Многомерная сеть

Часть серии статей о
Сетевая наука
Теория
График Сложная сеть Заражение Маленький мир Без чешуи Структура сообщества Перколяция Эволюция Управляемость Графическое изображение Социальный капитал Анализ ссылок Оптимизация Взаимность Закрытие Гомофилия Транзитивность Преимущественное присоединение Теория равновесия Сетевой эффект Социальное влияние
Типы сетей
Информационный (вычислительный) Телекоммуникации Транспорт Социальный Научное сотрудничество Биологический Искусственная нейронная сеть Взаимозависимый Семантический Пространственный Зависимость Поток на чипе
Графики
Функции Клика Компонент Резать Цикл Структура данных Край Петля Район Путь Вершина Список смежности  / матрица Список  / матрица случаев Типы Двудольный Полный Направленный Гипер Помечено Мульти Случайный Взвешенный
Метрики Алгоритмы
Центральность Степень Мотив Кластеризация Распределение степеней Ассортативность Расстояние Модульность Эффективность
Модели
Топология Случайный график Эрдёш–Реньи Барабаши–Альберт Бьянкони–Барабаши Фитнес-модель Уоттс-Строгац Экспоненциальный случайный (ERGM) Случайный геометрический (RGG) Гиперболический (HGN) Иерархический Стохастический блок Блочное моделирование Максимальная энтропия Soft configuration LFR Benchmark Dynamics Boolean network agent based Epidemic/SIR
Lists Categories
Topics Software Network scientists Category:Network theory Category:Graph theory
v t e

В теории сетей многомерные сети , особый тип многослойных сетей , представляют собой сети с множественными видами связей. ^{[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7]} Все более сложные попытки моделировать реальные системы как многомерные сети дали ценную информацию в областях анализа социальных сетей , ^{[3] [4] [8 ] [9] [10] [11] [12]} экономики, городского и международного транспорта , ^{[13] [14] [15]} экологии , ^{[16] [17] [18] [19]} психологии, ^{[20] [21]} медицины, биологии, ^[22] коммерции, климатологии, физики, ^[23] вычислительной нейронауки , ^{[24] [25 ] [ 26] [27]} управления операциями и финансов.

Быстрое исследование сложных сетей в последние годы было остановлено отсутствием стандартизированных соглашений об именовании, поскольку различные группы используют пересекающуюся и противоречивую ^{[28] [29]} терминологию для описания конкретных сетевых конфигураций (например, мультиплекс, многослойный, многоуровневый, многомерный, многореляционный, взаимосвязанный). Чтобы в полной мере использовать информацию набора данных о направленной природе коммуникаций, некоторые авторы рассматривают только прямые сети без каких-либо меток на вершинах и вводят определение ребристо-маркированных мультиграфов , которые могут охватывать многие многомерные ситуации. ^[30] Термин «полностью многомерный» также использовался для обозначения многодольного ребристо-маркированного мультиграфа. ^[31] Многомерные сети также недавно были переосмыслены как конкретные примеры многослойных сетей. ^{[1] [5] [6] [32]} В этом случае существует столько же слоев, сколько и измерений, и связи между узлами внутри каждого слоя — это просто все связи для данного измерения.

В элементарной теории сетей сеть представлена ​​графом , в котором есть множество узлов и связей между узлами, обычно представленных в виде кортежа узлов . Хотя эта базовая формализация полезна для анализа многих систем, сети реального мира часто имеют дополнительную сложность в виде множественных типов отношений между элементами системы. Ранняя формализация этой идеи произошла благодаря ее применению в области анализа социальных сетей (см., например, ^[33] и статьи по реляционным алгебрам в социальных сетях), в которых множественные формы социальных связей между людьми были представлены множественными типами связей. ^[34]${\displaystyle G=(V,E)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle E}$${\displaystyle u,v\in V}$

Чтобы учесть наличие более чем одного типа связи, многомерная сеть представляется тройкой , где — набор измерений (или слоев), каждый элемент которого представляет собой отдельный тип связи, и состоит из троек с и . ^[6]${\displaystyle G=(V,E,D)}$${\displaystyle D}$${\displaystyle E}$${\displaystyle (u,v,d)}$${\displaystyle u,v\in V}$${\displaystyle d\in D}$

