Гнездовая алгебра

В функциональном анализе , разделе математики, гнездовые алгебры представляют собой класс операторных алгебр , которые обобщают верхнетреугольные матричные алгебры на контекст гильбертова пространства . Они были введены Рингроузом  (1965) и обладают многими интересными свойствами. Они являются несамосопряженными алгебрами , замкнуты в слабой операторной топологии и рефлексивны .

Гнездовые алгебры являются одними из простейших примеров коммутативных решетчатых алгебр подпространств. Действительно, они формально определяются как алгебра ограниченных операторов, оставляющих инвариантным каждое подпространство , содержащееся в гнезде подпространства , то есть набор подпространств, который полностью упорядочен включением и также является полной решеткой . Поскольку ортогональные проекции, соответствующие подпространствам в гнезде , коммутируют , гнезда являются коммутативными решетками подпространств.

В качестве примера применим это определение для восстановления конечномерных верхнетреугольных матриц. Работаем в -мерном комплексном векторном пространстве , и пусть будет стандартным базисом . Для , пусть будет -мерным подпространством , натянутым на первые базисные векторы . Пусть${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle e_{1},e_{2},\dots,e_{n}}$${\displaystyle j=0,1,2,\точки ,n}$${\displaystyle S_{j}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle j}$${\displaystyle e_{1},\dots,e_{j}}$

${\displaystyle N=\{(0)=S_{0},S_{1},S_{2},\dots ,S_{n-1},S_{n}=\mathbb {C} ^{n}\};}$

тогда N является гнездом подпространства, а соответствующая гнездовая алгебра комплексных матриц M размера n  ×  n , оставляющая каждое подпространство в N инвариантным, то есть удовлетворяющая для каждого S из N , – это в точности множество верхнетреугольных матриц.${\displaystyle MS\subseteq S}$

Если мы исключим одно или несколько подпространств S _j из N , то соответствующая гнездовая алгебра будет состоять из блочных верхнетреугольных матриц.

• Гнездовые алгебры гиперрефлексивны с константой расстояния 1.

• флаговый коллектор

• Рингроуз, Джон Р. (1965), «О некоторых алгебрах операторов», Труды Лондонского математического общества , Третья серия, 15 : 61–83, doi :10.1112/plms/s3-15.1.61, ISSN  0024-6115, MR  0171174