Неотрицательная матрица

В математике — неотрицательная матрица , записываемая

${\displaystyle \mathbf {X} \geq 0,}$

— это матрица , в которой все элементы равны или больше нуля, то есть

${\displaystyle x_{ij}\geq 0\qquad \forall {i,j}.}$

Положительная матрица — это матрица, в которой все элементы строго больше нуля. Множество положительных матриц является внутренней частью множества всех неотрицательных матриц. Хотя такие матрицы встречаются часто, термин «положительная матрица» используется лишь изредка из-за возможной путаницы с положительно-определенными матрицами , которые отличаются. Матрица, которая является как неотрицательной, так и положительно-полуопределенной, называется дважды неотрицательной матрицей .

Прямоугольную неотрицательную матрицу можно аппроксимировать путем разложения на две другие неотрицательные матрицы с помощью неотрицательной матричной факторизации .

Собственные значения и собственные векторы квадратных положительных матриц описываются теоремой Перрона–Фробениуса .

• След и сумма/произведение каждой строки и столбца неотрицательной матрицы неотрицательны.

Обратная матрица любой невырожденной М-матрицы ^{[ требуется пояснение ]} — это неотрицательная матрица. Если невырожденная М-матрица также симметрична, то она называется матрицей Стилтьеса .

Обратная неотрицательной матрице обычно не является неотрицательной. Исключением являются неотрицательные мономиальные матрицы : неотрицательная матрица имеет неотрицательную обратную матрицу тогда и только тогда, когда она является (неотрицательной) мономиальной матрицей. Обратите внимание, что таким образом обратная матрица положительной матрицы не является положительной или даже неотрицательной, поскольку положительные матрицы не являются мономиальными, для размерности n > 1 .

Существует ряд групп матриц, которые образуют специализации неотрицательных матриц, например, стохастическая матрица ; дважды стохастическая матрица ; симметричная неотрицательная матрица.

• Матрица Метцлера