алгебра Николса

В алгебре алгебра Николса сплетенного векторного пространства (сплетение часто индуцируется конечной группой) является сплетенной алгеброй Хопфа , которая обозначается и названа в честь математика Уоррена Николса. Она играет роль квантовой борелевской части точечной алгебры Хопфа ^[1], такой как квантовые группы и их хорошо известные конечномерные усечения. Алгебры Николса можно немедленно использовать для записи новых таких квантовых групп с помощью бипроизведения Рэдфорда . ^[1]${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V)}$

Классификация всех таких алгебр Николса и даже всех связанных с ними квантовых групп (см. Приложение) быстро прогрессирует, хотя многое еще остается открытым: случай абелевой группы был решен в 2005 году, ^[2], но в остальном это явление кажется очень редким, с несколькими известными примерами и установленными мощными критериями отрицания (см. ниже). См. также этот Список конечномерных алгебр Николса .

Конечномерная теория в значительной степени управляется теорией корневых систем и диаграмм Дынкина , поразительно похожих на теории полупростых алгебр Ли . ^[3] Подробное введение можно найти в лекции Хекенбергера. ^[4]

Рассмотрим модуль Йеттера–Дринфельда V в категории Йеттера–Дринфельда . Это, в частности, сплетенное векторное пространство, см. Сплетенная моноидальная категория .${\displaystyle {}_{H}^{H}{\mathcal {YD}}}$

Тензорная алгебра модуля Йеттера–Дринфельда всегда является плетеной алгеброй Хопфа . Копроизведение и коединица определяются таким образом, что элементы являются примитивными, то есть для всех${\displaystyle ТВ}$${\displaystyle V\in {}_{H}^{H}{\mathcal {YD}}}$${\displaystyle \Дельта}$${\displaystyle \epsilon}$${\displaystyle ТВ}$${\displaystyle V}$${\displaystyle v\in V}$

${\displaystyle \Delta (v)=1\otimes v+v\otimes 1}$

${\displaystyle \epsilon (v)=0}$

Алгебра Николса может быть однозначно определена несколькими эквивалентными характеризациями , некоторые из которых фокусируются на структуре алгебры Хопфа, а некоторые более комбинаторны. Независимо от этого, явное определение алгебры Николса (даже решение, является ли она конечномерной) может быть очень сложным и открытым в нескольких конкретных случаях (см. ниже).

Пусть будет сплетенным векторным пространством , это означает, что существует действие группы кос на для любого , где транспонирование действует как . Очевидно, что существует гомоморфизм в симметрическую группу , но ни это не допускает сечения, ни действие на в общем случае не факторизуется по этому.${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {B} _{n}}$${\displaystyle V^{\otimes n}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle (я,я+1)}$${\displaystyle id\otimes \cdots \otimes \tau \otimes id\cdots id}$${\displaystyle \пи :\mathbb {B} _{n}\to \mathbb {S} _{n}}$${\displaystyle V^{\otimes n}}$

Рассмотрим, тем не менее, раздел теории множеств, отправляющий транспозицию в транспозицию и произвольные элементы через любое приведенное выражение . Это не гомоморфизм групп, но теорема Мацумото (теория групп) говорит нам, что действие любого на хорошо определено независимо от выбора приведенного выражения. Наконец, алгебра Николса тогда ${\displaystyle s:\mathbb {S} _{n}\to \mathbb {B} _{n}}$${\displaystyle s(\сигма)}$${\displaystyle V^{\otimes n}}$

${\displaystyle {\mathfrak {W}}_{n}:=\sum _{\sigma \in \mathbb {S} _{n}}s(\sigma ):\;\;V^{\otimes n}\to V^{\otimes n}\qquad {\text{(квантовый симметризатор или квантовая карта перетасовки)}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V):=\bigoplus _{n\geq 0}V^{\otimes n}/Ker({\mathfrak {W}}_{n})}$

Это определение было позже (но независимо) дано Вороновичем. Его недостаток в том, что оно редко полезно в алгебраических доказательствах, но оно представляет собой интуицию в своем собственном праве и имеет дидактическое преимущество в том, что оно очень явно и независимо от обозначений алгебры Хопфа.

