Обезразмеривание и масштабирование уравнений Навье–Стокса

Эта статья может быть несбалансированной по отношению к определенным точкам зрения . Пожалуйста, улучшите статью, добавив информацию о проигнорированных точках зрения, или обсудите вопрос на странице обсуждения . ( Сентябрь 2012 )

Часть серии статей о
Механика сплошной среды
${\displaystyle J=-D{\frac {d\varphi {dx}}}$ Законы диффузии Фика
Законы Консервации Масса Импульс Энергия Неравенства Клаузиус–Дюгем (энтропия)
Механика твёрдого тела Деформация Эластичность линейный Пластичность закон Гука Стресс Напряжение Конечная деформация Бесконечно малая деформация Совместимость Изгиб Контактная механика фрикционный Теория разрушения материалов Механика разрушения
Механика жидкости Жидкости Статика  · Динамика Принцип Архимеда  · Принцип Бернулли Уравнения Навье–Стокса Уравнение Пуазейля  · Закон Паскаля Вязкость ( Ньютоновский  · неньютоновский ) Плавучесть  · Смешивание  · Давление Жидкости Адгезия Капиллярное действие Хроматография Когезия (химия) Поверхностное натяжение Газы Атмосфера Закон Бойля Закон Шарля Комбинированный газовый закон Закон Фика Закон Гей-Люссака Закон Грэма плазма
Реология Вязкоупругость Реометрия Реометр Умные жидкости Электрореологический Магнитореологический Ферромагнитные жидкости
Ученые Бернулли Бойл Cauchy Charles Euler Fick Gay-Lussac Graham Hooke Newton Navier Noll Pascal Stokes Truesdell
v t e

В механике жидкости обезразмеривание уравнений Навье–Стокса представляет собой преобразование уравнения Навье–Стокса в безразмерную форму . Этот метод может облегчить анализ рассматриваемой проблемы и сократить количество свободных параметров . Малые или большие размеры определенных безразмерных параметров указывают на важность определенных членов в уравнениях для изучаемого потока. Это может предоставить возможность пренебречь членами в (определенных областях) рассматриваемого потока. Кроме того, обезразмеренные уравнения Навье–Стокса могут быть полезны, если сталкиваться с похожими физическими ситуациями, то есть задачами, в которых единственными изменениями являются изменения основных размеров системы.

Масштабирование уравнения Навье–Стокса относится к процессу выбора соответствующих пространственных масштабов – для определенного типа потока – для использования в безразмерной реализации уравнения. Поскольку полученные уравнения должны быть безразмерными, необходимо найти подходящую комбинацию параметров и констант уравнений и характеристик потока (области). В результате этой комбинации количество анализируемых параметров сокращается, и результаты могут быть получены в терминах масштабированных переменных .

Помимо сокращения числа параметров, безразмерное уравнение помогает получить более глубокое представление об относительном размере различных членов, присутствующих в уравнении. ^{[1] [2]} После соответствующего выбора масштабов для процесса безразмерности это приводит к идентификации малых членов в уравнении. Пренебрежение меньшими членами по сравнению с большими позволяет упростить ситуацию. Для случая потока без теплопередачи безразмерное уравнение Навье-Стокса зависит только от числа Рейнольдса , и, следовательно, все физические реализации соответствующего эксперимента будут иметь одинаковое значение безразмерных переменных для одного и того же числа Рейнольдса. ^[3]

Масштабирование помогает обеспечить лучшее понимание физической ситуации с изменением размеров параметров, участвующих в уравнении. Это позволяет проводить эксперименты на прототипах меньшего масштаба при условии, что любые физические эффекты, которые не включены в безразмерное уравнение, не важны.

Уравнение импульса Навье–Стокса для несжимаемой жидкости записывается как:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} +\mathbf {g} .}$ ^{[4] [5]}

где ρ — плотность , p — давление , ν — кинематическая вязкость , u — скорость потока , g — поле ускорения тела.

Приведенное выше уравнение можно обезразмерить, выбрав соответствующие масштабы следующим образом:

Шкала	безразмерная переменная
Длина Д	${\displaystyle \mathbf {r} ^{*}\ ={\frac {\mathbf {r} }{L}}}$и${\displaystyle \nabla ^{*}\ =L\nabla }$
Скорость потока U	${\displaystyle \mathbf {u} ^{*}\ ={\frac {\mathbf {u} }{U}}\,}$
Время Л / У	${\displaystyle t^{*}\ ={\frac {t}{L/U}}\,}$
Давление : естественного отбора по шкале давления не существует.	Где преобладают динамические эффекты, т.е. высокоскоростные потоки ${\displaystyle p^{*}={\frac {p}{\rho U^{2}}}}$ Где преобладают вязкие эффекты, т.е. ползучие потоки ${\displaystyle p^{*}={\frac {pL}{\mu U}}}$

