Теорема Морделла–Вейля

В математике теорема Морделла–Вейля утверждает, что для абелева многообразия над числовым полем группа K -рациональных точек является конечно - порождённой абелевой группой , называемой группой Морделла–Вейля . Случай с эллиптической кривой и полем рациональных чисел — теорема Морделла , отвечающая на вопрос, по-видимому, поставленный Анри Пуанкаре около 1901 года; она была доказана Луи Морделлом в 1922 году. Это основополагающая теорема диофантовой геометрии и арифметики абелевых многообразий .${\displaystyle А}$ ${\displaystyle К}$${\displaystyle А(К)}$${\displaystyle А}$${\displaystyle А}$ ${\displaystyle E}$${\displaystyle К}$

Процесс касательной хорды (одна из форм теоремы сложения на кубической кривой ) был известен еще в семнадцатом веке. Процесс бесконечного спуска Ферма был хорошо известен, но Морделлу удалось установить конечность факторгруппы , что является важным шагом в доказательстве. Конечно, конечность этой группы является необходимым условием для того, чтобы быть конечно порожденной; и это показывает, что ранг конечен . Это оказывается существенной трудностью. Это можно доказать прямым анализом удвоения точки на E. ${\displaystyle E(\mathbb {Q} )/2E(\mathbb {Q} )}$${\displaystyle E(\mathbb {Q} )}$

Несколько лет спустя Андре Вейль занялся этой темой, выполнив обобщение на якобианы кривых высшего рода над произвольными числовыми полями в своей докторской диссертации ^[1], опубликованной в 1928 году. Требовались более абстрактные методы, чтобы провести доказательство с той же базовой структурой. Вторая половина доказательства требует некоторого типа функции высоты , в терминах которой можно ограничить «размер» точек . Подойдет некоторая мера координат; высоты являются логарифмическими, так что (грубо говоря) это вопрос о том, сколько цифр требуется для записи набора однородных координат . Однако для абелева многообразия не существует априори предпочтительного представления в виде проективного многообразия .${\displaystyle А(К)}$

Обе половины доказательства были значительно улучшены благодаря последующим техническим достижениям: в когомологиях Галуа применительно к спуску и в изучении наилучших функций высоты (которые являются квадратичными формами ).

Теорема оставляет ряд вопросов без ответа:

• Расчет ранга. Это все еще сложная вычислительная задача, и не всегда имеет эффективные решения .
• Значение ранга: см. гипотезу Берча и Суиннертона-Дайера .
• Возможные подгруппы кручения: Барри Мазур доказал в 1978 году, что группа Морделла–Вейля может иметь только конечное число подгрупп кручения. Это случай эллиптической кривой гипотезы кручения .
• Для кривой в ее якобиевом многообразии как , может ли пересечение с быть бесконечным? Из-за теоремы Фалтингса это неверно, если только .${\displaystyle С}$${\displaystyle А}$${\displaystyle С}$${\displaystyle А(К)}$${\displaystyle С=А}$
• В том же контексте может ли содержать бесконечно много точек кручения ? Из-за гипотезы Манина–Мамфорда , доказанной Мишелем Рейно, это неверно, если только это не случай эллиптической кривой.${\displaystyle С}$${\displaystyle А}$

• Арифметическая геометрия
• Группа Морделла–Вейля

• Вейль, Андре (1929). «Арифметика в области алгебры». Акта Математика . 52 (1): 281–315 . doi : 10.1007/BF02592688. МР  1555278.
• Морделл, Луис Джоэл (1922). «О рациональных решениях неопределенных уравнений третьей и четвертой степеней». Математические труды Кембриджского философского общества . 21 : 179–192 .
• Сильверман, Джозеф Х. (1986). Арифметика эллиптических кривых . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 106. Springer-Verlag. doi :10.1007/978-0-387-09494-6. ISBN 0-387-96203-4. МР  2514094.