Обратите внимание, что, как и во всех ориентированных графах , связи и различны.${\displaystyle (u,v,d)}$${\displaystyle (v,u,d)}$

По соглашению, количество связей между двумя узлами в заданном измерении в многомерной сети равно 0 или 1. Однако общее количество связей между двумя узлами во всех измерениях меньше или равно .${\displaystyle |D|}$

В случае взвешенной сети этот триплет расширяется до квадруплета , где — вес связи между и в измерении .${\displaystyle e=(u,v,d,w)}$${\displaystyle w}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle d}$

Кроме того, как часто бывает полезно в анализе социальных сетей, веса связей могут принимать положительные или отрицательные значения. Такие знаковые сети могут лучше отражать такие отношения, как дружба и вражда в социальных сетях. ^[31] В качестве альтернативы знаки связей могут быть представлены как сами измерения, ^[35] например , где и Этот подход имеет особую ценность при рассмотрении невзвешенных сетей.${\displaystyle G=(V,E,D)}$${\displaystyle D=\{-1,0,1\}}$${\displaystyle E=\{(u,v,d);u,v\in V,d\in D\}}$

Эта концепция размерности может быть расширена, если атрибуты в нескольких измерениях нуждаются в спецификации. В этом случае связи являются n -кортежами . Такая расширенная формулировка, в которой связи могут существовать в нескольких измерениях, встречается редко, но использовалась при изучении многомерных сетей, изменяющихся во времени . ^[36]${\displaystyle e=(u,v,d_{1}\dots d_{n-2})}$

В то время как одномерные сети имеют двумерные матрицы смежности размера , в многомерной сети с размерами матрица смежности становится многослойным тензором смежности, четырехмерной матрицей размера . ^[3] Используя индексную нотацию , матрицы смежности могут быть обозначены как , для кодирования связей между узлами и , тогда как многослойные тензоры смежности обозначаются как , для кодирования связей между узлом в слое и узлом в слое . Как и в одномерных матрицах, направленные связи, знаковые связи и веса легко учитываются этой структурой.${\displaystyle V\times V}$${\displaystyle D}$${\displaystyle (V\times D)\times (V\times D)}$${\displaystyle A_{j}^{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle M_{j\beta }^{i\alpha }}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle j}$${\displaystyle \beta }$

В случае мультиплексных сетей , которые представляют собой особые типы многослойных сетей, где узлы не могут быть соединены с другими узлами в других слоях, трехмерной матрицы размером с записями достаточно для представления структуры системы ^{[8] [37]} путем кодирования соединений между узлами и в слое .${\displaystyle (V\times V)\times D}$${\displaystyle A_{ij}^{\alpha }}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle \alpha }$

В многомерной сети соседями некоторого узла являются все узлы, соединенные с ним через измерения.${\displaystyle v}$${\displaystyle v}$

Путь между двумя узлами в многомерной сети может быть представлен вектором r , в котором й элемент в r представляет собой число связей, пройденных в й мере . ^[38] Как и в случае со степенью перекрытия, сумму этих элементов можно принять в качестве грубой меры длины пути между двумя узлами.${\displaystyle =(r_{1},\dots r_{|D|})}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle G}$

Существование множественных слоев (или измерений) позволяет ввести новую концепцию сети слоев , ^[3], свойственную многослойным сетям. Фактически, слои могут быть связаны между собой таким образом, что их структура может быть описана сетью, как показано на рисунке.

