Нервный комплекс

В топологии нервный комплекс семейства множеств — это абстрактный комплекс , который записывает схему пересечений между множествами в семействе. Он был введен Павлом Александровым ^[1] и теперь имеет много вариантов и обобщений, среди которых нерв Чеха покрытия, который в свою очередь обобщается гиперпокрытиями . Он охватывает многие интересные топологические свойства алгоритмическим или комбинаторным способом. ^[2]

Пусть будет набором индексов и будет семейством наборов . Нерв — это набор конечных подмножеств набора индексов . Он содержит все конечные подмножества , такие что пересечение которых подиндексы находятся в непусто: ^{[3] : 81}${\displaystyle Я}$${\displaystyle С}$${\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}$${\displaystyle С}$${\displaystyle Я}$${\displaystyle J\subseteq I}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle J}$

${\displaystyle N(C):={\bigg \{}J\subseteq I:\bigcap _{j\in J}U_{j}\neq \varnothing ,J{\text{ конечное множество}}{\bigg \}}.}$

В первоначальном определении Александрова множества являются открытыми подмножествами некоторого топологического пространства .${\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}$${\displaystyle X}$

Множество может содержать синглетоны (элементы такие, что непустое), пары (пары элементов такие, что ), триплеты и т. д. Если , то любое подмножество также находится в , что делает абстрактный симплициальный комплекс . Поэтому N(C) часто называют нервным комплексом .${\displaystyle N(C)}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle i,j\in I}$${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\neq \emptyset }$${\displaystyle J\in N(C)}$${\displaystyle J}$${\displaystyle N(C)}$${\displaystyle N(C)}$${\displaystyle C}$

1. Пусть X — окружность и , где — дуга, покрывающая верхнюю половину , а — дуга, покрывающая его нижнюю половину, с некоторым перекрытием с обеих сторон (они должны перекрываться с обеих сторон, чтобы покрыть все ). Тогда , который является абстрактным 1-симплексом.${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle C=\{U_{1},U_{2}\}}$${\displaystyle U_{1}}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle U_{2}}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle N(C)=\{\{1\},\{2\},\{1,2\}\}}$
2. Пусть X — окружность и , где каждая из них — дуга, покрывающая одну треть , с некоторым перекрытием с соседним . Тогда . Обратите внимание, что {1,2,3} не входит в , поскольку общее пересечение всех трех множеств пусто; как и незаполненный треугольник.${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle C=\{U_{1},U_{2},U_{3}\}}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle N(C)=\{\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{2,3\},\{3,1\}\}}$${\displaystyle N(C)}$${\displaystyle N(C)}$

При наличии открытого покрытия топологического пространства или, в более общем смысле, покрытия в сайте , мы можем рассмотреть парные волокнистые произведения , которые в случае топологического пространства являются в точности пересечениями . Совокупность всех таких пересечений может быть обозначена как , а тройные пересечения как .${\displaystyle C=\{U_{i}:i\in I\}}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{ij}=U_{i}\times _{X}U_{j}}$${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$${\displaystyle C\times _{X}C}$${\displaystyle C\times _{X}C\times _{X}C}$

Рассматривая естественные отображения и , мы можем построить симплициальный объект, определяемый , n-кратным волокнистым произведением. Это нерв Чеха. ^[4]${\displaystyle U_{ij}\to U_{i}}$${\displaystyle U_{i}\to U_{ii}}$ ${\displaystyle S(C)_{\bullet }}$${\displaystyle S(C)_{n}=C\times _{X}\cdots \times _{X}C}$

Взяв связные компоненты, мы получаем симплициальное множество , которое можно реализовать топологически: .${\displaystyle |S(\pi _{0}(C))|}$

Нервный комплекс — это простой комбинаторный объект. Часто он гораздо проще, чем лежащее в его основе топологическое пространство (объединение множеств в ). Поэтому возникает естественный вопрос: эквивалентна ли топология топологии . ${\displaystyle N(C)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle N(C)}$${\displaystyle \bigcup C}$