Алгебра Николса — это единственная алгебра Хопфа в сплетенной категории, порожденная заданными , такими, что являются единственными примитивными элементами.${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V)}$${\displaystyle {}_{H}^{H}{\mathcal {YD}}}$${\displaystyle V\in {}_{H}^{H}{\mathcal {YD}}}$${\displaystyle V\subset {\mathfrak {B}}(V)}$

Это оригинальное определение, данное Николсом, и оно делает совершенно прозрачной роль алгебры Николса как фундаментального понятия в классификации алгебр Хопфа.

Пусть . Существует наибольший идеал со следующими свойствами:${\displaystyle V\in {}_{H}^{H}{\mathcal {YD}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {I}}\subset TV}$

${\displaystyle {\mathfrak {I}}\subset \bigoplus _{n=2}^{\infty }T^{n}V,}$

${\displaystyle \Delta ({\mathfrak {I}})\subset {\mathfrak {I}}\otimes ТВ+ТВ\otimes {\mathfrak {I}}}$(это происходит автоматически)

Алгебра Николса — это

${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V):=TV/{\mathfrak {I}}}$

Уникальное спаривание Хопфа факторизуется в невырожденное спаривание Хопфа между и этот факт характеризует алгебру Николса уникальным образом. Эта теоретически очень полезная характеристика принадлежит Люстигу.${\displaystyle V\otimes TV^{*}\to k}$${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V)\otimes {\mathfrak {B}}(V^{*})\to k}$

Это несколько явная форма предыдущего определения: выбрав однородный базис (т.е. кодействие/градуировку ), можно определить косые дифференцирования , используя универсальное свойство тензорной алгебры:${\displaystyle v_{i}\in V}$${\displaystyle v_{i}\mapsto g_{i}\otimes v_{i}}$ ${\displaystyle \partial _{i}}$

${\displaystyle \partial _{i}(1)=0\quad \partial _{i}(v_{j})=\delta _{ij}}$

${\displaystyle \partial _{i}(ab)=a\partial _{i}(b)+\partial _{i}(a)(g_{i}.b)}$

Тогда алгебра Николса является частным по наибольшему однородному идеалу, который не содержит констант и инвариантен относительно всех выводов . Грубо говоря, можно искать элементы в ядре всех косых выводов и делить их; затем снова искать все элементы, которые теперь находятся в ядре всех косых производных, и делить их также и т. д.${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V)}$${\displaystyle TV}$${\displaystyle \partial _{i}}$${\displaystyle TV}$

Мы приводим примеры конечномерных алгебр Николса. Выше характеристики p этот эффект может появиться уже в несплетенной ситуации, а именно в усеченных универсальных обертываниях p-ограниченных алгебр Ли. В нулевой характеристике и с оплеткой, исходящей из абелевой группы, это, по-видимому, столь же частое явление (однако более сложное, см. Классификацию). Для неабелевой G с другой стороны, пока известно лишь очень мало примеров, а мощные критерии отрицания исключают многие группы вообще (см. Классификацию).

В качестве первого примера рассмотрим одномерный модуль Йеттера–Дринфельда над групповой алгеброй Хопфа H = k [ Z /2 Z ] с циклической группой , мультипликативно обозначенной (как это обычно бывает в алгебре) и порожденной некоторым g .${\displaystyle V_{\pm }=kx}$

• Принять в качестве H -коэффициента (соотв. Z /2 Z -градуировки) на :${\displaystyle V_{\pm }}$${\displaystyle x\mapsto g\otimes x}$
• Возьмем в качестве H -действия (соответственно Z /2Z - действия) :${\displaystyle V_{\pm }}$${\displaystyle g\otimes x\mapsto \pm x}$
• Таким образом, плетение${\displaystyle x\otimes x\rightarrow \pm x\otimes x}$

Тогда, в зависимости от выбора знака, алгебры Николса будут следующими:

${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V_{+})=k[x]\qquad {\mathfrak {B}}(V_{-})=k[x]/(x^{2})}$

Обратите внимание, что первый случай такой, как и ожидалось (случай без переплетения), а второй усечен до конечномерности! Аналогично, V _q над высшей циклической группой с g, действующим посредством некоторого q из k, имеет алгебру Николса, если q ≠ 1 является примитивным корнем n-й степени из единицы, и в противном случае.${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V_{q})=k[x]/(x^{n})}$${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V_{q})=k[x]}$