Сеть слоев обычно взвешена (и может быть направлена), хотя, в общем, веса зависят от интересующего приложения. Простой подход заключается в том, чтобы для каждой пары слоев суммировать все веса в соединениях между их узлами, чтобы получить веса ребер, которые можно закодировать в матрицу . Тензор смежности ранга 2, представляющий базовую сеть слоев в пространстве, задается как${\displaystyle q_{\alpha \beta }}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{L\times L}}$

${\displaystyle \Psi _{\delta }^{\gamma }=\sum \limits _{\alpha ,\beta =1}^{L}q_{\alpha \beta }E_{\delta }^{\gamma }(\alpha \beta )}$

где — каноническая матрица со всеми компонентами, равными нулю, за исключением записи, соответствующей строке и столбцу , которая равна единице. Используя тензорную нотацию, можно получить (взвешенную) сеть слоев из многослойного тензора смежности как . ^[3]${\displaystyle E_{\delta }^{\gamma }(\alpha \beta )}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \Psi _{\delta }^{\gamma }=M_{j\delta }^{i\gamma }U_{i}^{j}}$

В невзаимосвязанной многомерной сети, где отсутствуют межслойные связи, степень узла представлена ​​вектором длины . Вот альтернативный способ обозначения числа слоев в многослойных сетях. Однако для некоторых вычислений может быть более полезным просто суммировать число связей, смежных с узлом по всем измерениям. ^{[3] [39]} Это степень перекрытия : ^[4] . Как и в одномерных сетях, можно аналогичным образом провести различие между входящими и исходящими связями. Если присутствуют межслойные связи, приведенное выше определение должно быть адаптировано для их учета, а многослойная степень задается как${\displaystyle |D|:\mathbf {k} =(k_{i}^{1},\dots k_{i}^{|D|})}$${\displaystyle |D|}$${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \sum _{\alpha =1}^{|D|}k_{i}^{\alpha }}$

${\displaystyle k^{i}=M_{j\beta }^{i\alpha }U_{\alpha }^{\beta }u^{j}=\sum _{\alpha ,\beta =1}^{L}\sum _{j=1}^{N}M_{j\beta }^{i\alpha }}$

где тензоры и имеют все компоненты, равные 1. Неоднородность в количестве соединений узла через различные слои может быть учтена с помощью коэффициента участия. ^[4]${\displaystyle U_{\alpha }^{\beta }}$${\displaystyle u^{j}}$

При распространении на взаимосвязанные многослойные сети, т. е. те системы, где узлы соединены между слоями, концепция центральности лучше понимается с точки зрения универсальности. ^[10] Узлы, которые не являются центральными в каждом слое, могут быть наиболее важными для многослойных систем в определенных сценариях. Например, это случай, когда два слоя кодируют разные сети с только одним общим узлом: весьма вероятно, что такой узел будет иметь наивысшую оценку центральности, поскольку он отвечает за поток информации между слоями.

Что касается одномерных сетей, универсальность собственного вектора может быть определена как решение проблемы собственных значений, заданной как , где для простоты используется соглашение Эйнштейна о суммировании . Здесь, дает многослойное обобщение центральности собственного вектора Боначича на узел на слой. Общая универсальность собственного вектора просто получается путем суммирования оценок по слоям как . ^{[3] [10]}${\displaystyle M_{j\beta }^{i\alpha }\Theta _{i\alpha }=\lambda _{1}\Theta _{j\beta }}$${\displaystyle \Theta _{j\beta }=\lambda _{1}^{-1}M_{j\beta }^{i\alpha }\Theta _{i\alpha }}$${\displaystyle \theta _{i}=\Theta _{i\alpha }u^{\alpha }}$

Что касается его одномерного аналога , универсальность Каца получается как решение тензорного уравнения , где , — константа, меньшая наибольшего собственного значения, а — другая константа, обычно равная 1. Общая универсальность Каца получается просто путем суммирования оценок по слоям как . ^[10]${\displaystyle \Phi _{j\beta }=[(\delta -aM)^{-1}]_{j\beta }^{i\alpha }U_{i\alpha }}$${\displaystyle \Phi _{j\beta }=aM_{j\beta }^{i\alpha }\Phi _{i\alpha }+bu_{j\beta }}$${\displaystyle \delta _{j\beta }^{i\alpha }=\delta _{j}^{i}\delta _{\beta }^{\alpha }}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \phi _{i}=\Phi _{i\alpha }u^{\alpha }}$

