Рефлексивная операторная алгебра

В функциональном анализе рефлексивная операторная алгебра A — это операторная алгебра, которая имеет достаточно инвариантных подпространств , чтобы ее охарактеризовать. Формально A рефлексивна, если она равна алгебре ограниченных операторов , которые оставляют инвариантным каждое подпространство, оставленное инвариантным каждым оператором в A.

Это не следует путать с рефлексивным пространством .

Гнездовые алгебры являются примерами рефлексивных операторных алгебр. В конечных размерностях это просто алгебры всех матриц заданного размера, ненулевые элементы которых лежат в верхнетреугольном шаблоне.

Фактически, если мы зафиксируем любую схему элементов в матрице размером n на n , содержащей диагональ, то множество всех матриц размером n на n , ненулевые элементы которых лежат в этой схеме, образует рефлексивную алгебру.

Примером алгебры, которая не является рефлексивной, является множество матриц 2 × 2

${\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}}\ :\ a,b\in \mathbb {C} \right\}.}$

Эта алгебра меньше, чем алгебра Неста.

${\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}}\ :\ a,b,c\in \mathbb {C} \right\}}$

но имеет те же инвариантные подпространства, поэтому не является рефлексивным.

Если T — фиксированная матрица n на n , то множество всех многочленов в T и оператор тождества образуют унитарную операторную алгебру. Теорема Дедденса и Филлмора утверждает, что эта алгебра рефлексивна тогда и только тогда, когда два наибольших блока в жордановой нормальной форме T отличаются по размеру не более чем на единицу. Например, алгебра

${\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}a&b&0\\0&a&0\\0&0&a\end{pmatrix}}\ :\ a,b\in \mathbb {C} \right\}}$

который равен множеству всех многочленов в

${\displaystyle T={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$

и идентичность рефлексивна.

Пусть — слабо*-замкнутая операторная алгебра, содержащаяся в B ( H ), множество всех ограниченных операторов в гильбертовом пространстве H и для T — любой оператор из B ( H ), пусть${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle \beta (T,{\mathcal {A}})=\sup \left\{\left\|P^{\perp }TP\right\|\ :\ P{\mbox{ is a projection and }}P^{\perp }{\mathcal {A}}P=(0)\right\}.}$

Заметим, что P является проекцией, входящей в этот супремум, в точности тогда, когда область значений P является инвариантным подпространством .${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Алгебра рефлексивна тогда и только тогда, когда для каждого T из B ( H ):${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle \beta (T,{\mathcal {A}})=0{\mbox{ implies that }}T{\mbox{ is in }}{\mathcal {A}}.}$

Заметим, что для любого T из B(H) выполняется следующее неравенство:

${\displaystyle \beta (T,{\mathcal {A}})\leq {\mbox{dist}}(T,{\mathcal {A}}).}$

Вот расстояние T от алгебры, а именно наименьшая норма оператора TA , где A пробегает алгебру. Мы называем гиперрефлексивным , если существует константа K такая, что для каждого оператора T в B ( H ),${\displaystyle {\mbox{dist}}(T,{\mathcal {A}})}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle {\mbox{dist}}(T,{\mathcal {A}})\leq K\beta (T,{\mathcal {A}}).}$

Наименьшее такое K называется константой расстояния для . Гиперрефлексивная операторная алгебра автоматически рефлексивна.${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

В случае рефлексивной алгебры матриц с ненулевыми элементами, заданными заданным шаблоном, задачу нахождения константы расстояния можно перефразировать как задачу заполнения матриц: если мы заполним элементы в дополнении шаблона произвольными элементами, какой выбор элементов в шаблоне даст наименьшую операторную норму?

• Каждая конечномерная рефлексивная алгебра является гиперрефлексивной. Однако существуют примеры бесконечномерных рефлексивных операторных алгебр, которые не являются гиперрефлексивными.
• Константа расстояния для одномерной алгебры равна 1.
• Гнездовые алгебры являются гиперрефлексивными с константой расстояния 1.
• Многие алгебры фон Неймана являются гиперрефлексивными, но неизвестно, все ли они таковы.
• Алгебра фон Неймана типа I является гиперрефлексивной с константой расстояния не более 2.

• Инвариантное подпространство
• решетка подпространства
• решетка рефлексивного подпространства
• гнездовая алгебра

• Уильям Арвесон, Десять лекций по операторной алгебре , ISBN  0-8218-0705-6
• Х. Раджави и П. Розенталь, Инвариантные подпространства , ISBN 0-486-42822-2