Музыка и математика

Теория музыки анализирует высоту тона , синхронизацию и структуру музыки. Она использует математику для изучения элементов музыки, таких как темп , последовательность аккордов , форма и метр . Попытка структурировать и сообщать новые способы сочинения и слушания музыки привела к музыкальным приложениям теории множеств , абстрактной алгебры и теории чисел .

Хотя теория музыки не имеет аксиоматической основы в современной математике, основа музыкального звука может быть описана математически (с использованием акустики ) и демонстрирует «замечательный набор числовых свойств» ^{[1] .}

Хотя известно, что древние китайцы, индийцы, египтяне и месопотамцы изучали математические принципы звука ^[2], пифагорейцы ( в частности, Филолай и Архит ) ^[3] из Древней Греции были первыми исследователями, которые, как известно, исследовали выражение музыкальных гамм в терминах числовых соотношений , ^[4] в частности, соотношений малых целых чисел. Их центральная доктрина заключалась в том, что «вся природа состоит из гармонии, возникающей из чисел». ^[5]

Со времен Платона гармония считалась фундаментальной отраслью физики , теперь известной как музыкальная акустика . Ранние индийские и китайские теоретики демонстрируют схожие подходы: все они стремились показать, что математические законы гармоник и ритмов были основополагающими не только для нашего понимания мира, но и для человеческого благополучия. ^[6] Конфуций , как и Пифагор, считал малые числа 1,2,3,4 источником всего совершенства. ^[7]

Без границ ритмической структуры — фундаментального равного и регулярного расположения повторения импульсов , акцента , фразы и длительности — музыка была бы невозможна. ^[8] Современное музыкальное использование таких терминов, как метр и мера, также отражает историческую важность музыки, наряду с астрономией, в развитии счета, арифметики и точного измерения времени и периодичности , что является основополагающим для физики. ^{[ требуется ссылка ]}

Элементы музыкальной формы часто образуют строгие пропорции или гиперметрические структуры (степени чисел 2 и 3). ^[9]

Музыкальная форма — это план, по которому расширяется короткое музыкальное произведение. Термин «план» также используется в архитектуре, с которой часто сравнивают музыкальную форму. Как и архитектор, композитор должен учитывать функцию, для которой предназначено произведение, и доступные средства, практикуя экономию и используя повторение и порядок. ^[10] Распространенные типы формы, известные как бинарные и тернарные («двухчастные» и «трехчастные»), еще раз демонстрируют важность малых интегральных значений для понятности и привлекательности музыки. ^{[11] [12]}

Музыкальная гамма — это дискретный набор тонов, используемых при создании или описании музыки. Наиболее важной гаммой в западной традиции является диатоническая гамма, но в различные исторические эпохи и части света использовались и предлагались многие другие. Каждая высота тона соответствует определенной частоте, выраженной в герцах (Гц), иногда называемой циклами в секунду (cps). Гамма имеет интервал повторения, обычно октаву . Октава любой высоты тона относится к частоте, которая ровно в два раза больше данной высоты тона.

Последующие супероктавы — это высоты тона, находящиеся на частотах, в четыре, восемь, шестнадцать раз и так далее от основной частоты. Высоты тона на частотах в половину, четверть, восьмую и так далее от основной частоты называются субоктавами. В музыкальной гармонии нет случая, когда, если данная высота тона считается гармонической, ее октавы считались бы иными. Поэтому любая нота и ее октавы, как правило, будут иметь схожие названия в музыкальных системах (например, все будут называться до , ля или са , в зависимости от обстоятельств).

При выражении в виде полосы частот октава A ₂ –A ₃ охватывает диапазон от 110 Гц до 220 Гц (диапазон = 110 Гц). Следующая октава будет охватывать диапазон от 220 Гц до 440 Гц (диапазон = 220 Гц). Третья октава охватывает диапазон от 440 Гц до 880 Гц (диапазон = 440 Гц) и так далее. Каждая последующая октава охватывает диапазон частот, в два раза превышающий диапазон предыдущей октавы.

Поскольку при описании гаммы нас часто интересуют отношения или соотношения между тонами (известными как интервалы ), а не сами точные тона, обычно все тональности гаммы ссылаются на их соотношение с определенной высотой, которой присваивается значение единицы (часто пишется 1/1 ), обычно это нота, которая выполняет функцию тоники гаммы. Для сравнения размеров интервалов часто используются центы .