Для одномерных сетей алгоритм HITS был первоначально введен Джоном Клейнбергом для оценки веб-страниц. Основное предположение алгоритма заключается в том, что соответствующие страницы, называемые авторитетами, указываются специальными веб-страницами, называемыми хабами. Этот механизм можно математически описать двумя связанными уравнениями, которые сводятся к двум задачам на собственные значения. Когда сеть ненаправленная, центральность Authority и Hub эквивалентна центральности собственного вектора. Эти свойства сохраняются естественным расширением уравнений, предложенных Клейнбергом, на случай взаимосвязанных многослойных сетей, заданных как и , где указывает на оператор транспонирования, а указывает на центральность hub и authority, соответственно. Сокращая тензоры hub и authority, можно получить общие универсальности как и , соответственно. ^[10]${\displaystyle (MM^{t})_{j\beta }^{i\alpha }\Gamma _{i\alpha }=\lambda _{1}\Gamma _{j\beta }}$${\displaystyle (M^{t}M)_{j\beta }^{i\alpha }\Upsilon _{i\alpha }=\lambda _{1}\Upsilon _{j\beta }}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \Gamma _{i\alpha }}$${\displaystyle \Upsilon _{i\alpha }}$${\displaystyle \gamma _{i}=\Gamma _{i\alpha }u^{\alpha }}$${\displaystyle \upsilon _{i}=\Upsilon _{i\alpha }u^{\alpha }}$

PageRank , первоначально введенный для ранжирования веб-страниц, также может рассматриваться как мера центральности для взаимосвязанных многослойных сетей.

Стоит отметить, что PageRank можно рассматривать как стационарное решение специального марковского процесса на вершине сети. Случайные блуждающие исследуют сеть в соответствии со специальной матрицей перехода , и их динамика управляется главным уравнением случайного блуждания . Легко показать, что решение этого уравнения эквивалентно ведущему собственному вектору матрицы перехода.

Случайные блуждания были определены также в случае взаимосвязанных многослойных сетей ^[15] и реберно-раскрашенных мультиграфов (также известных как мультиплексные сети). ^[40] Для взаимосвязанных многослойных сетей тензор перехода, управляющий динамикой случайных блужданий внутри и между слоями, задается как , где — константа, обычно равная 0,85, — число узлов, — число слоев или измерений. Здесь можно назвать тензором Google , а — тензор ранга 4 со всеми компонентами, равными 1.${\displaystyle R_{j\beta }^{i\alpha }=rT_{j\beta }^{i\alpha }+{\frac {(1-r)}{NL}}u_{j\beta }^{i\alpha },}$${\displaystyle r}$${\displaystyle N}$${\displaystyle L}$${\displaystyle R_{j\beta }^{i\alpha }}$${\displaystyle u_{j\beta }^{i\alpha }}$

Как и его одномерный аналог, универсальность PageRank состоит из двух составляющих: одна кодирует классическое случайное блуждание со скоростью , а другая кодирует телепортацию между узлами и слоями со скоростью .${\displaystyle r}$${\displaystyle 1-r}$

Если мы обозначим собственный тензор тензора Google , обозначающий стационарную вероятность нахождения пешехода в узле и слое , многослойный PageRank будет получен путем суммирования по слоям собственного тензора: ^[10]${\displaystyle \Omega _{i\alpha }}$${\displaystyle R_{j\beta }^{i\alpha }}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \omega _{i}=\Omega _{i\alpha }u^{\alpha }}$

Как и многие другие сетевые статистики, значение коэффициента кластеризации становится неоднозначным в многомерных сетях из-за того, что тройки могут быть замкнуты в измерениях, отличных от тех, в которых они возникли. ^{[4] [41] [42]} Было предпринято несколько попыток определить локальные коэффициенты кластеризации, но эти попытки подчеркнули тот факт, что концепция должна быть принципиально иной в более высоких измерениях: некоторые группы основывали свою работу на нестандартных определениях, ^[42] в то время как другие экспериментировали с различными определениями случайных блужданий и 3-циклов в многомерных сетях. ^{[4] [41]}

Хотя ранее уже изучались кросс-мерные структуры, ^{[43] [44]} они не смогли обнаружить более тонкие ассоциации, обнаруженные в некоторых сетях. Немного иной подход к определению «сообщества» в случае многомерных сетей позволяет надежно идентифицировать сообщества без требования, чтобы узлы находились в прямом контакте друг с другом. ^{[3] [8] [9] [45]} Например, два человека, которые никогда не общаются напрямую, но все равно просматривают многие из тех же веб-сайтов, были бы подходящими кандидатами для такого рода алгоритма.

