Методы Монте-Карло в финансах

Методы Монте-Карло используются в корпоративных финансах и математических финансах для оценки и анализа (сложных) инструментов , портфелей и инвестиций путем моделирования различных источников неопределенности, влияющих на их стоимость, а затем определения распределения их стоимости по диапазону результирующих результатов. ^{[1] [2]} Обычно это делается с помощью стохастических моделей активов . Преимущество методов Монте-Карло над другими методами возрастает по мере увеличения измерений (источников неопределенности) проблемы.

Методы Монте-Карло были впервые введены в финансы в 1964 году Дэвидом Б. Герцем в его статье в Harvard Business Review ^[3] , где он обсуждал их применение в корпоративных финансах . В 1977 году Фелим Бойл стал пионером в использовании моделирования в оценке производных инструментов в своей основополагающей статье в Journal of Financial Economics . ^[4]

В этой статье рассматриваются типичные финансовые проблемы, в которых используются методы Монте-Карло. Также затрагивается использование так называемых «квазислучайных» методов, таких как использование последовательностей Соболя .

Метод Монте-Карло охватывает любую технику статистической выборки, используемую для приближенного решения количественных задач. ^[5] По сути, метод Монте-Карло решает задачу путем прямого моделирования лежащего в основе (физического) процесса, а затем вычисления (среднего) результата этого процесса. ^[1] Этот весьма общий подход применим в таких областях, как физика , химия , информатика и т. д.

В финансах метод Монте-Карло используется для моделирования различных источников неопределенности, которые влияют на стоимость рассматриваемого инструмента , портфеля или инвестиции , а затем для расчета репрезентативной стоимости с учетом этих возможных значений базовых входных данных. ^[1] («Охват всех мыслимых непредвиденных обстоятельств реального мира пропорционально их вероятности». ^[6] ) С точки зрения финансовой теории это, по сути, является применением оценки, нейтральной к риску ; ^[7] см. также нейтральность к риску .

Приложения:

• В корпоративных финансах [ ^{8] [9] [10]} проектном финансировании ^[8] и анализе реальных опционов ^[1] методы Монте-Карло используются финансовыми аналитиками , желающими построить « стохастические » или вероятностные финансовые модели в отличие от традиционных статических и детерминированных моделей. Здесь, чтобы проанализировать характеристики чистой приведенной стоимости (NPV) проекта, моделируются компоненты денежного потока, которые (сильно ^[10] ) подвержены влиянию неопределенности , включая любую корреляцию между ними, математически отражая их «случайные характеристики». Затем эти результаты объединяются в гистограмму NPV (т. е. распределение вероятностей проекта ), и наблюдается средняя NPV потенциальных инвестиций, а также ее волатильность и другие чувствительности. Это распределение позволяет, например, оценить вероятность того, что проект имеет чистую приведенную стоимость больше нуля (или любого другого значения). ^[11] См . далее в разделе Корпоративные финансы.

• При оценке опциона на акционерный капитал моделирование генерирует несколько тысяч возможных (но случайных) ценовых путей для базовой акции с соответствующей стоимостью исполнения (т. е. «выплатой») опциона для каждого пути. Затем эти выплаты усредняются и дисконтируются к сегодняшнему дню, и этот результат является стоимостью опциона на сегодняшний день. ^[12] Обратите внимание, что в то время как опционы на акционерный капитал чаще оцениваются с использованием других моделей ценообразования, таких как модели на основе решеток , для зависимых от пути экзотических производных инструментов , таких как азиатские опционы , моделирование является наиболее часто используемым методом оценки; см. Методы Монте-Карло для ценообразования опционов для обсуждения дальнейшего — и более сложного — моделирования опционов.

• Для оценки инструментов с фиксированным доходом и процентных деривативов основным источником неопределенности, который моделируется, является краткосрочная ставка — годовая процентная ставка , по которой организация может занимать деньги на определенный период времени; см. Модель краткосрочной ставки . Например, для облигаций и опционов на облигации ^[13] при каждой возможной эволюции процентных ставок мы наблюдаем различную кривую доходности и различную результирующую цену облигации . Чтобы определить стоимость облигации, эти цены на облигации затем усредняются; для оценки опциона на облигацию, как и для опционов на акции, соответствующие значения исполнения усредняются и приводятся к текущей стоимости. Похожий подход используется при оценке свопов , свопционов ^[14] и конвертируемых облигаций [ ^15] Что касается капитала, для процентных деривативов, зависящих от пути , — таких как CMO — моделирование является основным используемым методом; ^[16] (Обратите внимание , что «для создания реалистичных симуляций процентных ставок» иногда используются многофакторные краткосрочные модели . ^[17] )

