Самосопряженный

В математике элемент *-алгебры называется самосопряженным , если он совпадает со своим сопряженным (т.е. ).${\displaystyle а=а^{*}}$

Пусть будет *-алгеброй. Элемент называется самосопряженным, если . ^[1]${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle а=а^{*}}$

Множество самосопряженных элементов называется .${\displaystyle {\mathcal {A}}_{sa}}$

Подмножество , замкнутое относительно инволюции * , т.е. , называется самосопряженным. ^[2]${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}={\mathcal {B}}^{*}}$

Частным случаем особой важности является случай, когда — полная нормированная *-алгебра , удовлетворяющая C*-тождеству ( ), которая называется C*-алгеброй .${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \left\|a^{*}a\right\|=\left\|a\right\|^{2}\ \forall a\in {\mathcal {A}}}$

Особенно в старой литературе по *-алгебрам и C*-алгебрам такие элементы часто называют эрмитовыми. ^[1] Из-за этого обозначения , или для множества самосопряженных элементов также иногда используются, даже в более поздней литературе.${\displaystyle {\mathcal {A}}_{h}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{H}}$${\displaystyle H({\mathcal {A}})}$

• Каждый положительный элемент C*-алгебры является самосопряженным. ^[3]
• Для каждого элемента *-алгебры элементы и являются самосопряженными, поскольку * — инволютивный антиавтоморфизм . ^[4]${\displaystyle а}$${\displaystyle аа^{*}}$${\displaystyle а^{*}а}$
• Для каждого элемента *-алгебры действительная и мнимая части и являются самосопряженными, где обозначает мнимую единицу . ^[1]${\displaystyle а}$ ${\textstyle \operatorname {Re} (a)={\frac {1}{2}}(a+a^{*})}$${\textstyle \operatorname {Im} (a)={\frac {1}{2\mathrm {i} }}(aa^{*})}$${\displaystyle \mathrm {я} }$
• Если — нормальный элемент C*-алгебры , то для каждой действительной функции , которая непрерывна на спектре , непрерывное функциональное исчисление определяет самосопряженный элемент . ^[5]${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle а}$${\displaystyle f(a)}$

Пусть будет *-алгеброй. Тогда:${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

• Пусть , тогда является самосопряженным, так как . Аналогичное вычисление дает, что также является самосопряженным. ^[6]${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle а^{*}а}$${\displaystyle (а^{*}а)^{*}=а^{*}(а^{*})^{*}=а^{*}а}$${\displaystyle аа^{*}}$
• Пусть будет произведением двух самосопряженных элементов . Тогда является самосопряженным, если и коммутируют , так как всегда выполняется. ^[1]${\displaystyle а=а_{1}а_{2}}$${\displaystyle a_{1},a_{2}\in {\mathcal {A}}_{sa}}$${\displaystyle а}$${\displaystyle а_{1}}$${\displaystyle а_{2}}$ ${\displaystyle (a_{1}a_{2})^{*}=a_{2}^{*}a_{1}^{*}=a_{2}a_{1}}$
• Если — C*-алгебра, то нормальный элемент является самосопряженным тогда и только тогда, когда его спектр вещественен, т.е. [ ^5]${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}$${\displaystyle \сигма (а)\subseteq \mathbb {R} }$

Пусть будет *-алгеброй. Тогда:${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

• Каждый элемент можно однозначно разложить на действительную и мнимую части, т.е. существуют однозначно определенные элементы , так что выполняется. Где и . ^[1]${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle a_{1},a_{2}\in {\mathcal {A}}_{sa}}$${\displaystyle a=a_{1}+\mathrm {i} a_{2}}$${\textstyle а_{1}={\frac {1}{2}}(а+а^{*})}$${\textstyle a_{2}={\frac {1}{2\mathrm {i} }}(aa^{*})}$
• Множество самосопряженных элементов является действительным линейным подпространством . Из предыдущего свойства следует, что является прямой суммой двух действительных линейных подпространств, т.е. . ^[7]${\displaystyle {\mathcal {A}}_{sa}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {A}}_{sa} \oplus \mathrm {i} {\mathcal {A}}_{sa}}$
• Если является самосопряженным, то является нормальным. ^[1]${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{sa}}$${\displaystyle а}$
• *-алгебра называется эрмитовой *-алгеброй, если каждый самосопряженный элемент имеет действительный спектр . ^[8]${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{sa}}$${\displaystyle \сигма (а)\subseteq \mathbb {R} }$

Пусть будет C*-алгеброй и . Тогда:${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{sa}}$

• Для спектра или справедливо, так как является действительным и справедливо для спектрального радиуса , так как является нормальным. ^[9]${\displaystyle \left\|a\right\|\in \сигма (a)}$${\displaystyle -\left\|a\right\|\in \сигма (a)}$${\displaystyle \сигма (а)}$${\displaystyle r(a)=\left\|a\right\|}$${\displaystyle а}$
• Согласно непрерывному функциональному исчислению существуют однозначно определенные положительные элементы , такие, что при . Для нормы выполняется . ^[10] Элементы и также называются положительной и отрицательной частями . Кроме того, выполняется для абсолютного значения, определенного для каждого элемента . ^[11]${\displaystyle a_{+},a_{-}\in {\mathcal {A}}_{+}}$${\displaystyle а=а_{+}-а_{-}}$${\displaystyle а_{+}а_{-}=а_{-}а_{+}=0}$${\displaystyle \left\|a\right\|=\max(\left\|a_{+}\right\|,\left\|a_{-}\right\|)}$${\displaystyle а_{+}}$${\displaystyle а_{-}}$${\displaystyle |а|=а_{+}+а_{-}}$${\textstyle |a|=(a^{*}a)^{\frac {1}{2}}}$
• Для каждого и нечетного существует однозначно определенный , который удовлетворяет , т.е. единственный -й корень , как можно показать с помощью непрерывного функционального исчисления. ^[12]${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{+}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle b\in {\mathcal {A}}_{+}}$${\displaystyle b^{n}=a}$${\displaystyle n}$

• Самосопряженная матрица
• Самосопряженный оператор

• Блэкадар, Брюс (2006). Операторные алгебры. Теория C*-алгебр и алгебр фон Неймана . Берлин/Гейдельберг: Springer. стр. 63. ISBN 3-540-28486-9.
• Диксмье, Жак (1977). C*-алгебры . Перевод Джеллетта, Фрэнсиса. Амстердам/Нью-Йорк/Оксфорд: Северная Голландия. ISBN 0-7204-0762-1.Английский перевод Les C*-algèbres et leurs représentations (на французском языке). Готье-Виллар. 1969.
• Кадисон, Ричард В.; Рингроуз, Джон Р. (1983). Основы теории операторных алгебр. Том 1 Элементарная теория . Нью-Йорк/Лондон: Academic Press. ISBN 0-12-393301-3.
• Палмер, Теодор В. (2001). Банаховы алгебры и общая теория *-алгебр: Том 2, *-алгебры . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-36638-0.