Обобщение известного метода максимизации модульности для обнаружения сообществ было первоначально предложено Мухой и др. ^[8] Этот метод множественного разрешения предполагает трехмерное тензорное представление сетевой связности внутри слоев, как для раскрашенных по краям мультиграфов, и трехмерное тензорное представление сетевой связности между слоями. Это зависит от параметра разрешения и веса межслойных соединений. В более компактной нотации, используя тензорную нотацию, модульность можно записать как , где , — многослойный тензор смежности, — тензор, кодирующий нулевую модель, а значение компонентов определяется как 1, когда узел в слое принадлежит определенному сообществу, помеченному индексом , и 0, когда это не так. ^[3]${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle Q\propto S_{i\alpha }^{a}B_{j\beta }^{i\alpha }S_{a}^{j\beta }}$${\displaystyle B_{j\beta }^{i\alpha }=M_{j\beta }^{i\alpha }-P_{j\beta }^{i\alpha }}$${\displaystyle M_{j\beta }^{i\alpha }}$${\displaystyle P_{j\beta }^{i\alpha }}$${\displaystyle S_{a}^{i\alpha }}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle a}$

Неотрицательная матричная факторизация была предложена для извлечения структуры активности сообщества временных сетей. ^[46] Многослойная сеть представлена ​​трехмерным тензором , как раскрашенный по краям мультиграф, где порядок слоев кодирует стрелу времени. Таким образом, тензорная факторизация с помощью разложения Крускала применяется для назначения каждого узла сообществу во времени.${\displaystyle T_{ij}^{\tau }}$${\displaystyle T_{ij}^{\tau }}$

Были предложены методы, основанные на статистическом выводе, обобщающие существующие подходы, введенные для одномерных сетей. Стохастическая блочная модель является наиболее используемой генеративной моделью, соответствующим образом обобщенной на случай многослойных сетей. ^{[47] [48]}

Что касается одномерных сетей, принципиальные методы, такие как минимальная длина описания, могут использоваться для выбора модели в методах обнаружения сообществ, основанных на информационном потоке. ^[9]

Учитывая более высокую сложность многослойных сетей по сравнению с одномерными сетями, активное направление исследований направлено на упрощение структуры таких систем путем использования некоторого вида снижения размерности. ^{[22] [49]}

Популярный метод основан на вычислении квантовой дивергенции Дженсена-Шеннона между всеми парами слоев, которая затем используется для ее метрических свойств для построения матрицы расстояний и иерархической кластеризации слоев. Слои последовательно агрегируются в соответствии с полученным иерархическим деревом, и процедура агрегации останавливается, когда целевая функция , основанная на энтропии сети , достигает глобального максимума. Этот жадный подход необходим, поскольку для решения базовой проблемы потребуется проверить все возможные группы слоев любого размера, что требует огромного количества возможных комбинаций (что задается числом Белла и масштабируется сверхэкспоненциально с количеством единиц). Тем не менее, для многослойных систем с небольшим количеством слоев было показано, что метод работает оптимально в большинстве случаев. ^[22]

Вопрос о корреляциях степеней в одномерных сетях довольно прост: имеют ли узлы схожей степени тенденцию соединяться друг с другом? В многомерных сетях смысл этого вопроса становится менее ясным. Когда мы ссылаемся на степень узла, мы имеем в виду его степень в одном измерении или свернуто по всем? Когда мы пытаемся исследовать связность между узлами, мы сравниваем одни и те же узлы по измерениям или разные узлы в измерениях или их комбинацию? ^[6] Каковы последствия изменений в каждой из этих статистик для других свойств сети? В одном исследовании было обнаружено, что ассортативность снижает надежность в дуплексной сети. ^[50]

