Определенная квадратичная форма
Тип однородного многочлена степени 2

В математике определенная квадратичная форма — это квадратичная форма над некоторым действительным векторным пространством V , которая имеет один и тот же знак (всегда положительный или всегда отрицательный) для каждого ненулевого вектора V. В соответствии с этим знаком квадратичная форма называется положительно-определенной или отрицательно-определенной .

Полуопределенная (или полуопределенная ) квадратичная форма определяется примерно таким же образом, за исключением того, что «всегда положительная» и «всегда отрицательная» заменяются на «никогда не отрицательная» и «никогда не положительная» соответственно. Другими словами, она может принимать нулевые значения для некоторых ненулевых векторов V .

Неопределенная квадратичная форма принимает как положительные , так и отрицательные значения и называется изотропной квадратичной формой .

В более общем смысле эти определения применимы к любому векторному пространству над упорядоченным полем . [1]

Ассоциированная симметричная билинейная форма

Квадратичные формы соответствуют один к одному симметричным билинейным формам над тем же пространством. [2] Симметричная билинейная форма также описывается как определенная , полуопределенная и т. д. в соответствии с ее ассоциированной квадратичной формой. Квадратичная форма Q и ее ассоциированная симметричная билинейная форма B связаны следующими уравнениями:

В ( х ) = Б ( х , х ) Б ( х , у ) = Б ( у , х ) = 1 2 [ В ( х + у ) − В ( х ) − В ( у ) ]   . {\displaystyle {\begin{align}Q(x)&=B(x,x)\\B(x,y)&=B(y,x)={\tfrac {1}{2}}[Q(x+y)-Q(x)-Q(y)]~.\end{align}}}

Последняя формула возникает из расширения В ( х + у ) = Б ( х + у , х + у )   . {\displaystyle \;Q(x+y)=B(x+y,x+y)~.}

Примеры

В качестве примера пусть , и рассмотрим квадратичную форму В = Р 2 {\displaystyle V=\mathbb {R} ^{2}}

В ( х ) = с 1 х 1 2 + с 2 х 2 2 {\displaystyle Q(x)=c_{1}{x_{1}}^{2}+c_{2}{x_{2}}^{2}}

где и c 1 и c 2 являются константами. Если c 1 > 0 и c 2 > 0 , квадратичная форма Q является положительно определенной, поэтому Q оценивается как положительное число всякий раз, когда Если одна из констант положительна, а другая равна 0, то Q является положительно полуопределенной и всегда оценивается как 0 или положительное число. Если c 1 > 0 и c 2 < 0 , или наоборот, то Q является неопределенной и иногда оценивается как положительное число, а иногда как отрицательное число. Если c 1 < 0 и c 2 < 0 , квадратичная форма является отрицательно определенной и всегда оценивается как отрицательное число всякий раз, когда И если одна из констант отрицательна, а другая равна 0, то Q является отрицательно полуопределенной и всегда оценивается как 0 или отрицательное число.   х = [ х 1 , х 2 ] ∈ В {\displaystyle ~x=[x_{1},x_{2}]\in V} [ х 1 , х 2 ] ≠ [ 0 , 0 ]   . {\displaystyle \;[x_{1},x_{2}]\neq [0,0]~.} [ х 1 , х 2 ] ≠ [ 0 , 0 ]   . {\displaystyle \;[x_{1},x_{2}]\neq [0,0]~.}

В общем случае квадратичная форма от двух переменных также будет включать в себя член перекрестного произведения по x 1 · x 2 :

В ( х ) = с 1 х 1 2 + с 2 х 2 2 + 2 с 3 х 1 х 2   . {\displaystyle Q(x)=c_{1}{x_{1}}^{2}+c_{2}{x_{2}}^{2}+2c_{3}x_{1}x_{2}~.}