• Методы Монте-Карло используются для оценки портфеля . ^[18] Здесь для каждой выборки коррелированное поведение факторов, влияющих на составляющие инструменты, моделируется с течением времени, вычисляется результирующее значение каждого инструмента, а затем наблюдается стоимость портфеля. Как и в случае с корпоративными финансами, выше, различные значения портфеля затем объединяются в гистограмму , и наблюдаются статистические характеристики портфеля, и портфель оценивается по мере необходимости. Здесь аналитики могут применять анализ главных компонентов , где посредством снижения размерности можно моделировать ограниченный набор факторов вместо каждого из отдельных источников неопределенности.

• Аналогичный подход используется при расчете стоимости под риском [ ^{19] [20]} или «VaR», оценки того, сколько позиция, «стол» или другая область может потерять с заданной вероятностью (или уровнем достоверности ) и в установленный период времени. Типичное применение VaR — инвестиционный банкинг , где банк держит экономический «рисковый капитал», соответствующий расчетному числу; см. Управление финансовыми рисками § Банковское дело . VaR также используется в управлении рисками портфеля , где, как и выше, моделирование позволяет управляющему фондом оценивать убытки на заданном горизонте и уровне достоверности ^[21] , а затем хеджировать по мере необходимости.

• После кризиса банки будут вносить различные «корректировки оценки» — в совокупности XVA — при оценке стоимости заключенных ими производных контрактов. Их цель двоякая: в первую очередь хеджировать возможные убытки из-за неуплаты другими сторонами сумм, причитающихся по производным контрактам ( корректировка оценки кредита ); но также определять ( и хеджировать ) размер капитала, требуемого в соответствии с правилами достаточности капитала банка . Они рассчитываются в рамках моделирования как нейтральное к риску ожидаемое значение возможных потерь или других последствий. ^[22] См. Корректировка оценки кредита § Расчет .

• Структурировщики используют моделирование для оценки вероятной выплаты (и возможности убытков) по их индивидуальным структурированным облигациям или другим структурированным продуктам , обычно включающим несколько компонентов ценных бумаг. ^[23]

• Методы Монте-Карло используются для личного финансового планирования . ^{[24] [25]} Например, моделируя рынок в целом, можно рассчитать шансы на пенсионный план 401(k) с целевым доходом. При необходимости работник может пойти на больший риск с пенсионным портфелем или начать откладывать больше денег.

• Моделирование дискретных событий может использоваться для оценки влияния предлагаемых капиталовложений на существующие операции. Здесь строится модель «текущего состояния». После корректной работы, после тестирования и проверки на основе исторических данных, моделирование изменяется для отражения предлагаемых капиталовложений. Затем эта модель «будущего состояния» используется для оценки инвестиций путем оценки улучшения производительности (т. е. доходности) относительно затрат (с помощью гистограммы, как указано выше); ее также можно использовать для стресс-тестирования проекта. См. Моделирование дискретных событий § Оценка решений по капиталовложениям .

Хотя методы Монте-Карло обеспечивают гибкость и могут обрабатывать множественные источники неопределенности, использование этих методов, тем не менее, не всегда целесообразно. В целом, методы моделирования предпочтительнее других методов оценки только в случае наличия нескольких переменных состояния (т. е. нескольких источников неопределенности). ^[1] Эти методы также имеют ограниченное применение при оценке производных инструментов американского типа. См. ниже.

Многие проблемы в области математических финансов влекут за собой вычисление конкретного интеграла (например, проблема нахождения безарбитражного значения конкретной производной ). Во многих случаях эти интегралы можно оценить аналитически , а в еще большем количестве случаев их можно оценить с помощью численного интегрирования или вычислить с помощью уравнения в частных производных (УЧП). Однако, когда число измерений (или степеней свободы) в задаче велико, УЧП и численные интегралы становятся неразрешимыми, и в этих случаях методы Монте-Карло часто дают лучшие результаты.

Для более чем трех или четырех переменных состояния формулы, такие как Блэка-Шоулза (т. е. аналитические решения ), не существуют, в то время как другие численные методы, такие как биномиальная модель ценообразования опционов и методы конечных разностей , сталкиваются с рядом трудностей и не являются практичными. В этих случаях методы Монте-Карло сходятся к решению быстрее, чем численные методы, требуют меньше памяти и их легче программировать. Однако для более простых ситуаций моделирование не является лучшим решением, поскольку оно требует очень много времени и вычислений.

