Свободная алгебра

В математике , особенно в области абстрактной алгебры , известной как теория колец , свободная алгебра является некоммутативным аналогом кольца многочленов , поскольку ее элементы могут быть описаны как «многочлены» с некоммутирующими переменными. Аналогично, кольцо многочленов может рассматриваться как свободная коммутативная алгебра .

Для R коммутативного кольца свободная ( ассоциативная , унитальная ) алгебра на n неопределенных { X ₁ ,..., X _n } является свободным R -модулем с базисом, состоящим из всех слов в алфавите { X ₁ ,..., X _n } (включая пустое слово, которое является единицей свободной алгебры). Этот R -модуль становится R -алгеброй , если определить умножение следующим образом: произведение двух базисных элементов является конкатенацией соответствующих слов:

${\displaystyle \left(X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{l}}\right)\cdot \left(X_{j_{1}}X_{j_{2}}\cdots X_{j_{m}}\right)=X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{l}}X_{j_{1}}X_{j_{2}}\cdots X_{j_{m}},}$

и произведение двух произвольных R -модульных элементов, таким образом, определяется однозначно (потому что умножение в R -алгебре должно быть R -билинейным). Эта R -алгебра обозначается R ⟨ X ₁ ,..., X _n ⟩. Эту конструкцию можно легко обобщить на произвольное множество X неопределенностей.

Короче говоря, для произвольного множества свободная ( ассоциативная , унитальная ) R - алгебра на X есть ${\displaystyle X=\{X_{i}\,;\;i\in I\}}$

${\displaystyle R\langle X\rangle :=\bigoplus _{w\in X^{\ast }}Rw}$

с R -билинейным умножением, которое является конкатенацией слов, где X * обозначает свободный моноид на X (т.е. слова на буквах X _i ), обозначает внешнюю прямую сумму , а Rw обозначает свободный R -модуль на 1 элементе, слове w .${\displaystyle \oplus }$

Например, в R ⟨ X ₁ , X ₂ , X ₃ , X ₄ ⟩ для скаляров α, β, γ, δ ∈ R конкретным примером произведения двух элементов является

${\displaystyle (\alpha X_{1}X_{2}^{2}+\beta X_{2}X_{3})\cdot (\gamma X_{2}X_{1}+\delta X_{1}^{4}X_{4})=\alpha \gamma X_{1}X_{2}^{3}X_{1}+\alpha \delta X_{1}X_{2}^{2}X_{1}^{4}X_{4}+\beta \gamma X_{2}X_{3}X_{2}X_{1}+\beta \delta X_{2}X_{3}X_{1}^{4}X_{4}}$.

Кольцо некоммутативных многочленов можно отождествить с кольцом моноидов над R свободного моноида всех конечных слов в X _i .

Поскольку слова в алфавите { X ₁ , ..., X _n } образуют базис R ⟨ X ₁ ,..., X _n ⟩, ясно, что любой элемент R ⟨ X ₁ , ..., X _n ⟩ может быть записан единственным образом в виде:

${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }\,\,\,\sum \limits _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}\in \left\lbrace 1,2,\cdots ,n\right\rbrace }a_{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{k}},}$

где — элементы R , и все, кроме конечного числа, эти элементы равны нулю. Это объясняет, почему элементы R ⟨ X ₁ ,..., X _n ⟩ часто обозначаются как «некоммутативные многочлены» от «переменных» (или «неопределенностей») X ₁ ,..., X _n ; элементы называются «коэффициентами» этих многочленов, а R -алгебра R ⟨ X ₁ ,..., X _n ⟩ называется «некоммутативной многочленной алгеброй над R от n неопределенностей». Обратите внимание, что в отличие от реального кольца многочленов , переменные не коммутируют . Например, X ₁ X ₂ не равно X ₂ X ₁ .${\displaystyle a_{i_{1},i_{2},...,i_{k}}}$${\displaystyle a_{i_{1},i_{2},...,i_{k}}}$

В более общем случае можно построить свободную алгебру R ⟨ E ⟩ на любом множестве образующих E. Поскольку кольца можно рассматривать как Z -алгебры, свободное кольцо на E можно определить как свободную алгебру Z ⟨ E ⟩.

Над полем свободная алгебра на n неопределенных может быть построена как тензорная алгебра на n -мерном векторном пространстве . Для более общего кольца коэффициентов та же конструкция работает, если мы возьмем свободный модуль на n образующих .

Конструкция свободной алгебры на E имеет функториальный характер и удовлетворяет подходящему универсальному свойству . Функтор свободной алгебры является левым сопряженным к забывающему функтору из категории R -алгебр в категорию множеств .

Свободные алгебры над телами являются свободными кольцами идеалов .

• Cofree коалгебра
• Тензорная алгебра
• Свободный объект
• Некоммутативное кольцо
• Рациональный ряд
• Термин алгебра

• Берстель, Жан; Ройтенауэр, Кристоф (2011). Некоммутативные рациональные ряды с приложениями . Энциклопедия математики и ее приложений. Том 137. Кембридж: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-19022-0. Збл  1250.68007.
• Л.А. Бокуть (2001) [1994], "Свободная ассоциативная алгебра", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС