Число Рэлея

В механике жидкости число Рэлея ( Ra , в честь лорда Рэлея ^[1] ) для жидкости — это безразмерное число, связанное с течением, обусловленным плавучестью , также известное как свободная (или естественная) конвекция . ^{[2] [3] [4]} Оно характеризует режим течения жидкости: ^[5] значение в определенном нижнем диапазоне обозначает ламинарный поток ; значение в более высоком диапазоне — турбулентный поток . Ниже определенного критического значения движение жидкости отсутствует, и передача тепла осуществляется за счет теплопроводности , а не конвекции. Для большинства инженерных задач число Рэлея велико, где-то около 10 ⁶ — 10 ⁸ .

Число Рэлея определяется как произведение числа Грасгофа ( Gr ), которое описывает соотношение между плавучестью и вязкостью в жидкости, и числа Прандтля ( Pr ), которое описывает соотношение между коэффициентом диффузии импульса и коэффициентом температуропроводности : Ra = Gr × Pr . ^{[4] [3]} Следовательно, его можно также рассматривать как отношение сил плавучести и вязкости, умноженное на отношение коэффициентов импульса и температуропроводности: Ra = B/ μ × ν / α . Оно тесно связано с числом Нуссельта ( Nu ). ^[5]

Число Рэлея описывает поведение жидкостей (таких как вода или воздух), когда плотность массы жидкости неравномерна. Различия в плотности массы обычно вызваны разницей температур. Обычно жидкость расширяется и становится менее плотной по мере нагревания. Гравитация заставляет более плотные части жидкости опускаться, что называется конвекцией . Лорд Рэлей изучал ^[2] случай конвекции Рэлея-Бенара . ^[6] Когда число Рэлея, Ra, ниже критического значения для жидкости, поток отсутствует, и передача тепла происходит исключительно за счет теплопроводности ; когда оно превышает это значение, тепло передается путем естественной конвекции. ^[3]

Когда разница в плотности массы вызвана разницей температур, Ra, по определению, представляет собой отношение шкалы времени для диффузионного переноса тепла к шкале времени для конвективного переноса тепла со скоростью : ^[4]${\displaystyle u}$

$${\displaystyle \mathrm {Ra} ={\frac {\text{шкала времени для переноса тепла посредством диффузии}}{{\text{шкала времени для переноса тепла посредством конвекции со скоростью}}~u}}.}$$

Это означает, что число Рэлея является типом ^[4] числа Пекле . Для объема жидкости размером во всех трех измерениях ^{[ необходимо разъяснение ]} и разницей плотности массы сила, вызванная гравитацией, имеет порядок , где — ускорение силы тяжести. Из уравнения Стокса , когда объем жидкости тонет, вязкое сопротивление имеет порядок , где — динамическая вязкость жидкости. Когда эти две силы приравниваются, скорость . Таким образом, временной масштаб для переноса потоком равен . Временной масштаб для тепловой диффузии на расстояние равен , где — температуропроводность . Таким образом, число Рэлея Ra равно${\displaystyle л}$${\displaystyle \Дельта \ро }$${\displaystyle \Delta \rho l^{3}g}$${\displaystyle г}$${\displaystyle \эта лу}$${\displaystyle \эта}$${\displaystyle u\sim \Delta \rho l^{2}g/\eta}$${\displaystyle l/u\sim \eta /\Delta \rho lg}$${\displaystyle л}$${\displaystyle l^{2}/\alpha }$${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle \mathrm {Ra} ={\frac {l^{2}/\alpha }{\eta /\Delta \rho lg}}={\frac {\Delta \rho l^{3}g}{\eta \alpha }}={\frac {\rho \beta \Delta Tl^{3}g}{\eta \alpha }}}$$

где мы аппроксимировали разницу плотностей для жидкости со средней массовой плотностью , коэффициентом теплового расширения и разностью температур на расстоянии .${\displaystyle \Delta \rho =\rho \beta \Delta T}$${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \Delta T}$${\displaystyle l}$

Число Рэлея можно записать как произведение числа Грасгофа и числа Прандтля : ^{[4] [3]}$${\displaystyle \mathrm {Ra} =\mathrm {Gr} \mathrm {Pr} .}$$

Для свободной конвекции вблизи вертикальной стенки число Рэлея определяется как:

$${\displaystyle \mathrm {Ra} _{x}={\frac {g\beta }{\nu \alpha }}(T_{s}-T_{\infty })x^{3}=\mathrm {Gr} _{x}\mathrm {Pr} }$$

где:

• x — характерная длина
• Ra _x — число Рэлея для характерной длины x
• g — ускорение свободного падения
• β — коэффициент теплового расширения (равен 1/ T для идеальных газов, где T — абсолютная температура).
• ${\displaystyle \nu }$это кинематическая вязкость
• α — температуропроводность
• T _s — температура поверхности
• T _∞ — температура покоя (температура жидкости вдали от поверхности объекта)
• Gr _x — число Грасгофа для характеристической длины x
• Pr — число Прандтля