Методы Монте-Карло могут работать с производными, которые имеют зависящие от пути выплаты, довольно простым способом. С другой стороны, решатели конечно-разностных методов (PDE) борются с зависимостью от пути.

Методы Монте-Карло сложнее использовать с американскими опционами . Это связано с тем, что, в отличие от дифференциального уравнения в частных производных , метод Монте-Карло на самом деле оценивает только стоимость опциона, предполагая заданную начальную точку и время.

Однако для раннего исполнения нам также необходимо знать стоимость опциона в промежуточные моменты времени между временем начала моделирования и временем истечения срока действия опциона. В подходе Блэка-Шоулза PDE эти цены легко получить, поскольку моделирование выполняется в обратном направлении от даты истечения срока действия. В Монте-Карло эту информацию получить сложнее, но это можно сделать, например, с помощью алгоритма наименьших квадратов Каррьера (см. ссылку на оригинальную статью) ^{[ требуется цитата ]} , который стал популярным несколько лет спустя благодаря Лонгстаффу и Шварцу (см. ссылку на оригинальную статью) ^{[ требуется цитата ]} .

Основная теорема безарбитражного ценообразования гласит, что стоимость производной равна дисконтированной ожидаемой стоимости выплаты производной, где ожидание берется при нейтральной по отношению к риску мере ^[1] . Ожидание, на языке чистой математики , — это просто интеграл по отношению к мере. Методы Монте-Карло идеально подходят для оценки сложных интегралов (см. также Метод Монте-Карло ).

Таким образом, если мы предположим, что наше пространство вероятностей, нейтральное по отношению к риску, равно и что у нас есть производная H, которая зависит от набора базовых инструментов . Тогда, учитывая выборку из пространства вероятностей, значение производной равно . Сегодняшнее значение производной находится путем взятия ожидания по всем возможным выборкам и дисконтирования по безрисковой ставке. То есть производная имеет значение:${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle S_{1},...,S_{n}}$${\displaystyle \омега}$${\displaystyle H(S_{1}(\omega),S_{2}(\omega),\dots,S_{n}(\omega))=:H(\omega)}$

${\displaystyle H_{0}={DF}_{T}\int _{\omega }H(\omega )\,d\mathbb {P} (\omega )}$

где — коэффициент дисконтирования , соответствующий безрисковой ставке к окончательной дате погашения через T лет в будущем.${\displaystyle {DF}_{T}}$

Теперь предположим, что интеграл трудно вычислить. Мы можем аппроксимировать интеграл, генерируя пути выборки, а затем взяв среднее значение. Предположим, мы генерируем N выборок, тогда

${\displaystyle H_{0}\approx {DF}_{T}{\frac {1}{N}}\sum _{\omega \in {\text{набор образцов}}}H(\omega )}$

что гораздо проще вычислить.

В финансах, базовые случайные переменные (например, базовая цена акций) обычно предполагаются следующими по траектории, которая является функцией броуновского движения ^2. Например, в стандартной модели Блэка-Шоулза цена акций развивается как

${\displaystyle dS=\mu S\,dt+\sigma S\,dW_{t}.}$

Чтобы выбрать путь, следующий этому распределению от времени 0 до T, мы делим временной интервал на M единиц длины и аппроксимируем броуновское движение на интервале одной нормальной переменной со средним значением 0 и дисперсией . Это приводит к выборочному пути${\displaystyle \дельта т}$${\displaystyle dt}$${\displaystyle \дельта т}$

${\displaystyle S(k\delta t)=S(0)\exp \left(\sum _{i=1}^{k}\left[\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)\delta t+\sigma \varepsilon _{i}{\sqrt {\delta t}}\right]\right)}$

для каждого k от 1 до M. Здесь каждый из них является результатом стандартного нормального распределения.${\displaystyle \varepsilon _ {i}}$

Предположим, что производная H выплачивает среднее значение S между 0 и T, тогда выборочный путь соответствует набору и${\displaystyle \омега}$${\displaystyle \{\varepsilon _{1},\dots ,\varepsilon _{M}\}}$

${\displaystyle H(\omega )={\frac {1}{M}}\sum _{k=1}^{M}S(k\delta t).}$

Мы получаем значение Монте-Карло этой производной, генерируя N партий M нормальных переменных, создавая N путей выборки и, таким образом, N значений H , а затем беря среднее. Обычно производная будет зависеть от двух или более (возможно, коррелированных) базовых переменных. Метод здесь может быть расширен для генерации путей выборки нескольких переменных, где нормальные переменные, составляющие пути выборки, соответствующим образом коррелируют.

