Сплит-октонион

В математике сплит -октонионы представляют собой 8-мерную неассоциативную алгебру над действительными числами . В отличие от стандартных октонионов , они содержат ненулевые элементы, которые необратимы. Также различаются сигнатуры их квадратичных форм : сплит-октонионы имеют сплит-сигнатуру (4,4), тогда как октонионы имеют положительно-определенную сигнатуру (8,0).

С точностью до изоморфизма октонионы и сплит-октонионы являются единственными двумя 8-мерными композиционными алгебрами над действительными числами. Они также являются единственными двумя октонионными алгебрами над действительными числами. Сплит-октонионные алгебры, аналогичные сплит-октонионам, могут быть определены над любым полем .

Определение

Строительство Кейли–Диксона

Октонионы и сплит-октонионы могут быть получены из конструкции Кэли–Диксона путем определения умножения пар кватернионов . Введем новую мнимую единицу ℓ и запишем пару кватернионов ( a , b ) в виде a + ℓ b . Произведение определяется правилом: [1]

( а + б ) ( с + г ) = ( а с + λ г ¯ б ) + ( г а + б с ¯ ) {\displaystyle (a+\ell b)(c+\ell d)=(ac+\lambda {\bar {d}}b)+\ell (da+b{\bar {c}})}

где

λ = 2 . {\displaystyle \lambda =\ell ^{2}.}

Если λ выбрано равным −1, мы получаем октонионы. Если же вместо этого оно взято равным +1, мы получаем сплит-октонионы. Можно также получить сплит-октонионы через удвоение Кэли-Диксона сплит-кватернионов . Здесь любой выбор λ (±1) дает сплит-октонионы.

Таблица умножения

Мнемоника для продуктов расщепления октонионов.

Основой для сплит -октонионов служит набор . {   1 ,   я ,   дж ,   к ,   ,   я ,   дж ,   к   } {\ displaystyle \ {\ 1, \ я, \ j, \ k, \ \ ell, \ \ ell i, \ \ ell j, \ \ ell k \ \}}

Каждый сплит-октонион можно записать в виде линейной комбинации базисных элементов, х {\displaystyle x}

х = х 0 + х 1 я + х 2 дж + х 3 к + х 4 + х 5 я + х 6 дж + х 7 к , {\displaystyle x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,\ell +x_{5}\,\ell i+x_{6}\,\ell j+x_{7}\,\ell k,}

с реальными коэффициентами . х а {\displaystyle x_{a}}

По линейности умножение сплит-октонионов полностью определяется следующей таблицей умножения :

множитель
1 {\displaystyle 1} я {\displaystyle я} дж {\displaystyle j} к {\displaystyle к} {\displaystyle \ell } я {\displaystyle \ell i} дж {\displaystyle \ell j} к {\displaystyle \ell k}
множимое 1 {\displaystyle 1} 1 {\displaystyle 1} я {\displaystyle я} дж {\displaystyle j} к {\displaystyle к} {\displaystyle \ell } я {\displaystyle \ell i} дж {\displaystyle \ell j} к {\displaystyle \ell k}
я {\displaystyle я} я {\displaystyle я} 1 {\displaystyle -1} к {\displaystyle к} дж {\displaystyle -j} я {\displaystyle -\ell i} {\displaystyle \ell } к {\displaystyle -\ell k} дж {\displaystyle \ell j}
дж {\displaystyle j} дж {\displaystyle j} к {\displaystyle -k} 1 {\displaystyle -1} я {\displaystyle я} дж {\displaystyle -\ell j} к {\displaystyle \ell k} {\displaystyle \ell } я {\displaystyle -\ell i}
к {\displaystyle к} к {\displaystyle к} дж {\displaystyle j} я {\displaystyle -i} 1 {\displaystyle -1} к {\displaystyle -\ell k} дж {\displaystyle -\ell j} я {\displaystyle \ell i} {\displaystyle \ell }
{\displaystyle \ell } {\displaystyle \ell } я {\displaystyle \ell i} дж {\displaystyle \ell j} к {\displaystyle \ell k} 1 {\displaystyle 1} я {\displaystyle я} дж {\displaystyle j} к {\displaystyle к}
я {\displaystyle \ell i} я {\displaystyle \ell i} {\displaystyle -\ell } к {\displaystyle -\ell k} дж {\displaystyle \ell j} я {\displaystyle -i} 1 {\displaystyle 1} к {\displaystyle к} дж {\displaystyle -j}
дж {\displaystyle \ell j} дж {\displaystyle \ell j} к {\displaystyle \ell k} {\displaystyle -\ell } я {\displaystyle -\ell i} дж {\displaystyle -j} к {\displaystyle -k} 1 {\displaystyle 1} я {\displaystyle я}
к {\displaystyle \ell k} к {\displaystyle \ell k} дж {\displaystyle -\ell j} я {\displaystyle \ell i} {\displaystyle -\ell } к {\displaystyle -k} дж {\displaystyle j} я {\displaystyle -i} 1 {\displaystyle 1}