Выше свойства жидкости Pr, ν , α и β оцениваются при температуре пленки , которая определяется как:

$${\displaystyle T_{f}={\frac {T_{s}+T_{\infty }}{2}}.}$$

Для равномерного потока тепла через стенки модифицированное число Рэлея определяется как:

$${\displaystyle \mathrm {Ra} _{x}^{*}={\frac {g\beta q''_{o}}{\nu \alpha k}}x^{4}}$$

где:

• q″ _o — равномерный поверхностный тепловой поток
• k – теплопроводность. ^[7]

Число Рэлея также может быть использовано в качестве критерия для прогнозирования конвективных нестабильностей, таких как A-сегрегаты , в кашеобразной зоне затвердевающего сплава. Число Рэлея для кашеобразной зоны определяется как:

$${\displaystyle \mathrm {Ra} ={\frac {{\frac {\Delta \rho }{\rho _{0}}}g{\bar {K}}L}{\alpha \nu }}={\frac {{\frac {\Delta \rho }{\rho _{0}}}g{\bar {K}}}{R\nu }}}$$

где:

• К – средняя проницаемость (начальной порции кашицы)
• L — характерный масштаб длины
• α — температуропроводность
• ν — кинематическая вязкость
• R – скорость затвердевания или изотермы. ^[8]

Прогнозируется образование A-сегрегатов, когда число Рэлея превышает определенное критическое значение. Это критическое значение не зависит от состава сплава, и это является основным преимуществом критерия числа Рэлея перед другими критериями прогнозирования конвективных неустойчивостей, такими как критерий Сузуки.

Torabi Rad et al. показали, что для стальных сплавов критическое число Рэлея равно 17. ^[8] Pickering et al. исследовали критерий Torabi Rad и дополнительно проверили его эффективность. Были также разработаны критические числа Рэлея для суперсплавов на основе свинца и олова и никеля. ^[9]

Число Рэлея выше относится к конвекции в объемной жидкости, такой как воздух или вода, но конвекция может также происходить, когда жидкость находится внутри и заполняет пористую среду, такую ​​как пористая порода, насыщенная водой. ^[10] Тогда число Рэлея, иногда называемое числом Рэлея-Дарси , отличается. В объемной жидкости, т. е. не в пористой среде, из уравнения Стокса , скорость падения области размером жидкости . В пористой среде это выражение заменяется выражением из закона Дарси , с проницаемостью пористой среды. Тогда число Рэлея или Рэлея-Дарси равно${\displaystyle l}$${\displaystyle u\sim \Delta \rho l^{2}g/\eta }$ ${\displaystyle u\sim \Delta \rho kg/\eta }$${\displaystyle k}$

$${\displaystyle \mathrm {Ra} ={\frac {\rho \beta \Delta Tklg}{\eta \alpha }}}$$

Это также относится к А-сегрегатам в кашеобразной зоне затвердевающего сплава. ^[8]

В геофизике число Рэлея имеет фундаментальное значение: оно указывает на наличие и силу конвекции внутри жидкого тела, такого как мантия Земли . Мантия — это твердое тело, которое ведет себя как жидкость в геологических масштабах времени. Число Рэлея для мантии Земли, обусловленное только внутренним нагревом, Ra _H , определяется по формуле:

$${\displaystyle \mathrm {Ra} _{H}={\frac {g\rho _{0}^{2}\beta HD^{5}}{\eta \alpha k}}}$$

где:

• H — скорость производства радиогенного тепла на единицу массы
• η — динамическая вязкость
• k — теплопроводность
• D – глубина мантии . [ ^11]

Число Рэлея для нижнего нагрева мантии от ядра, Ra _T , также можно определить как:

$${\displaystyle \mathrm {Ra} _{T}={\frac {\rho _{0}^{2}g\beta \Delta T_{\text{sa}}D^{3}C_{P}}{\eta k}}}$$

где:

• Δ T _sa — сверхадиабатическая разность температур (сверхадиабатическая разность температур — это фактическая разность температур за вычетом разности температур в жидкости, градиент энтропии которой равен нулю, но имеет тот же профиль других переменных, входящих в уравнение состояния ) между референтной температурой мантии и границей ядро-мантия
• C _P — удельная теплоемкость при постоянном давлении. ^[11]

Высокие значения для мантии Земли указывают на то, что конвекция внутри Земли является интенсивной и изменяющейся во времени, и что конвекция отвечает за почти все тепло, переносимое из глубоких недр на поверхность.

• Число Грасгофа
• Число Прандтля
• Число Рейнольдса
• Число Пекле
• Число Нуссельта
• Конвекция Рэлея-Бенара

• Теркотт, Д.; Шуберт, Г. (2002). Геодинамика (2-е изд.). Нью-Йорк: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-66186-7.

• Калькулятор числа Рэлея