Из центральной предельной теоремы следует , что учетверение числа путей выборки примерно вдвое уменьшает ошибку в моделируемой цене (т.е. ошибка имеет порядок сходимости в смысле стандартного отклонения решения).${\displaystyle \epsilon ={\mathcal {O}}\left(N^{-1/2}\right)}$

На практике методы Монте-Карло используются для производных инструментов европейского типа, включающих не менее трех переменных (для задач с одним или двумя базовыми активами обычно можно использовать более прямые методы, включающие численное интегрирование). См. модель опционов Монте-Карло .

Оценки для " греков " опциона, т.е. (математических) производных стоимости опциона относительно входных параметров, могут быть получены путем численного дифференцирования. Это может быть трудоемким процессом (для каждого "выброса" или небольшого изменения входных параметров необходимо выполнить полный запуск Монте-Карло). Кроме того, получение численных производных имеет тенденцию подчеркивать ошибку (или шум) в стоимости Монте-Карло, что делает необходимым моделирование с большим количеством выборочных путей. Практики считают эти моменты ключевой проблемой при использовании методов Монте-Карло.

Сходимость квадратного корня медленная, поэтому использование наивного подхода, описанного выше, требует использования очень большого количества путей выборки (скажем, 1 миллион для типичной проблемы) для получения точного результата. Помните, что оценщик цены производного инструмента является случайной величиной, и в рамках деятельности по управлению рисками неопределенность цены портфеля производных инструментов и/или его рисков может привести к неоптимальным решениям по управлению рисками.

Такое положение дел можно смягчить с помощью методов снижения дисперсии .

Простой метод заключается в том, чтобы для каждого полученного пути выборки взять его антитетический путь — то есть заданный путь, который также следует взять . Поскольку переменные и образуют антитетическую пару, большое значение одного сопровождается малым значением другого. Это говорит о том, что необычно большой или малый выход, вычисленный из первого пути, может быть сбалансирован значением, вычисленным из антитетического пути, что приводит к снижению дисперсии. ^[26] Это не только уменьшает количество нормальных выборок, которые необходимо взять для генерации N путей, но также, при тех же условиях, таких как отрицательная корреляция между двумя оценками, снижает дисперсию путей выборки, повышая точность.${\displaystyle \{\varepsilon _{1},\dots ,\varepsilon _{M}\}}$${\displaystyle \{-\varepsilon _{1},\dots ,-\varepsilon _{M}\}}$${\displaystyle \varepsilon _ {i}}$${\displaystyle -\varepsilon _{i}}$

Также естественно использовать контрольную переменную . Предположим, что мы хотим получить значение Монте-Карло производной H , но знаем аналитическое значение аналогичной производной I. Тогда H * = (Значение H согласно Монте-Карло) + B*[(Значение I аналитически) − (Значение I согласно тем же путям Монте-Карло)] является лучшей оценкой, где B равно covar(H,I)/var(H).

Интуиция, лежащая в основе этой техники, применительно к производным инструментам, заключается в следующем: обратите внимание, что источник дисперсии производного инструмента будет напрямую зависеть от рисков (например, дельта, вега) этого производного инструмента. Это происходит потому, что любая ошибка, скажем, в оценщике для форвардной стоимости базового актива, сгенерирует соответствующую ошибку, зависящую от дельты производного инструмента относительно этой форвардной стоимости. Самый простой пример для демонстрации этого состоит в сравнении ошибки при ценообразовании колл-опциона «при деньгах» и стрэддла-опциона «при деньгах» (т. е. колл+пут), дельта которого намного ниже.

Таким образом, стандартный способ выбора производной I состоит в выборе реплицирующих портфелей опционов для H. На практике H оценивается без снижения дисперсии, рассчитываются дельты и веги, а затем в качестве контрольной переменной используется комбинация коллов и путов, имеющих те же дельты и веги.

Выборка важности состоит из моделирования путей Монте-Карло с использованием другого распределения вероятностей (также известного как изменение меры), которое даст большую вероятность для моделируемого базового актива находиться в области, где выплата производной имеет наибольшую выпуклость (например, близко к страйку в случае простого опциона). Затем моделируемые выплаты не просто усредняются, как в случае простого Монте-Карло, а сначала умножаются на отношение правдоподобия между измененным распределением вероятностей и исходным (которое получается с помощью аналитических формул, специфичных для распределения вероятностей). Это гарантирует, что пути, вероятность которых была произвольно увеличена изменением распределения вероятностей, будут взвешены с низким весом (именно так уменьшается дисперсия).

