Блуждающий набор

Эта статья включает список ссылок , связанных материалов или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, введя более точные цитаты. ( Июнь 2023 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение )

В динамических системах и эргодической теории понятие блуждающего множества формализует определенную идею движения и перемешивания . Когда динамическая система имеет блуждающее множество ненулевой меры, то система является диссипативной системой . Это противоположно консервативной системе , к которой применима теорема Пуанкаре о возвращении . Интуитивно связь между блуждающими множествами и диссипацией легко понять: если часть фазового пространства «блуждает» в ходе нормальной временной эволюции системы и никогда больше не посещается, то система является диссипативной. Язык блуждающих множеств может быть использован для того, чтобы дать точное математическое определение понятию диссипативной системы. Понятие блуждающих множеств в фазовом пространстве было введено Биркгофом в 1927 году. ^{[ необходима цитата ]}

Обычное определение блуждающих множеств в дискретном времени начинается с отображения топологического пространства X. Точка называется блуждающей, если существует окрестность U точки x и положительное целое число N, такие, что для всех итерированное отображение не пересекается:${\displaystyle f:X\to X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle n>N}$

${\displaystyle f^{n}(U)\cap U=\varnothing .}$

Более удобное определение требует только, чтобы пересечение имело меру ноль . Чтобы быть точным, определение требует, чтобы X было пространством меры , т.е. частью тройки борелевских множеств и мерой такой, что${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \mu \left(f^{n}(U)\cap U\right)=0,}$

для всех . Аналогично, система с непрерывным временем будет иметь отображение, определяющее временную эволюцию или поток системы, причем оператор временной эволюции будет однопараметрическим непрерывным абелевым групповым действием на X :${\displaystyle n>N}$${\displaystyle \varphi _{t}:X\to X}$${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi _{t+s}=\varphi _{t}\circ \varphi _{s}.}$

В таком случае блуждающая точка будет иметь окрестность U точки x и время T, такие, что для всех моментов времени отображение, эволюционирующее во времени, будет иметь меру ноль:${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle t>T}$

${\displaystyle \mu \left(\varphi _{t}(U)\cap U\right)=0.}$

Эти более простые определения могут быть полностью обобщены на групповое действие топологической группы . Пусть будет мерным пространством, то есть множеством с мерой , определенной на его борелевских подмножествах . Пусть будет группой, действующей на этом множестве. Для данной точки множество${\displaystyle \Omega =(X,\Sigma ,\mu )}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle x\in \Omega }$

${\displaystyle \{\gamma \cdot x:\gamma \in \Gamma \}}$

называется траекторией или орбитой точки x .

Элемент называется блуждающей точкой , если существует окрестность U точки x и окрестность V единицы в такие, что ${\displaystyle x\in \Omega }$${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle \mu \left(\gamma \cdot U\cap U\right)=0}$

для всех .${\displaystyle \gamma \in \Gamma -V}$

Неблуждающая точка — это противоположность. В дискретном случае неблуждающая точка, если для каждого открытого множества U, содержащего x , и каждого N > 0 существует некоторое n > N такое, что${\displaystyle x\in X}$

${\displaystyle \mu \left(f^{n}(U)\cap U\right)>0.}$

Аналогичные определения применимы к непрерывным во времени, а также дискретным и непрерывным групповым действиям.

Блуждающее множество — это совокупность блуждающих точек. Точнее, подмножество W множества является блуждающим множеством под действием дискретной группы , если W измеримо и если для любого пересечения${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \gamma \in \Gamma -\{e\}}$

${\displaystyle \gamma W\cap W}$

представляет собой множество меры ноль.

Понятие блуждающего множества в некотором смысле двойственно идеям, выраженным в теореме о возвращении Пуанкаре. Если существует блуждающее множество положительной меры, то действие называется диссипативным , а динамическая система называется диссипативной системой . Если такого блуждающего множества нет, то действие называется консервативным , а система является консервативной системой . Например, любая система, для которой справедлива теорема о возвращении Пуанкаре , по определению не может иметь блуждающего множества положительной меры; и, таким образом, является примером консервативной системы.${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle (\Omega ,\Gamma )}$

Определим траекторию блуждающего множества W как

${\displaystyle W^{*}=\bigcup _{\gamma \in \Gamma }\;\;\gamma W.}$

Действие называется полностью диссипативным, если существует блуждающее множество W положительной меры, такое, что орбита почти всюду равна , то есть если${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle W^{*}}$${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \Omega -W^{*}}$

представляет собой множество меры ноль.

Разложение Хопфа утверждает , что каждое мерное пространство с невырожденным преобразованием можно разложить на инвариантное консервативное множество и инвариантное блуждающее множество.

• Теорема об отсутствии блуждающей области

• Николс, Питер Дж. (1989). Эргодическая теория дискретных групп . Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 0-521-37674-2.
• Александр И. Даниленко и Сезар Э. Сильва (8 апреля 2009 г.). Эргодическая теория: Несингулярные преобразования ; См. Arxiv arXiv:0803.2424.
• Кренгель, Ульрих (1985), Эргодические теоремы , Исследования Де Грюйтера по математике, том. 6, де Грюйтер, ISBN 3-11-008478-3