(с физической точки зрения V ₊ соответствует бозону, тогда как V _– представляет фермион, ограниченный принципом исключения Паули ; аналогия, которая повторяется при рассмотрении сплетенных коммутаторов, являющихся (анти)коммутаторами в этих случаях, см. также Суперсимметрия как квантовая группа и ее обсуждение)

Следующие примеры показывают взаимодействие двух базисных элементов: Рассмотрим двумерный модуль Йеттера–Дринфельда V _0,1 = kx ⊕ ky над групповой алгеброй Хопфа H = k [ Z /2 Z × Z /2 Z ] с четверной группой Клейна, мультипликативно обозначенной и порожденной некоторыми g,h .

• Примем в качестве H -кодействие/градуировку на V _0,1 : и${\displaystyle x\mapsto g\otimes x}$${\displaystyle x\mapsto g\otimes x}$
• Возьмем в качестве H -действия (соответственно Z _/ 2 Z -действия) на V0,1 :
  • ${\displaystyle g\otimes x\mapsto -x}$
  • ${\displaystyle g\otimes y\mapsto +y}$
  • ${\displaystyle h\otimes y\mapsto -y}$
  • ${\displaystyle h\otimes x\mapsto \pm x}$с "+" для V ₀ (симметричный) и "–" для V ₁ (асимметричный)
• Таким образом, плетение
  • ${\displaystyle x\otimes x\rightarrow -x\otimes x}$
  • ${\displaystyle y\otimes y\rightarrow -y\otimes y}$
  • ${\displaystyle x\otimes y\rightarrow y\otimes x}$
  • ${\displaystyle y\otimes x\rightarrow \pm x\otimes y}$

Тогда, в зависимости от выбора знака, алгебры Николса имеют размерность 4 и 8 (они появляются в классификации ниже ):${\displaystyle q_{12}q_{21}=\pm 1}$

${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V_{0})=k[x,y]/(x^{2},y^{2},xy+yx),}$

${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V_{1})=k[x]/(x^{2},y^{2},xyxy+yxyx)}$

Здесь можно увидеть поразительное сходство с полупростыми алгебрами Ли : в первом случае сплетенный коммутатор [ x , y ] (здесь: антикоммутатор) равен нулю, тогда как во втором случае корневая строка длиннее [ x , [ x , y ]] = 0. Следовательно, эти две алгебры принадлежат диаграммам Дынкина и _A2 .${\displaystyle A_{1}\cup A_{1}}$

Можно также построить примеры с еще более длинными корневыми строками V ₂ , V _{3 ,} соответствующими диаграммам Дынкина B ₂ , G ₂ (но также и без более высоких).

Алгебры Николса, вероятно, наиболее известны как борелевская часть квантовых групп и их обобщений. Точнее, пусть

${\displaystyle V:=x_{1}\mathbb {C} \oplus x_{2}\mathbb {C} \oplus \cdots \oplus x_{n}\mathbb {C} }$

быть диагональным модулем Йеттера-Дринфельда над абелевой группой с оплеткой${\displaystyle \Lambda =\mathbb {Z} ^{n}=\langle K_{1},\ldots ,K_{n}\rangle }$

${\displaystyle x_{i}\otimes x_{j}\mapsto q_{ij}x_{j}\otimes x_{i}\qquad q_{ij}:=q^{(\alpha _{i},\alpha _{j})}}$

где — форма Киллинга полупростой (конечномерной) алгебры Ли , тогда алгебра Николса — это положительная часть малой квантовой группы Люстига${\displaystyle (\alpha _{i},\alpha _{j})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V)=u_{q}({\mathfrak {g}})^{+}}$

В списке Хекенбергера больше диагональных алгебр Николса, чем алгебр Ли, а теория корневой системы является систематической, но более сложной (см. ниже). В частности, она также содержит классификацию Супер-Ли-алгебр (пример ниже), а также некоторые алгебры Ли и Супер-Ли-алгебры, которые появляются только в определенной конечной характеристике.

Таким образом, теория алгебры Николса и теория корневой системы обеспечивают единую основу для этих концепций.

