
множитель
множимое
Удобная мнемоника представлена диаграммой справа, которая представляет собой таблицу умножения для сплит-октонионов. Она получена из ее родительского октониона (одного из 480 возможных), который определяется как:
Красные стрелки указывают на возможные изменения направления, вызванные отрицанием нижнего правого квадранта родителя, создающего разделенный октонион с помощью этой таблицы умножения.
Сопряженная, нормированная и обратная функция
Сопряженное число расщепленного октониона x задается формулой
Эта квадратичная форма N ( x ) является изотропной квадратичной формой , поскольку существуют ненулевые расщепленные октонионы x с N ( x ) = 0. При N расщепленные октонионы образуют псевдоевклидово пространство восьми измерений над R , иногда обозначаемое как R 4,4 для обозначения сигнатуры квадратичной формы.
Сплит-октонионы, как и октонионы, некоммутативны и неассоциативны. Также, как и октонионы, они образуют алгебру композиции , поскольку квадратичная форма N является мультипликативной. То есть,
Сплит-октонионы удовлетворяют тождествам Муфанг и, таким образом, образуют альтернативную алгебру . Следовательно, по теореме Артина , подалгебра, порожденная любыми двумя элементами, ассоциативна. Множество всех обратимых элементов (т.е. тех элементов, для которых N ( x ) ≠ 0) образуют петлю Муфанг .
Поскольку сплит-октонионы неассоциативны, их нельзя представить обычными матрицами (умножение матриц всегда ассоциативно). Цорн нашел способ представить их как «матрицы», содержащие как скаляры, так и векторы, используя модифицированную версию умножения матриц. [2] В частности, определим векторную матрицу как матрицу 2×2 вида [3] [4] [5] [6]
где a и b — действительные числа, а v и w — векторы в R 3 . Определим умножение этих матриц по правилу
где · и × — обычное скалярное произведение и векторное произведение 3-векторов. При сложении и скалярном умножении, определенных как обычно, множество всех таких матриц образует неассоциативную унитальную 8-мерную алгебру над действительными числами, называемую векторно-матричной алгеброй Цорна .
Определим « определитель » вектор-матрицы по правилу
.
Этот определитель является квадратичной формой на алгебре Цорна, которая удовлетворяет правилу композиции:
Векторно-матричная алгебра Цорна, по сути, изоморфна алгебре сплит-октонионов. Запишем октонион в виде
где и являются действительными числами, а v и w являются чисто мнимыми кватернионами, рассматриваемыми как векторы в R 3 . Изоморфизм от сплит-октонионов к алгебре Цорна задается формулой
Этот изоморфизм сохраняет норму, поскольку .
Приложения
Сплит-октонионы используются при описании физических законов. Например:
Уравнение Дирака в физике (уравнение движения свободной частицы со спином 1/2, например, электрона или протона) может быть выражено с помощью арифметики расщепленного октониона. [7]
Основанная на Цорне алгебра расщепленных октонионов может быть использована при моделировании локальной калибровочно-симметричной квантовой хромодинамики SU(3). [9]
Задача о качении шара без скольжения по шару радиуса в 3 раза большего имеет расщепленную вещественную форму исключительной группы G2 в качестве своей группы симметрии, поскольку эта задача может быть описана с помощью расщепленных октонионов. [10]
↑ Лоуэлл Дж. Пейдж (1963) «Йордановы алгебры», страницы 144–186 в «Исследованиях современной алгебры» под редакцией А. А. Альберта, Математическая ассоциация Америки : векторно-матричная алгебра Цорна на странице 180.
^ Артур А. Сэгл и Ральф Э. Вальде (1973) Введение в группы Ли и алгебры Ли , стр. 199, Academic Press
^ М. Гогберашвили (2006) «Октонионная электродинамика», Журнал физики A 39: 7099-7104. doi :10.1088/0305-4470/39/22/020
^ В. Джунушалиев (2008) «Неассоциативность, суперсимметрия и скрытые переменные», Журнал математической физики 49: 042108 doi :10.1063/1.2907868; arXiv :0712.1647
^ Б. Волк, Adv. Appl. Clifford Algebras 27(4), 3225 (2017).
^ J. Baez и J. Huerta, G 2 и катящийся шар, Trans. Amer. Math. Soc. 366, 5257-5293 (2014); arXiv :1205.2447.
Дальнейшее чтение
Р. Фут и Дж. К. Джоши (1990) «Нестандартная сигнатура пространства-времени, суперструн и расщепленных композиционных алгебр», Письма по математической физике 19: 65–71
Харви, Ф. Риз (1990). Спиноры и калибровки . Сан-Диего: Academic Press. ISBN0-12-329650-1.
Нэш, Патрик Л. (1990) «О структуре алгебры расщепленных октонионов», Il Nuovo Cimento B 105(1): 31–41. doi :10.1007/BF02723550
Спрингер, Т.А.; Ф.Д. Вельдкамп (2000). Октонионы, жордановые алгебры и исключительные группы . Спрингер-Верлаг. ISBN3-540-66337-1.