Эта квадратичная форма положительно определена, если и отрицательно определена, если и и неопределенна, если Она положительно или отрицательно полуопределена, если со знаком полуопределенности, совпадающим со знаком с 1 > 0 {\displaystyle \;c_{1}>0\;} с 1 с 2 − с 3 2 > 0 , {\displaystyle \,c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}>0\;,} с 1 < 0 {\displaystyle \;c_{1}<0\;} с 1 с 2 − с 3 2 > 0 , {\displaystyle \,c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}>0\;,} с 1 с 2 − с 3 2 < 0   . {\displaystyle \;c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}<0~.} с 1 с 2 − с 3 2 = 0 , {\displaystyle \;c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}=0\;,} с 1   . {\displaystyle \;c_{1}~.}

Эта двумерная квадратичная форма появляется в контексте конических сечений, центрированных в начале координат. Если общая квадратичная форма выше приравнена к 0, то полученное уравнение будет уравнением эллипса, если квадратичная форма положительно или отрицательно определена, гиперболы , если она неопределена, и параболы, если с 1 с 2 − с 3 2 = 0   . {\displaystyle \;c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}=0~.}

Квадрат евклидовой нормы в n -мерном пространстве, наиболее часто используемая мера расстояния, равна

х 1 2 + ⋯ + х н 2   . {\displaystyle {x_{1}}^{2}+\cdots +{x_{n}}^{2}~.}

В двух измерениях это означает, что расстояние между двумя точками равно квадратному корню из суммы квадратов расстояний вдоль оси и оси. х 1 {\displaystyle x_{1}} х 2 {\displaystyle x_{2}}

Матричная форма

Квадратичную форму можно записать в терминах матриц как

х Т А х {\displaystyle x^{\mathsf {T}}A\,x}

где x — любой декартов вектор n × 1 , в котором хотя бы один элемент не равен 0; A — симметричная матрица n × n ; а верхний индекс T обозначает транспонированную матрицу . Если A диагональна , это эквивалентно нематричной форме, содержащей исключительно члены, включающие квадраты переменных; но если A имеет какие-либо ненулевые недиагональные элементы, нематричная форма также будет содержать некоторые члены, включающие произведения двух различных переменных. [ х 1 , ⋯ , х н ] Т {\displaystyle \;[x_{1},\cdots ,x_{n}]^{\mathsf {T}}\;}

Положительная или отрицательная определённость, или полуопределённость, или неопределённость этой квадратичной формы эквивалентна тому же свойству A , которое можно проверить, рассмотрев все собственные значения A или проверив знаки всех его главных миноров .

Оптимизация

Определенные квадратичные формы легко поддаются задачам оптимизации . Предположим, что матричная квадратичная форма дополнена линейными членами, как

х Т А х + б Т х , {\displaystyle x^{\mathsf {T}}A\,x+b^{\mathsf {T}}x\;,}

где b — вектор констант размером n × 1. Условия первого порядка для максимума или минимума находятся путем установки производной матрицы в нулевой вектор:

2 А х + б = 0 → , {\displaystyle 2A\,x+b={\vec {0}}\;,}

давая

х = − 1 2 А − 1 б , {\displaystyle x=-{\tfrac {1}{2}}\,A^{-1}b\;,}

предполагая, что A невырождена . Если квадратичная форма, а значит, и A , положительно определена, то в этой точке выполняются условия второго порядка для минимума. Если квадратичная форма отрицательно определена, то выполняются условия второго порядка для максимума.

Важным примером такой оптимизации является множественная регрессия , в которой ищется вектор оценочных параметров, который минимизирует сумму квадратов отклонений от идеального соответствия в наборе данных.

Смотрите также

Примечания

  1. ↑ Милнор и Хусемоллер 1973, стр. 61.
  2. ^ Это верно только для поля с характеристикой, отличной от 2, но здесь мы рассматриваем только упорядоченные поля , которые обязательно имеют характеристику 0.

Ссылки

Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Определенная_квадратная_форма&oldid=1092505482"