На данный момент известно лишь несколько конечномерных алгебр Николса над k = C. Известно, что в этом случае каждый неприводимый модуль Йеттера–Дринфельда соответствует классу сопряженности группы (вместе с неприводимым представлением централизатора g ) . Произвольный модуль Йеттера–Дринфельда является прямой суммой таких , число слагаемых называется рангом ; каждое слагаемое соответствует аноду в диаграмме Дынкина (см. ниже) . Отметим, что для абелевых групп, как указано выше, неприводимые слагаемые являются одномерными, поэтому ранг и размерность совпадают.${\displaystyle {\mathcal {O}}_{[g]}^{\chi }}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{[g]}^{\chi }}$

Конкретные примеры включают алгебру Николса, связанную с классом(ами) сопряженности отражений в группе Коксетера, они связаны с алгебрами Фомина-Кирилова. Известно, что эти алгебры Николса являются конечномерными для , но этот случай уже открыт с 2000 года. Другой класс примеров может быть построен из абелева случая путем свертывания через автоморфизмы диаграмм.${\displaystyle \mathbb {S} _{3},\mathbb {S} _{4},\mathbb {S} _{5},\mathbb {D} _{4}}$${\displaystyle \mathbb {S} _{6}}$

Список конечномерных алгебр Николса, насколько нам известно, можно посмотреть здесь .

Весьма примечательной особенностью является то, что для каждой алгебры Николса (при достаточных условиях конечности) существует обобщенная корневая система с набором корней , которая управляет алгеброй Николса. Это было обнаружено в ^[5] для диагональных алгебр Николса в терминах бихарактера и в ^[6] для общих полупростых алгебр Николса. В отличие от обычных кристаллографических корневых систем, известных из алгебр Ли, одна и та же обобщенная корневая система может обладать несколькими be различными камерами Вейля , соответствующими неэквивалентному выбору наборов положительных корней и простых положительных корней , имеющими различные матрицы Картана и различные диаграммы Дынкина.${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle q_{ij}}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Phi =\Phi ^{+}\cup -\Phi ^{+}}$${\displaystyle \alpha _{1},\ldots \alpha _{n}}$

Различные камеры Вейля фактически соответствуют различным неизоморфным алгебрам Николса, которые называются эквивалентными по Вейлю. Квантовые группы весьма специфичны в отношении того факта, что здесь все борелевские части изоморфны; тем не менее, даже в этом случае оператор отражения Люстига снова не является изоморфизмом алгебр Хопфа!${\displaystyle T_{s}}$

Пусть где - ранг, с формальной основой .${\displaystyle I=\{1,\ldots n\}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \alpha _{1},\ldots \alpha _{n}}$

Сначала мы обсудим обобщенные графы Картана, как в: ^[6]

• Обобщенная матрица Картана — это интегральная матрица, такая что${\displaystyle c_{ij},\;\;i,j\in I}$
  • ${\displaystyle c_{ii}=2,\quad c_{ij}<0}$
  • ${\displaystyle c_{ij}=0\Rightarrow c_{ji}=0}$
• Граф Картана — это набор таких матриц Картана, параметризованных набором объектов/камер , вместе с морфизмом (изменение объекта) таким, что${\displaystyle c_{ij}^{a},\;\forall a\in A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle r_{i}:A\to A}$
  • ${\displaystyle r_{i}^{2}=id}$
  • ${\displaystyle c_{ij}^{a}=c_{ij}^{r_{i}(a)}}$
• Определить карты

${\displaystyle s_{i}^{a}:\mathbb {Z} ^{I}\to \mathbb {Z} ^{I}}$

${\displaystyle s_{i}^{a}:\;\alpha _{j}\mapsto \alpha _{j}-c_{ij}^{a}\alpha _{i}}$

(обратите внимание, что в литературе по алгебре Ли также существует соглашение о транспонировании , например, в книге Хамфри)${\displaystyle c_{ij}}$