Общий термин	Пример имени	Гц​	Множество фундаментальных	Соотношение в пределах октавы	Центы в пределах октавы
Фундаментальный	А 2	110	${\displaystyle 1x}$	${\displaystyle 1/1=1x}$	0
Октава	А 3	220	${\displaystyle 2x}$	${\displaystyle 2/1=2x}$	1200
				${\displaystyle 2/2=1x}$	0
Чистая квинта	Е 4	330	${\displaystyle 3x}$	${\displaystyle 3/2=1,5x}$	702
Октава	А 4	440	${\displaystyle 4x}$	${\displaystyle 4/2=2x}$	1200
				${\displaystyle 4/4=1x}$	0
Большая терция	До ♯ 5	550	${\displaystyle 5x}$	${\displaystyle 5/4=1,25x}$	386
Чистая квинта	Э 5	660	${\displaystyle 6x}$	${\displaystyle 6/4=1,5x}$	702
Гармонический септаккорд	Г 5	770	${\displaystyle 7x}$	${\displaystyle 7/4=1,75x}$	969
Октава	А 5	880	${\displaystyle 8x}$	${\displaystyle 8/4=2x}$	1200
				${\displaystyle 8/8=1x}$	0

Существует два основных семейства систем настройки: равномерная темперация и простая настройка . Гаммы равномерной темперации строятся путем деления октавы на интервалы, которые равны в логарифмической шкале , что приводит к идеально равномерно разделенным гаммам, но с отношениями частот, которые являются иррациональными числами . Просто гаммы строятся путем умножения частот на рациональные числа , что приводит к простым отношениям между частотами, но с неравномерными делениями шкалы.

Одно из основных различий между равнотемперированными настройками и просто настройками заключается в разнице акустического ритма , когда две ноты звучат вместе, что влияет на субъективное восприятие консонанса и диссонанса . Обе эти системы, как и подавляющее большинство музыки в целом, имеют гаммы, которые повторяются в интервале каждой октавы , который определяется как отношение частот 2:1. Другими словами, каждый раз, когда частота удваивается, данная гамма повторяется.

Ниже приведены файлы Ogg Vorbis , демонстрирующие разницу между просто интонацией и равномерной темперацией. Возможно, вам придется проиграть образцы несколько раз, прежде чем вы сможете заметить разницу.

• Две синусоиды, воспроизводимые последовательно — в этом сэмпле есть полутон на частоте 550 Гц (C ♯ в чисто интонационной гамме), за которым следует полутон на частоте 554,37 Гц (C ♯ в равномерно темперированной гамме).
• Те же две ноты, поставленные на педаль A440 – этот сэмпл состоит из « диады ». Нижняя нота – это постоянная A (440 Гц в каждой гамме), верхняя нота – C ♯ в равномерно темперированной гамме для первой 1", и C ♯ в гамме чистой интонации для последней 1". Фазовые различия позволяют легче обнаружить переход, чем в предыдущем сэмпле.

5-предельная настройка , наиболее распространенная форма просто интонации , представляет собой систему настройки с использованием тонов, которые являются регулярными числовыми гармониками одной основной частоты . Это была одна из шкал, представленных Иоганном Кеплером в его Harmonices Mundi (1619) в связи с движением планет. Та же самая шкала была дана в транспонированной форме шотландским математиком и музыкальным теоретиком Александром Малкольмом в 1721 году в его «Трактате о музыке: умозрительном, практическом и историческом» ^[13] и теоретиком Хосе Вюршмидтом в 20 веке. Ее форма используется в музыке северной Индии.

Американский композитор Терри Райли также использовал ее перевернутую форму в своей «Арфе Нового Альбиона». Чистая интонация дает превосходные результаты, когда аккордовая прогрессия незначительна или отсутствует : голоса и другие инструменты тяготеют к чистой интонации, когда это возможно. Однако она дает два различных интервала целых тонов (9:8 и 10:9), поскольку инструмент с фиксированной настройкой, такой как фортепиано, не может менять тональность. ^[14] Чтобы вычислить частоту ноты в гамме, заданной в терминах отношений, отношение частот умножается на частоту тоники. Например, с тоникой A4 (A натуральная выше средней C) частота составляет 440  Гц , а чисто настроенная квинта над ней (E5) составляет просто 440×(3:2) = 660 Гц.

Пифагорейская настройка — это настройка, основанная только на совершенных консонансах, (совершенной) октаве, совершенной квинте и совершенной кварте. Таким образом, большая терция считается не терцией, а дитоном, буквально «двумя тонами», и составляет (9:8) ² = 81:64, а не независимая и гармоническая 5:4 = 80:64, расположенная непосредственно ниже. Целый тон — это вторичный интервал, полученный из двух совершенных квинт минус октава, (3:2) ² /2 = 9:8.

Только большая терция, 5:4 и малая терция, 6:5, являются синтонической коммой , 81:80, за исключением их пифагорейских эквивалентов 81:64 и 32:27 соответственно. Согласно Карлу Дальхаусу (1990, стр. 187), «зависимая терция соответствует пифагорейской, а независимая терция — гармонической настройке интервалов».