Удобная мнемоника представлена ​​диаграммой справа, которая представляет собой таблицу умножения для сплит-октонионов. Она получена из ее родительского октониона (одного из 480 возможных), который определяется как:

е я е дж = δ я дж е 0 + ε я дж к е к , {\displaystyle e_{i}e_{j}=-\delta _{ij}e_{0}+\varepsilon _{ijk}e_{k},\,}

где — дельта Кронекера , а — символ Леви-Чивита со значением, когда и: δ я дж {\displaystyle \delta _{ij}} ε я дж к {\displaystyle \varepsilon _ {ijk}} + 1 {\displaystyle +1} я дж к = 123 , 154 , 176 , 264 , 257 , 374 , 365 , {\displaystyle ijk=123,154,176,264,257,374,365,}

е я е 0 = е 0 е я = е я ; е 0 е 0 = е 0 , {\displaystyle e_{i}e_{0}=e_{0}e_{i}=e_{i};\,\,\,\,e_{0}e_{0}=e_{0},}

со скалярным элементом, и е 0 {\displaystyle e_{0}} я , дж , к = 1...7. {\displaystyle i,j,k=1...7.}

Красные стрелки указывают на возможные изменения направления, вызванные отрицанием нижнего правого квадранта родителя, создающего разделенный октонион с помощью этой таблицы умножения.

Сопряженная, нормированная и обратная функция

Сопряженное число расщепленного октониона x задается формулой

х ¯ = х 0 х 1 я х 2 дж х 3 к х 4 х 5 я х 6 дж х 7 к , {\displaystyle {\bar {x}}=x_{0}-x_{1}\,i-x_{2}\,j-x_{3}\,k-x_{4}\,\ell -x_{5}\,\ell i-x_{6}\,\ell j-x_{7}\,\ell k,}

так же, как и для октонионов.

Квадратичная форма по x задается выражением

Н ( х ) = х ¯ х = ( х 0 2 + х 1 2 + х 2 2 + х 3 2 ) ( х 4 2 + х 5 2 + х 6 2 + х 7 2 ) . {\displaystyle N(x)={\bar {x}}x=(x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2})-(x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}).}

Эта квадратичная форма N ( x ) является изотропной квадратичной формой , поскольку существуют ненулевые расщепленные октонионы x с N ( x ) = 0. При N расщепленные октонионы образуют псевдоевклидово пространство восьми измерений над R , иногда обозначаемое как R 4,4 для обозначения сигнатуры квадратичной формы.

Если N ( x ) ≠ 0, то x имеет (двусторонний) мультипликативный обратный элемент x −1, заданный формулой

х 1 = Н ( х ) 1 х ¯ . {\displaystyle x^{-1}=N(x)^{-1}{\bar {x}}.}

Характеристики

Сплит-октонионы, как и октонионы, некоммутативны и неассоциативны. Также, как и октонионы, они образуют алгебру композиции , поскольку квадратичная форма N является мультипликативной. То есть,

Н ( х у ) = Н ( х ) Н ( у ) . {\displaystyle N(xy)=N(x)N(y).}

Сплит-октонионы удовлетворяют тождествам Муфанг и, таким образом, образуют альтернативную алгебру . Следовательно, по теореме Артина , подалгебра, порожденная любыми двумя элементами, ассоциативна. Множество всех обратимых элементов (т.е. тех элементов, для которых N ( x ) ≠ 0) образуют петлю Муфанг .

Группа автоморфизмов расщепленных октонионов представляет собой 14-мерную группу Ли , расщепленную вещественную форму исключительной простой группы Ли G 2 .

Векторно-матричная алгебра Цорна

Поскольку сплит-октонионы неассоциативны, их нельзя представить обычными матрицами (умножение матриц всегда ассоциативно). Цорн нашел способ представить их как «матрицы», содержащие как скаляры, так и векторы, используя модифицированную версию умножения матриц. [2] В частности, определим векторную матрицу как матрицу 2×2 вида [3] [4] [5] [6]

[ а в ж б ] , {\displaystyle {\begin{bmatrix}a&\mathbf {v} \\\mathbf {w} &b\end{bmatrix}},}

где a и b — действительные числа, а v и w — векторы в R 3 . Определим умножение этих матриц по правилу

[ а в ж б ] [ а в ж б ] = [ а а + в ж а в + б в + ж × ж а ж + б ж в × в б б + в ж ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a&\mathbf {v} \\\mathbf {w} &b\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a'&\mathbf {v} '\\\mathbf {w } '&b'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}aa'+\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} '&a\mathbf {v} '+b'\mathbf {v} +\ mathbf {w} \times \mathbf {w} '\\a'\mathbf {w} +b\mathbf {w} '-\mathbf {v} \times \mathbf {v} '&bb'+\mathbf {v } '\cdot \mathbf {w} \end{bmatrix}}}

где · и × — обычное скалярное произведение и векторное произведение 3-векторов. При сложении и скалярном умножении, определенных как обычно, множество всех таких матриц образует неассоциативную унитальную 8-мерную алгебру над действительными числами, называемую векторно-матричной алгеброй Цорна .