• Группоид Вейля — это категория с объектами и морфизмами, формально группы, порожденные${\displaystyle A}$${\displaystyle Hom(a,b)}$${\displaystyle s_{i}^{a}:a\to r_{i}(a)}$
• Множество действительных корней — это множество${\displaystyle \Phi _{a}^{+}}$${\displaystyle \{id^{a}s_{i_{1}}\cdots s_{i_{k}}(\alpha _{j})\,|\,k\in \mathbb {N} _{0},\,i_{1},\dots ,i_{k},j\in I\}\subseteq \mathbb {N} ^{I}}$
• Определять ,${\displaystyle m_{i,j}^{a}=|\Phi ^{a}\cap (\mathbb {N} _{0}\alpha _{i}+\mathbb {N} _{0}\alpha _{j})|}$
• Тогда корневая система типа представляет собой множество${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle (c_{i,j}^{a})_{a\in A}}$
  • ${\displaystyle \Phi ^{a}=\Phi _{+}^{a}\cup -\Phi _{+}^{a}}$с${\displaystyle \Phi _{+}^{a}=\Phi ^{a}\cap \mathbb {N} _{0}^{I}}$
  • ${\displaystyle \Phi ^{a}\cap \mathbb {Z} \alpha _{i}=\{\alpha _{i},-\alpha _{i}\}}$
  • ${\displaystyle s_{i}^{a}(\Phi ^{a})=\Phi ^{r_{i}(a)}}$
  • Для с конечным${\displaystyle i\neq j}$${\displaystyle m_{ij}}$${\displaystyle (r_{i}r_{j})^{m_{i,j}^{a}}(a)=a}$

В ^[7] было показано, что группоиды Вейля находятся в соответствии 1:1 с кристаллографическими гиперплоскостными конфигурациями . Это набор гиперплоскостей в точке начала координат и выборе нормальных векторов, таких, что для каждой симплициальной камеры, ограниченной гиперплоскостями с нормальными векторами, все другие выбранные нормальные векторы могут быть выражены как интегральная линейная комбинация .${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \alpha _{1}^{\perp },\ldots \alpha _{n}^{\perp }}$${\displaystyle \alpha ^{\perp }}$${\displaystyle \alpha _{i}^{\perp }}$

В ^[8] классифицировано множество всех конечных кристаллографических гиперплоскостных конфигураций (и, следовательно, конечных группоидов Вейля или конечных обобщенных корневых систем). Помимо конфигураций отражений существует еще одно бесконечное семейство и всего 74 исключения с рангом до .${\displaystyle A_{n},B_{n},C_{n},D_{n},E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}}$${\displaystyle 8}$

Наименьшее кристаллографическое расположение гиперплоскостей, группоид Вейля, обобщенная корневая система, которая не является обычным типом Ли, выглядит следующим образом. Это появляется для диагональной алгебры Николса, даже супералгебры Ли. Расположение гиперплоскостей может быть построено из кубооктаэдра ( платоново тело):

Он имеет корни ( соответственно гиперплоскости, на рисунках ограничивающие равносторонний треугольник соответственно диагонали в квадратах, в супералгебре Ли нечетные соответственно четные корни). Он явно имеет различные типы камер Вейля (равносторонние треугольники соответственно прямоугольные треугольники) с различными матрицами Картана, в которых корни в терминах простых корней следующие:${\displaystyle 7}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle 2}$

${\displaystyle \Phi _{+}^{a}=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)\}}$

На рисунке белая камера, например, с основанием . Очевидно, что диаграмма Дынкина этого типа камеры представляет собой просто-зашнурованный треугольник,${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}}$${\displaystyle a\in A}$

Размышления приводят нас ко второму типу камер${\displaystyle \alpha _{2}}$

${\displaystyle \Phi _{+}^{a'}=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(1,1,1),(1,2,1)\}}$

На рисунке серая камера, например с базисом . Диаграмма Дынкина этого типа камеры просто (но еще один корень).${\displaystyle \alpha _{1}',\alpha _{2}',\alpha _{3}'=\alpha _{12},-\alpha _{2},\alpha _{23}}$${\displaystyle a'\in A}$${\displaystyle A_{2}}$

Эта корневая система является наименьшим членом бесконечного ряда. Рисунки взяты из ^[9] , где пример также подробно обсуждается.