Подставляя масштабы, получаем безразмерное уравнение:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u^{*}} }{\partial t^{*}}}+(\mathbf {u^{*}} \cdot \nabla ^{*})\mathbf {u^{*}} \ =-\nabla ^{*}p^{*}+{\frac {1}{Re}}\nabla ^{*2}\mathbf {u^{*}} +{\frac {1}{Fr^{2}}}{\hat {g}}.}$[4]

( 1 )

где — число Фруда , — число Рейнольдса ( ).${\displaystyle Fr}$${\displaystyle Re}$${\displaystyle Re=UL/\nu }$

Для потоков, где вязкие силы являются доминирующими, т.е. медленных потоков с большой вязкостью, используется шкала вязкого давления μ U / L. При отсутствии свободной поверхности полученное уравнение имеет вид

${\displaystyle Re\left({\frac {\partial \mathbf {u^{*}} }{\partial t^{*}}}+(\mathbf {u^{*}} \cdot \nabla ^{*})\mathbf {u^{*}} \right)\ =-\nabla ^{*}p^{*}+\nabla ^{*2}\mathbf {u^{*}} .}$

( 2 )

Масштабирование уравнения ( 1 ) можно выполнить в потоке, где инерционный член меньше вязкого члена, т.е. когда Re → 0, то инерционными членами можно пренебречь, оставив уравнение ползучего движения .

${\displaystyle Re{\frac {\partial \mathbf {u^{*}} }{\partial t^{*}}}=-\nabla ^{*}p^{*}+\nabla ^{*2}\mathbf {u^{*}} .}$

Такие потоки, как правило, оказывают влияние вязкого взаимодействия на больших расстояниях от объекта. ^{[ требуется ссылка ]} При низком числе Рейнольдса то же уравнение сводится к уравнению диффузии , называемому уравнением Стокса.

${\displaystyle -\nabla ^{*}p^{*}+\nabla ^{*2}\mathbf {u^{*}} =\mathbf {0} .}$

Аналогично, если Re → ∞, т.е. когда доминируют силы инерции, вязким вкладом можно пренебречь. Безразмерное уравнение Эйлера для невязкого потока имеет вид

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u^{*}} }{\partial t}}+(\mathbf {u^{*}} \cdot \nabla ^{*})\mathbf {u^{*}} \ =-\nabla ^{*}p^{*}.}$^[6]

Изменение плотности, вызванное как концентрацией, так и температурой, является важной областью изучения двойной диффузионной конвекции . Если учитывать изменения плотности, вызванные как температурой, так и соленостью, то к Z-компоненте импульса добавляются еще несколько членов следующим образом: ^{[7] [8]}

${\displaystyle {\frac {\partial W}{\partial t}}+U{\frac {\partial W}{\partial X}}+W{\frac {\partial W}{\partial Z}}\ =-{\frac {1}{\rho _{o}}}{\frac {\partial p_{d}}{\partial Z}}+v\left({\frac {\partial ^{2}W}{\partial X^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}W}{\partial Z^{2}}}\right)\ -g\left(\beta _{s}\nabla {S}-\beta _{T}\nabla {T}\right)}$

Где S — соленость жидкости, β _T — коэффициент теплового расширения при постоянном давлении, а β _S — коэффициент расширения солевого раствора при постоянном давлении и температуре.

Без указания размеров с использованием шкалы:

${\displaystyle S^{*}={\frac {S-S_{B}}{S_{T}-S_{B}}}}$и${\displaystyle T^{*}={\frac {T-T_{B}}{T_{T}-T_{B}}}}$

мы получаем

${\displaystyle {\frac {\partial W^{*}}{\partial t^{*}}}+U^{*}{\frac {\partial W^{*}}{\partial X^{*}}}+W^{*}{\frac {\partial W^{*}}{\partial Z^{*}}}\ =-{\frac {\partial p_{d}}{\partial Z^{*}}}+Pr\left({\frac {\partial ^{2}W^{*}}{\partial X^{*2}}}+{\frac {\partial ^{2}W^{*}}{\partial Z^{*2}}}\right)\ -{Ra_{s}Pr_{s}S}+{Ra_{T}Pr_{T}T}}$

где S _T , T _T обозначают соленость и температуру в верхнем слое, S _B , T _B обозначают соленость и температуру в нижнем слое, Ra — число Рэлея , а Pr — число Прандтля . Знак Ra _S и Ra _T будет меняться в зависимости от того, стабилизирует он или дестабилизирует систему.

• Y. Cengel и J. Cimbala, МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ: основы и приложения, 4-е издание, McGraw-Hill Education, 2018 (см. стр. 521, раздел 10.2. Безразмерные уравнения движения).