При наличии двух многомерных путей, r и s , мы говорим, что r доминирует над s тогда и только тогда, когда: и такой, что . ^[38]${\displaystyle \forall d\in \langle 1,|D|\rangle ,r_{l}\leq s_{l}}$${\displaystyle \exists i}$${\displaystyle r_{l}<s_{l}}$

Среди других сетевых статистик многие меры центральности полагаются на способность оценивать кратчайшие пути от узла к узлу. Расширение этих анализов на многомерную сеть требует включения дополнительных связей между узлами в используемые в настоящее время алгоритмы (например, Дейкстры ). Текущие подходы включают сворачивание многозвенных связей между узлами на этапе предварительной обработки перед выполнением вариаций поиска в ширину сети. ^[28]

Один из способов оценки расстояния между двумя узлами в многомерной сети — это сравнение всех многомерных путей между ними и выбор подмножества, которое мы определяем как кратчайшее с помощью доминирования пути: пусть будет множеством всех путей между и . Тогда расстояние между и представляет собой множество путей, таких что , что доминирует . Длина элементов в множестве кратчайших путей между двумя узлами, таким образом, определяется как многомерное расстояние . ^[38]${\displaystyle MP(u,v)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle P\subseteq MP}$${\displaystyle \forall p\in P,\nexists p'\in MP}$${\displaystyle p'}$${\displaystyle p}$

В многомерной сети релевантность данного измерения (или набора измерений) для одного узла можно оценить по соотношению: . ^[39]${\displaystyle G=(V,E,D)}$${\displaystyle D'}$${\displaystyle {\frac {{\text{Neighbors}}(v,D')}{{\text{Neighbors}}(v,D)}}}$

В многомерной сети, в которой различные измерения связи имеют различные реальные значения, статистика, характеризующая распределение связей в различных классах, представляет интерес. Таким образом, полезно рассмотреть две метрики, которые оценивают это: связность измерения и исключительная связность измерения. Первая — это просто отношение общего числа связей в данном измерении к общему числу связей в каждом измерении: . Последняя оценивает для данного измерения число пар узлов, соединенных только связью в этом измерении: . ^[39]${\displaystyle {\frac {|\{(u,v,d)\in E|u,v\in V\}|}{|E|}}}$${\displaystyle {\frac {|\{(u,v,d)\in E|u,v\in V\wedge \forall j\in D,j\neq d:(u,v,j)\notin E\}|}{|\{(u,v,d)\in E|u,v\in V\}|}}}$

Всплеск — хорошо известное явление во многих сетях реального мира, например, в электронной почте или других сетях человеческого общения. Дополнительные измерения коммуникации обеспечивают более точное представление реальности и могут подчеркнуть эти закономерности или уменьшить их. Поэтому крайне важно, чтобы наши методы обнаружения всплеска в сетях учитывали многомерные сети. ^[51]

Процессы диффузии широко используются в физике для исследования физических систем, а также в других дисциплинах, таких как социальные науки, нейронаука, городской и международный транспорт или финансы. Недавно простые и более сложные диффузионные процессы были обобщены на многослойные сети. ^{[23] [52]} Одним из результатов, общих для многих исследований, является то, что диффузия в мультиплексных сетях, особом типе многослойной системы, демонстрирует два режима: 1) вес межслойных связей, соединяющих слои друг с другом, недостаточно высок, и мультиплексная система ведет себя как две (или более) несвязанные сети; 2) вес межслойных связей достаточно высок, чтобы слои были связаны друг с другом, вызывая неожиданные физические явления. ^[23] Было показано, что существует резкий переход между этими двумя режимами. ^[53]

Фактически, все сетевые дескрипторы, зависящие от некоторого диффузионного процесса, от мер центральности до обнаружения сообщества, подвержены влиянию связи между слоями. Например, в случае обнаружения сообщества низкая связь (где информация из каждого слоя в отдельности более важна, чем общая структура) благоприятствует кластерам внутри слоев, тогда как высокая связь (где информация из всех слоев одновременно более важна, чем информация из каждого слоя в отдельности) благоприятствует кластерам между слоями. ^{[8] [9]}