Алгебры Николса конечной размерности над абелевыми группами в k = C были классифицированы Иштваном Хекенбергером ^[2] в 2004–2005 годах путем классификации арифметических корневых систем и обобщенных диаграмм Дынкина ; где уже Харченко доказал, что они обладают базисом Пуанкаре–Биркгофа–Витта итерированных (сплетенных) коммутаторов. Единственная необходимая информация — это матрица сплетения, которая в этом случае диагональна (см. примеры выше)

${\displaystyle x_{i}\otimes x_{j}\mapsto q_{ij}x_{j}\otimes x_{i}}$

Хотя в основном показаны только классические случаи Картана , существует несколько экзотических диаграмм, возможных для малых простых чисел, таких как треугольник

В этих случаях отражения Вейля одной диаграммы могут не попасть в "ту же" диаграмму, а в так называемый эквивалент Вейля . Это также точная причина того, что эти экзотические случаи обладают Вейлевским группоидом вместо обычной группы.

Генераторы и соотношения алгебры Николса нелегко получить из корневой системы. Вместо этого нужно выполнить утомительную работу со словами Линонда. Это было полностью сделано в ^[10]

В частности, для неприводимого V нет подмодулей; однако можно использовать более абстрактное понятие подмодуля , отражающее только сплетение двух содержащихся элементов. В нескольких работах Николас Андрускевич и др. дали отрицательные критерии, исключающие группы вообще из обладания (неразложимыми) алгебрами Николса. Их методы можно грубо суммировать ^[11] (подробнее!) :

Рассмотрим подстойку, которая является абелевой, проверим, какое представление может быть унаследовано от большей стойки, и найдем в списке Хеккенбегера ^[2]

Этот анзац иногда накладывает сильные условия, особенно на сплетение любого g -градуированного элемента x с самим собой (например, первый пример выше показывает, что q ≠ 1). Обратите внимание, что поскольку g является центральным в централизаторе, он действует на неприводимое представление скаляром как следствие леммы Шура ; следовательно, это самосплетение, соответственно, 1-мерный подмодуль Йеттера-Дринфельда / плетеное векторное пространство / 1-мерный подкаркас является диагональным

${\displaystyle x\otimes x\;{\stackrel {\tau }{\longmapsto }}\;q(x\otimes x)\;\;\Longleftrightarrow \;\;g.x=qx}$

Обычно он используется для исключения g , например, нечетного порядка и/или χ высокой размерности: ^[12]

• Если g вещественен (т.е. сопряжен со своим обратным), то q = –1 (особенно g должен быть четного порядка)
• Если g является квазидействительным (т.е. сопряженным с некоторой степенью j ), то
  • либо q = –1, как указано выше
  • или и представление χ является одномерным с q = ζ ₃ ​​примитивным корнем третьей степени из единицы (особенно порядок g делится на 3)${\displaystyle g^{(j^{2})}=g}$
• Если противоположный g является инволюцией и некоторая централизация h = tgt, то собственные значения h (рассматриваемого как матрица), действующие на , сильно ограничены.${\displaystyle {\mathcal {O}}_{[g]}^{\chi }}$

Существование корневой системы также в неабелевом случае ^[3] довольно немедленно подразумевает следующие очень сильные следствия:

Непосредственные следствия подразумеваются для алгебр Николса ранга 2, в которых g, h неперестановочны ; тогда:${\displaystyle {\mathfrak {B}}\left({\mathcal {O}}_{[g]}\oplus {\mathcal {O}}_{[h]}\right)}$

• Сплетенные коммутаторы [ x , y ] элементов не все равны нулю .${\displaystyle x\in {\mathcal {O}}_{[g]}\;y\in {\mathcal {O}}_{[h]}}$
• Пространство сплетенных коммутаторов образует неприводимый суб-модуль Йеттера–Дринфельда (т.е. корень единствен, как и в случае алгебры Ли)${\displaystyle ad_{{\mathcal {O}}_{[g]}}{\mathcal {O}}_{[h]}=[{\mathcal {O}}_{[g]},{\mathcal {O}}_{[h]}]}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{[gh]}}$
• Они «близки к поездкам на работу» ${\displaystyle \;(gh)^{2}=(hg)^{2}}$

Это грубо означает, что конечномерные алгебры Николса над неабелевыми группами должны иметь (если вообще имеют) очень низкий ранг, или группа должна быть близка к абелевой.

