Хорошее покрытие (алгебраическая топология)

В математике открытое покрытие топологического пространства — это семейство открытых подмножеств, такое, что является объединением всех открытых множеств. Хорошее покрытие — это открытое покрытие, в котором все множества и все непустые пересечения конечного числа множеств являются стягиваемыми (Petersen 2006).${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Это понятие было введено Андре Вейлем в 1952 году для дифференцируемых многообразий , требуя, чтобы они были дифференцируемо стягиваемыми. Современная версия этого определения появляется в Bott & Tu (1982).${\displaystyle U_{\альфа _{1}\ldots \альфа _{n}}}$

Основная причина понятия хорошего покрытия заключается в том, что спектральная последовательность Лере расслоенного пространства вырождается для хорошего покрытия, и поэтому когомологии Чеха, связанные с хорошим покрытием, совпадают с когомологиями Чеха пространства. (Такое покрытие известно как покрытие Лере .) Однако для вычисления когомологий Чеха достаточно иметь более мягкое определение хорошего покрытия, в котором все пересечения конечного числа открытых множеств имеют стягиваемые связные компоненты. Это следует из того факта, что высшие производные функторы могут быть вычислены с использованием ациклических резолюций .

Двумерная поверхность сферы имеет открытое покрытие двумя стягиваемыми множествами, открытыми окрестностями противоположных полушарий. Однако эти два множества имеют пересечение, которое образует нестягиваемую экваториальную полосу. Чтобы сформировать хорошее покрытие для этой поверхности, нужно как минимум четыре открытых множества. Хорошее покрытие можно сформировать, спроецировав грани тетраэдра на сферу, в которую он вписан, и взяв открытую окрестность каждой грани. Более свободное определение хорошего покрытия позволяет нам сделать это, используя только три открытых множества. Покрытие можно сформировать, выбрав две диаметрально противоположные точки на сфере, нарисовав три непересекающихся отрезка, лежащих на сфере, соединяющих их, и взяв открытые окрестности полученных граней. ${\displaystyle S^{2}}$

• Ботт, Рауль ; Ту, Лоринг (1982), Дифференциальные формы в алгебраической топологии , Нью-Йорк: Springer, ISBN 0-387-90613-4, §5, С. 42.
• Вейль, Андре (1952), «Sur les теоремы де Рама», Commentarii Math. Хелв. , 26 : 119–145 , doi : 10.1007/BF02564296, S2CID  124799328
• Петерсен, Питер (2006), Риманова геометрия, Graduate Texts in Mathematics, т. 171 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer, стр. 383, ISBN 978-0387-29246-5, г-н  2243772