Что касается одномерных сетей, то можно определить случайные блуждания на вершине многослойных систем. Однако, учитывая базовую многослойную структуру, случайные блуждания не ограничены перемещением от одного узла к другому в пределах одного слоя ( переход ), но также могут перемещаться между слоями ( переключение ). ^[15]

Случайные блуждания могут использоваться для исследования многослойной системы с конечной целью раскрытия ее мезомасштабной организации , т. е. для ее разделения на сообщества , ^{[8] [9]} и недавно использовались для лучшего понимания навигации многослойных сетей и их устойчивости к случайным сбоям, ^[15], а также для эффективного исследования этого типа топологий. ^[54]

В случае взаимосвязанных многослойных систем вероятность перехода от узла в слое к узлу в слое может быть закодирована в тензоре перехода ранга 4 , а дискретное временное блуждание может быть описано основным уравнением${\displaystyle i}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle j}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle T_{j\beta }^{i\alpha }}$

${\displaystyle p_{j\beta }(t+1)=\sum _{\alpha =1}^{L}\sum _{i=1}^{N}T_{j\beta }^{i\alpha }p_{i\alpha }(t)=\sum _{\alpha =1}^{L}\sum _{i=1}^{N}(T^{t})_{j\beta }^{i\alpha }p_{i\alpha }(0)}$

где указывает вероятность нахождения пешехода в узле в слое в момент времени . ^{[3] [15]}${\displaystyle p_{i\alpha }(t)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle t}$

Существует много различных типов блужданий, которые могут быть закодированы в тензоре перехода , в зависимости от того, как блуждающим разрешено прыгать и переключаться. Например, блуждающий может либо прыгать, либо переключаться за один временной шаг, не различая меж- и внутрислойных связей ( классическое случайное блуждание ), или он может выбрать либо остаться в текущем слое и прыгнуть, либо переключить слой, а затем перейти на другой узел за тот же временной шаг ( физическое случайное блуждание ). Более сложные правила, соответствующие конкретным задачам, которые нужно решить, можно найти в литературе. ^[23] В некоторых случаях можно аналитически найти стационарное решение основного уравнения. ^{[15] [54]}${\displaystyle T_{j\beta }^{i\alpha }}$

Проблема классической диффузии в сложных сетях заключается в понимании того, как количество будет протекать через систему и сколько времени потребуется для достижения стационарного состояния. Классическая диффузия в мультиплексных сетях недавно изучалась путем введения концепции матрицы надсмежности ^[55] , позже признанной особым уплощением многослойного тензора смежности. ^[3] В тензорной нотации уравнение диффузии на вершине общей многослойной системы можно записать кратко как

${\displaystyle {\frac {dX_{j\beta }(t)}{dt}}=-L_{j\beta }^{i\alpha }X_{i\alpha }(t)}$

где — количество рассеивающейся величины в момент времени в узле в слое . Тензор ранга 4, управляющий уравнением, — это тензор Лапласа, обобщающий комбинаторную матрицу Лапласа одномерных сетей. Стоит отметить, что в нетензорной записи уравнение принимает более сложную форму.${\displaystyle X_{i\alpha }(t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \alpha }$

Многие свойства этого процесса диффузии полностью поняты в терминах второго наименьшего собственного значения тензора Лапласа. Интересно, что диффузия в мультиплексной системе может быть быстрее, чем диффузия в каждом слое по отдельности или в их совокупности, при условии, что выполняются определенные спектральные свойства. ^[55]

В последнее время предметом интенсивных исследований стало то, как информация (или болезни) распространяются через многослойную систему. ^{[56] [1] [57] [58] [59]}

Было представлено несколько программ, ориентированных на анализ и визуализацию многослойных сетей. Некоторые популярные решения включают multinet (C++ / Python / R), MuxViz (R), Pymnet (Python), причем каждое программное обеспечение обычно специализируется на различных аналитических функциях. ^[60] Однако большинство программного обеспечения в настоящее время сталкиваются с такими проблемами, как обработка очень больших многослойных сетей, в то время как взаимодействие между программами также нуждается в улучшении.