Поскольку абелевы подрешетки используют структурную классификацию Хекенбергера для алгебр Николса над абелевыми группами (см. выше), можно также рассмотреть неабелевы подрешетки. Если такая подрешетка распадается на несколько частей (потому что теперь меньше элементов для сопряжения), то применимы приведенные выше результаты о корневых системах.

Конкретным случаем ^[12] , где это весьма успешно, является тип D , т.е. для${\displaystyle r,s\in [g]\;}$

• r , s не сопряжены в сгенерированной подгруппе${\displaystyle \langle r,s\rangle \;}$
• ${\displaystyle (rs)^{2}\neq (sr)^{2}\;}$

в этом случае алгебра Николса подрешетки бесконечномерна , как и вся алгебра Николса.

Оба метода отрицания, описанные выше, оказались весьма плодотворными для отрицания (неразложимых) конечномерных алгебр Николса: ^[12]

• для групп с чередованием ^[13]${\displaystyle \mathbb {A} _{n\geq 5}}$
• для симметричных групп, за исключением короткого списка примеров ^[13]${\displaystyle \mathbb {S} _{n\geq 6}}$
• некоторая группа типа Ли (источники, полный список?)
• все спорадические группы, за исключением короткого списка возможностей (соответственно классов сопряженности в нотации ATLAS), которые все действительны или j = 3-квазидействительны:
  • ...для группы Фишера классы${\displaystyle Fi_{22}\;}$${\displaystyle 22A,22B\;}$
  • ...для группы Б «малыш-монстр» классы${\displaystyle 16C,\;16D,\;32A,\;32B,\;32C,\;32D,\;34A,\;46A,\;46B\;}$
  • ...для группы монстров М классы${\displaystyle 32A,\;32B,\;46A,\;46B,\;92A,\;92B,\;94A,\;94B\;}$

Обычно большое количество классов сопряженности ae типа D («недостаточно коммутативны»), в то время как другие, как правило, обладают достаточными абелевыми подрешетками и могут быть исключены при их рассмотрении. Несколько случаев приходится делать вручную. Обратите внимание, что открытые случаи, как правило, имеют очень маленькие централизаторы (обычно циклические) и представления χ (обычно одномерное знаковое представление). Значительными исключениями являются классы сопряженности порядка 16, 32, имеющие в качестве централизаторов p-группы порядка 2048, соответственно 128, и в настоящее время нет ограничений на χ.

Алгебра Николса появляется как квантовая борелевская часть в классификации конечномерных точечных алгебр Хопфа ^[1] (без малых простых чисел) Николаса Андрускевича и Ганса-Юргена Шнайдера, особенно квантовых групп . Например, и их хорошо известные усечения для q корня из единицы разлагаются так же, как и обычная полупростая алгебра Ли, на E ´s (борелевская часть), дуальные F ´s и K ´s (алгебра Картана):${\displaystyle U_{q}({\mathfrak {g}})}$

${\displaystyle U_{q}({\mathfrak {g}})\cong \left({\mathfrak {B}}(V)\otimes k[\mathbb {Z} ^{n}]\otimes {\mathfrak {B}}(V^{*})\right)^{\sigma }}$

Здесь, как и в классической теории, V — векторное пространство размерности n ( ранг ) , охватываемое E ´s, а σ (так называемый коциклический поворот) создает нетривиальную связь между E ´s и F ´s. Обратите внимание, что в отличие от классической теории может появиться более двух связанных компонентов. См. cit. loc. для экзотического примера с 4 частями типа A ₃ .${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Классификация грубо сводит заданный гипотетический пример к бипроизведению Рэдфорда (корадикальной) группы и (связной) части, которая содержит алгебру Николса, путем взятия соответствующего "градуированного объекта" (уничтожая все связи). Используя знания из классификации конечномерных алгебр Николса выше, авторы доказывают, что в связной части (поколение в степени 1) не появляется никаких дополнительных элементов, и, наконец, описывают все возможные подъемы как "пунктирные линии" в обобщенных диаграммах Дынкина .

Недавно это соответствие было значительно расширено, чтобы определить некоторые так называемые коидеальные подалгебры , находящиеся в соответствии 1:1 ^[14] с группой Вейля , что ранее предполагалось как «числовое совпадение» и в некоторых случаях доказано вручную.

^{[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] ] [18] [19]}