Определим « определитель » вектор-матрицы по правилу

дет [ а в ж б ] = а б в ж {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&\mathbf {v} \\\mathbf {w} &b\end{bmatrix}} =ab-\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} } .

Этот определитель является квадратичной формой на алгебре Цорна, которая удовлетворяет правилу композиции:

дет ( А Б ) = дет ( А ) дет ( Б ) . {\displaystyle \det(AB)=\det(A)\det(B).\,}

Векторно-матричная алгебра Цорна, по сути, изоморфна алгебре сплит-октонионов. Запишем октонион в виде х {\displaystyle x}

х = ( а + в ) + ( б + ж ) {\displaystyle x=(a+\mathbf {v})+\ell (b+\mathbf {w})}

где и являются действительными числами, а v и w являются чисто мнимыми кватернионами, рассматриваемыми как векторы в R 3 . Изоморфизм от сплит-октонионов к алгебре Цорна задается формулой а {\displaystyle а} б {\displaystyle б}

х ϕ ( х ) = [ а + б в + ж в + ж а б ] . {\displaystyle x\mapsto \phi (x)={\begin{bmatrix}a+b&\mathbf {v} +\mathbf {w} \\-\mathbf {v} +\mathbf {w} &a-b\ конец{bmatrix}}.}

Этот изоморфизм сохраняет норму, поскольку . Н ( х ) = дет ( ϕ ( х ) ) {\displaystyle N(x)=\det(\phi (x))}

Приложения

Сплит-октонионы используются при описании физических законов. Например:

  • Уравнение Дирака в физике (уравнение движения свободной частицы со спином 1/2, например, электрона или протона) может быть выражено с помощью арифметики расщепленного октониона. [7]
  • Суперсимметричная квантовая механика имеет октонионное расширение. [8]
  • Основанная на Цорне алгебра расщепленных октонионов может быть использована при моделировании локальной калибровочно-симметричной квантовой хромодинамики SU(3). [9]
  • Задача о качении шара без скольжения по шару радиуса в 3 раза большего имеет расщепленную вещественную форму исключительной группы G2 в качестве своей группы симметрии, поскольку эта задача может быть описана с помощью расщепленных октонионов. [10]

Ссылки

  1. ^ Кевин Маккриммон (2004) Вкус йордановых алгебр , стр. 158, Universitext, Springer ISBN  0-387-95447-3 MR 2014924
  2. ^ Макс Цорн (1931) «Alternativekörper und Squaretische Systeme», Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 9 (3/4): 395–402
  3. Натан Якобсон (1962) Алгебры Ли , стр. 142, Interscience Publishers.
  4. ^ Шефер, Ричард Д. (1966). Введение в неассоциативные алгебры. Academic Press . стр. 52–6. ISBN 0-486-68813-5.
  5. Лоуэлл Дж. Пейдж (1963) «Йордановы алгебры», страницы 144–186 в «Исследованиях современной алгебры» под редакцией А. А. Альберта, Математическая ассоциация Америки  : векторно-матричная алгебра Цорна на странице 180.
  6. ^ Артур А. Сэгл и Ральф Э. Вальде (1973) Введение в группы Ли и алгебры Ли , стр. 199, Academic Press
  7. ^ М. Гогберашвили (2006) «Октонионная электродинамика», Журнал физики A 39: 7099-7104. doi :10.1088/0305-4470/39/22/020
  8. ^ В. Джунушалиев (2008) «Неассоциативность, суперсимметрия и скрытые переменные», Журнал математической физики 49: 042108 doi :10.1063/1.2907868; arXiv :0712.1647
  9. ^ Б. Волк, Adv. Appl. Clifford Algebras 27(4), 3225 (2017).
  10. ^ J. Baez и J. Huerta, G 2 и катящийся шар, Trans. Amer. Math. Soc. 366, 5257-5293 (2014); arXiv :1205.2447.

Дальнейшее чтение

  • Р. Фут и Дж. К. Джоши (1990) «Нестандартная сигнатура пространства-времени, суперструн и расщепленных композиционных алгебр», Письма по математической физике 19: 65–71
  • Харви, Ф. Риз (1990). Спиноры и калибровки . Сан-Диего: Academic Press. ISBN 0-12-329650-1.
  • Нэш, Патрик Л. (1990) «О структуре алгебры расщепленных октонионов», Il Nuovo Cimento B 105(1): 31–41. doi :10.1007/BF02723550
  • Спрингер, Т.А.; Ф.Д. Вельдкамп (2000). Октонионы, жордановые алгебры и исключительные группы . Спрингер-Верлаг. ISBN 3-540-66337-1.
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Split-octonion&oldid=1243522131"