Западная общепринятая музыкальная практика обычно не может быть сыграна только в интонации, а требует систематически темперированной гаммы. Темперация может включать в себя либо нерегулярности хорошей темперации , либо быть построена как регулярная темперация , либо какая-то форма равномерной темперации или какая-то другая регулярная мензура, но во всех случаях будет включать в себя основные черты мензуры . Например, основной тон аккорда ii , если он настроен на квинту выше доминанты, будет мажорным целым тоном (9:8) выше тоники. Однако, если он настроен всего на минорную терцию (6:5) ниже только субдоминантовой ступени 4:3, интервал от тоники будет равен минорному целому тону (10:9). Мезантонная темперация уменьшает разницу между 9:8 и 10:9. Их соотношение, (9:8)/(10:9) = 81:80, рассматривается как унисон. Интервал 81:80, называемый синтонической запятой или запятой Дидима, является ключевой запятой среднего темперирования.

В равномерно темперированном строе октава делится на равные части в логарифмической шкале. Хотя можно построить равномерно темперированную шкалу с любым количеством нот (например, 24-тоновая арабская тоновая система ), наиболее распространенным числом является 12, что составляет равномерно темперированную хроматическую шкалу . В западной музыке обычно предполагается деление на двенадцать интервалов, если не указано иное.

Для хроматической гаммы октава делится на двенадцать равных частей, каждый полутон (полутон) является интервалом корня двенадцатой степени из двух, так что двенадцать из этих равных полутонов в сумме составляют ровно октаву. С ладовыми инструментами очень полезно использовать равномерную темперацию, чтобы лады равномерно располагались по струнам. В европейской музыкальной традиции равномерная темперация использовалась для лютневой и гитарной музыки гораздо раньше, чем для других инструментов, таких как музыкальные клавишные . Из-за этой исторической силы двенадцатитоновая равномерная темперация в настоящее время является доминирующей системой интонации в западном и большей части не-западного мира.

Использовались равномерно темперированные гаммы и инструменты, построенные с использованием различных других чисел равных интервалов. 19 равномерная темперация , впервые предложенная и использованная Гийомом Костели в 16 веке, использует 19 равноотстоящих тонов, предлагая лучшие мажорные терции и гораздо лучшие минорные терции, чем обычная 12-полутонная равномерная темперация за счет более плоской квинты. Общий эффект - это большее созвучие. Двадцать четыре равноотстоящих тона , с двадцатью четырьмя равноотстоящими тонами, широко распространены в педагогике и нотации арабской музыки . Однако в теории и на практике интонация арабской музыки соответствует рациональным соотношениям , в отличие от иррациональных соотношений равномерно темперированных систем. ^[15]

В то время как любой аналог равномерно темперированного четвертного тона полностью отсутствует в арабских системах интонации, аналоги трехчетвертного тона, или нейтральной секунды , встречаются часто. Однако эти нейтральные секунды немного различаются по своим соотношениям в зависимости от макама , а также географии. Действительно, историк арабской музыки Хабиб Хассан Тума написал, что «широта отклонения этого музыкального шага является важнейшим ингредиентом в своеобразном колорите арабской музыки. Умерить шкалу, разделив октаву на двадцать четыре четверти тона равного размера, означало бы отказаться от одного из самых характерных элементов этой музыкальной культуры». ^[15]

53 равномерная темперация возникает из почти равного строя 53 чистых квинт с 31 октавой и была отмечена Цзин Фан и Николасом Меркатором .

Теория музыкальных множеств использует язык математической теории множеств элементарным образом для организации музыкальных объектов и описания их взаимосвязей. Чтобы проанализировать структуру музыкального произведения (обычно атонального) с помощью теории музыкальных множеств, обычно начинают с набора тонов, которые могут образовывать мотивы или аккорды. Применяя простые операции, такие как транспозиция и инверсия , можно обнаружить глубокие структуры в музыке. Такие операции, как транспозиция и инверсия, называются изометриями, потому что они сохраняют интервалы между тонами в наборе.

Расширяя методы теории музыкальных множеств, некоторые теоретики использовали абстрактную алгебру для анализа музыки. Например, классы высоты тона в равномерно темперированной октаве образуют абелеву группу с 12 элементами. Можно описать только интонацию в терминах свободной абелевой группы . ^{[16] [17]}

Трансформационная теория — это раздел музыкальной теории, разработанный Дэвидом Левином . Теория допускает большую общность, поскольку она подчеркивает преобразования между музыкальными объектами, а не сами музыкальные объекты.

Теоретики также предложили музыкальные приложения более сложных алгебраических концепций. Теория регулярных темпераций была широко разработана с широким спектром сложной математики, например, путем связывания каждой регулярной темперации с рациональной точкой на Грассманиане .