В общем случае это не обязательно так. Например, можно покрыть любую n -сферу двумя стягиваемыми множествами и , имеющими непустое пересечение, как в примере 1 выше. В этом случае — абстрактный 1-симплекс, который похож на прямую, но не на сферу.${\displaystyle U_{1}}$${\displaystyle U_{2}}$${\displaystyle N(C)}$

Однако в некоторых случаях отражает топологию X. Например, если окружность покрыта тремя открытыми дугами, пересекающимися попарно, как в примере 2 выше, то является 2-симплексом (без его внутренней части) и гомотопически эквивалентен исходной окружности. ^[5]${\displaystyle N(C)}$${\displaystyle N(C)}$

Теорема о нерве (или лемма о нерве ) — это теорема, которая дает достаточные условия на C, гарантирующие, что отражает, в некотором смысле, топологию . Теорема о функториальном нерве — это теорема о нерве, которая является функториальной в соответствующем смысле, что, например, имеет решающее значение в топологическом анализе данных . ^[6]${\displaystyle N(C)}$${\displaystyle \bigcup C}$

Основная теорема Жана Лере о нерве гласит, что если любое пересечение множеств в стягиваемо ( эквивалентно: для каждого конечного множества оно либо пусто, либо стягиваемо; эквивалентно: C — хорошее открытое покрытие ), то оно гомотопически эквивалентно .${\displaystyle N(C)}$${\displaystyle J\subset I}$${\displaystyle \bigcap _{i\in J}U_{i}}$${\displaystyle N(C)}$${\displaystyle \bigcup C}$

Существует дискретная версия, приписываемая Борсуку . ^{[7] [3] : 81, Теория 4.4.4} Пусть K ₁ ,...,K _n — абстрактные симплициальные комплексы , и обозначим их объединение через K. Пусть U _i = || K _i || = геометрическая реализация K i _, и обозначим нерв { U ₁ , ... , U _n } через N .

Если для каждого непустого пересечение либо пусто, либо стягиваемо , то N гомотопически эквивалентно K.${\displaystyle J\subset I}$${\displaystyle \bigcap _{i\in J}U_{i}}$

Более сильная теорема была доказана Андерсом Бьёрнером . ^[8] если для каждого непустого пересечение либо пусто, либо (k-|J|+1)-связно , то для каждого j ≤ k j -я гомотопическая группа N изоморфна j -й гомотопической группе K. В частности, N является k -связным тогда и только тогда, когда K является k -связным .${\displaystyle J\subset I}$${\displaystyle \bigcap _{i\in J}U_{i}}$

Другая теорема о нерве относится к приведенному выше нерву Чеха: если компактно и все пересечения множеств в C стягиваемы или пусты, то пространство гомотопически эквивалентно . [ ⁹ ]${\displaystyle X}$${\displaystyle |S(\pi _{0}(C))|}$${\displaystyle X}$

Следующая теорема о нерве использует группы гомологии пересечений множеств в покрытии. ^[10] Для каждого конечного обозначим j -ю редуцированную группу гомологии .${\displaystyle J\subset I}$${\displaystyle H_{J,j}:={\tilde {H}}_{j}(\bigcap _{i\in J}U_{i})=}$${\displaystyle \bigcap _{i\in J}U_{i}}$

Если H _J,j является тривиальной группой для всех J в k -скелете N( C ) и для всех j в {0, ..., k -dim( J )}, то N( C ) является "гомологически эквивалентным" X в следующем смысле:

• ${\displaystyle {\tilde {H}}_{j}(N(C))\cong {\tilde {H}}_{j}(X)}$для всех j из {0, ..., k };
• если то .${\displaystyle {\tilde {H}}_{k+1}(N(C))\not \cong 0}$${\displaystyle {\tilde {H}}_{k+1}(X)\not \cong 0}$

• Гиперпокрытие