Группа Морделла–Вейля

В арифметической геометрии группа Морделла–Вейля является абелевой группой, связанной с любым абелевым многообразием, определенным над числовым полем . Это арифметический инвариант абелева многообразия. Это просто группа -точек , как и группа Морделла–Вейля ^{[1] [2] стр. 207} . Основная структурная теорема об этой группе — теорема Морделла–Вейля , которая показывает, что эта группа на самом деле является конечно-порожденной абелевой группой. Более того, существует много гипотез, связанных с этой группой, таких как гипотеза Бирча и Суиннертона-Дайера , которая связывает ранг с нулем ассоциированной L-функции в специальной точке.${\displaystyle А}$${\displaystyle К}$${\displaystyle К}$${\displaystyle А}$${\displaystyle А(К)}$${\displaystyle А(К)}$

Построение ^[3] явных примеров группы Морделла–Вейля абелева многообразия — нетривиальный процесс, который не всегда гарантированно будет успешным, поэтому вместо этого мы специализируемся на случае конкретной эллиптической кривой . Пусть определяется уравнением Вейерштрасса${\displaystyle E/\mathbb {Q} }$${\displaystyle E}$

${\displaystyle y^{2}=x(x-6)(x+6)}$

над рациональными числами. Имеет дискриминант (и этот многочлен можно использовать для определения глобальной модели ). Его можно найти ^[3]${\displaystyle \Delta _{E}=2^{12}\cdot 3^{6}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}/\mathbb {Z} }$

${\displaystyle E(\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Z} /2\times \mathbb {Z} /2\times \mathbb {Z} }$

с помощью следующей процедуры. Сначала мы находим некоторые очевидные точки кручения, подставляя некоторые числа, которые

${\displaystyle \infty ,(0,0),(6,0),(-6,0)}$

Кроме того, после того, как мы попробуем несколько меньших пар целых чисел, мы находим точку, которая, очевидно, не является кручением. Один полезный результат для нахождения кручения части состоит в том, что кручение простого числа для , для того, чтобы иметь хорошее сведение к , обозначается как инъецируется в , так что${\displaystyle (-3,9)}$${\displaystyle E(\mathbb {Q} )}$${\displaystyle p}$${\displaystyle E}$${\displaystyle p}$${\displaystyle E(\mathbb {Q} )_{\mathrm {tors} ,p}}$${\displaystyle E(\mathbb {F} _{p})}$

${\ displaystyle E (\ mathbb {Q}) _ {\ mathrm {tors}, p} \ hookrightarrow E (\ mathbb {F} _ {p})}$

Проверяем два простых числа и вычисляем мощность множеств${\displaystyle p=5,7}$

${\displaystyle {\begin{align}\#E(\mathbb {F} _{5})&=8=2^{3}\\\#E(\mathbb {F} _{7})&=12=2^{2}\cdot 3\end{align}}}$

обратите внимание, что поскольку оба простых числа содержат только множитель , мы нашли все точки кручения. Кроме того, мы знаем, что точка имеет бесконечный порядок, поскольку в противном случае был бы простой множитель, общий для обеих мощностей, поэтому ранг равен по крайней мере . Теперь вычисление ранга — более трудоемкий процесс, состоящий из вычисления группы , где используются некоторые длинные точные последовательности из гомологической алгебры и карты Куммера .${\displaystyle 2^{2}}$${\displaystyle (-3,9)}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle E(\mathbb {Q} )/2E(\mathbb {Q} )\cong (\mathbb {Z} /2)^{r+2}}$${\displaystyle r=\operatorname {rank} (E(\mathbb {Q} ))}$

В литературе имеется много теорем о структуре групп Морделла–Вейля абелевых многообразий определенной размерности, над определенными полями или обладающих некоторыми другими специальными свойствами.

Для гиперэллиптической кривой и абелева многообразия, определенного над фиксированным полем , мы обозначаем поворот (обратный образ к полю функций ) 1-коциклом${\displaystyle C}$${\displaystyle A}$${\displaystyle k}$${\displaystyle A_{b}}$${\displaystyle A|_{k(t)}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle k(t)=k(\mathbb {P} ^{1})}$

${\displaystyle b\in Z^{1}(\operatorname {Gal} (k(C)/k(t)),{\text{Aut}}(A))}$

для когомологий Галуа расширения поля, связанного с накрывающим отображением . Обратите внимание , что это следует из гиперэллиптичности отображения. Более явно, этот 1-коцикл задан как отображение групп${\displaystyle f:C\to \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle G=\operatorname {Gal} (k(C)/k(t)\cong \mathbb {Z} /2}$

${\displaystyle G\times G\to \operatorname {Aut} (A)}$

что с использованием универсальных свойств равносильно заданию двух карт , следовательно, мы можем записать это как карту${\displaystyle G\to {\text{Aut}}(A)}$

${\displaystyle b=(b_{id},b_{\iota })}$

где — отображение включения и отправляется в отрицательное . Это можно использовать для определения скрученного абелевого многообразия, определенного над с помощью общей теории алгебраической геометрии ^{[4] стр. 5} . В частности, из универсальных свойств этой конструкции, — абелево многообразие над , которое изоморфно после замены базы на .${\displaystyle b_{id}}$${\displaystyle b_{\iota }}$${\displaystyle \operatorname {Id} _{A}}$${\displaystyle A_{b}}$${\displaystyle k(t)}$${\displaystyle A_{b}}$${\displaystyle k(t)}$${\displaystyle A|_{k(C)}}$${\displaystyle k(C)}$

Для приведенной выше установки ^[5] существует изоморфизм абелевых групп

${\displaystyle A_{b}(k(t))\cong \operatorname {Hom} _{k}(J(C),A)\oplus A_{2}(k)}$

где — якобиан кривой , а — 2-крученая подгруппа .${\displaystyle J(C)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle A_{2}}$${\displaystyle A}$

• Теорема Морделла–Вейля

• Группа кривых Морделла–Вейля рода 2
• Определение группы Морделла–Вейля универсальной эллиптической кривой
• Спуск Галуа и повороты абелева многообразия
• О группах Морделла–Вейля якобианов над функциональными полями