Хроматическая гамма имеет свободное и транзитивное действие циклической группы , причем действие определяется через транспозицию нот. Таким образом, хроматическую гамму можно рассматривать как торсор для группы.${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }$

Некоторые композиторы включили золотое сечение и числа Фибоначчи в свои работы. ^{[18] [19]}

Математик и музыковед Гуерино Маццола использовал теорию категорий ( теорию топоса ) в качестве основы теории музыки, которая включает использование топологии в качестве основы для теории ритма и мотивов , а также дифференциальной геометрии в качестве основы для теории музыкальной фразировки , темпа и интонации . ^[20]

• Альберт Эйнштейн – выдающийся пианист и скрипач.
• Арт Гарфанкел ( Саймон и Гарфанкел ) – магистр математического образования, Колумбийский университет
• Брайан Кокс — профессор физики элементарных частиц в Школе физики и астрономии Манчестерского университета .
• Брайан Мэй ( Queen ) – бакалавр наук (с отличием) по математике и физике, доктор философии по астрофизике, оба диплома получены в Имперском колледже Лондона .
• Брайан Вехт ( Ninja Sex Party ) – доктор философии в области физики элементарных частиц, Калифорнийский университет, Сан-Диего
• Дэн Снэйт – доктор математики, Имперский колледж Лондона
• Делия Дербишир – бакалавр математики и музыки из Кембриджа .
• Дональд Кнут – Кнут – органист и композитор. В 2016 году он завершил музыкальное произведение для органа под названием «Fantasia Apocalyptica». Премьера состоялась в Швеции 10 января 2018 года.
• Итан Порт ( Savage Republic ) – доктор математики, Университет Южной Калифорнии
• Грегг Тернер ( Angry Samoans ) – доктор математики, Университет Клермонта
• Джером Хайнс – Пять статей, опубликованных в журнале Mathematics Magazine в 1951–1956 годах.
• Джонни Бакленд ( Coldplay ) – изучал астрономию и математику в Университетском колледже Лондона .
• Кит Армстронг – имеет степень в области музыки и степень магистра в области математики.
• Манджул Бхаргава – играет на табла , в 2014 году завоевал медаль Филдса .
• Фил Элвин ( The Blasters ) – математика, Калифорнийский университет, Лос-Анджелес
• Филип Гласс – изучал математику и философию в Чикагском университете .
• Роберт Шнайдер ( Яблоки в стерео ) – доктор математики, Университет Эмори
• Том Лерер – бакалавр математики Гарвардского университета .
• Уильям Гершель – астроном, играл на гобое, скрипке, клавесине и органе. Он сочинил 24 симфонии и множество концертов, а также церковную музыку.

Музыкальный портал

• Дальхаус, Карл. 1990. Вагнерсская концепция музыкальной драмы . Deutscher Taschenbuch Verlag. Кассель: Беренрайтер. ISBN 9783423045384 ; ISBN 9783761845387 .  
• Айвор Граттан-Гиннесс (1995) «Моцарт 18, Бетховен 32: Скрытые тени целых чисел в классической музыке», страницы 29–47 в History of Mathematics: State of the Art , редакторы Joseph W. Dauben , Menso Folkerts, Eberhard Knobloch и Hans Wussing , Academic Press ISBN 0-12-204055-4 

• Крутая математика для горячей музыки. Первое введение в математику для музыкальных теоретиков, авторы: Гуэрино Маццола, Мария Манноне, Ян Пан, Springer, 2016, ISBN 3319429353 
• Музыка: Математическое предложение Дэйва Бенсона, Cambridge University Press, 2006, ISBN 0521619998 

• Аксиоматическая теория музыки С. М. Немати
• Музыка и математика Томаса Э. Фиоре
• Двенадцатитоновая музыкальная гамма.
• Сонантометрия или музыка как математическая дисциплина.
• Музыка: «Математическое предложение» Дэйва Бенсона.
• Использование Николаусом Меркатором теории пропорций в музыке на выставке Convergence
• Игра в бисер Герман Гессе отводил музыке и математике решающую роль в развитии своей игры в бисер.
• Гармония и пропорция. Пифагор, музыка и космос.
• «Линейная алгебра и музыка»
• Notefreqs — Полная таблица частот нот и соотношений для миди, фортепиано, гитары, баса и скрипки. Включает размеры ладов (в см и дюймах) для построения инструментов.
• Математика и музыка, обсуждение на BBC Radio 4 с Маркусом дю Сотой, Робином Уилсоном и Рут Татлоу ( In Our Time , 25 мая 2006 г.)
• Измерение сходства нот с помощью положительно определенных ядер, Измерение сходства нот с помощью положительно определенных ядер