Этот метод может быть особенно полезен при расчете рисков по производным инструментам. При расчете дельты с использованием метода Монте-Карло наиболее простым способом является метод черного ящика , заключающийся в выполнении метода Монте-Карло на исходных рыночных данных и еще одного на измененных рыночных данных, и расчет риска путем вычисления разницы. Вместо этого метод выборки по важности заключается в выполнении метода Монте-Карло на произвольных справочных рыночных данных (в идеале таких, в которых дисперсия максимально низкая) и расчете цен с использованием описанного выше метода изменения веса. Это приводит к риску, который будет намного более стабильным, чем риск, полученный с помощью подхода черного ящика .

Вместо случайной генерации траекторий выборки можно систематически (и фактически полностью детерминированно, несмотря на «квазислучайный» в названии) выбирать точки в вероятностных пространствах так, чтобы оптимально «заполнить» пространство. Выбор точек представляет собой последовательность с низким расхождением, такую ​​как последовательность Соболя . Взятие средних производных выплат в точках в последовательности с низким расхождением часто более эффективно, чем взятие средних выплат в случайных точках.

1. Зачастую более практично рассматривать ожидания в рамках различных мер, однако они по сути своей являются интегралами, поэтому можно применять тот же подход.
2. Иногда используются и более общие процессы, такие как процессы Леви . Их также можно моделировать.

• Методы квази-Монте-Карло в финансах
• Метод Монте-Карло
• Историческое моделирование (финансы)
• Симулятор фондового рынка
• Реальная оценка опционов

• Boyle, P., Broadie, M. и Glasserman, P. Методы Монте-Карло для ценообразования ценных бумаг. Журнал экономической динамики и контроля, том 21, выпуски 8-9, страницы 1267-1321
• Рубинштейн, Самородницкий, Шакед. Антитетические переменные, многомерная зависимость и моделирование стохастических систем. Наука управления, т. 31, № 1, январь 1985 г., стр. 66–67

• Дамиано Бриго , Фабио Меркурио (2001). Модели процентных ставок - теория и практика с улыбкой, инфляцией и кредитом (2-е изд. 2006 г.). Springer Verlag. ISBN 978-3-540-22149-4.
• Daniel J. Duffy & Joerg Kienitz (2009). Фреймворки Монте-Карло: Создание настраиваемых высокопроизводительных приложений C++ . Wiley. ISBN 978-0470060698.
• Бруно Дюпир (1998). Монте-Карло: методологии и приложения для ценообразования и управления рисками . Риск.
• Пол Глассерман (2003). Методы Монте-Карло в финансовом инжиниринге . Springer-Verlag. ISBN 0-387-00451-3.
• Джон К. Халл (2000). Опционы, фьючерсы и другие производные инструменты (4-е изд.) . Prentice Hall. ISBN 0-13-015822-4.
• Питер Джэкел (2002). Методы Монте-Карло в финансах . John Wiley and Sons. ISBN 0-471-49741-X.
• Питер Э. Клоден и Экхард Платен (1992). Численное решение стохастических дифференциальных уравнений . Спрингер - Верлаг.
• Dessislava Pachamanova и Frank J. Fabozzi (2010). Моделирование и оптимизация в финансах: моделирование с MATLAB, @Risk или VBA . John Wiley and Sons. ISBN 978-0-470-37189-3.

Общий

• Моделирование Монте-Карло (Энциклопедия количественных финансов), Питер Йекель и Экхард Платени
• Метод Монте-Карло, riskglossary.com
• Метод Монте-Карло, примеры из области финансов, Мартин Хо, Колумбийский университет
• Методы Монте-Карло, применяемые в финансах, Саймон Леже

Производная оценка

• Моделирование Монте-Карло, проф. Дон М. Ченс, Университет штата Луизиана
• Оценка опционов с помощью моделирования, Бернт Арне Эдегор, Норвежская школа менеджмента
• Применение методов Монте-Карло в финансах: ценообразование опционов, Y. Lai и J. Spanier, Claremont Graduate University
• Оценка производной Монте-Карло, продолжение, Тимоти Л. Крехбиль, Университет штата Оклахома – Стиллуотер
• Оценка сложных опционов с использованием простого моделирования Монте-Карло, Питер Финк - перепечатка на quantnotes.com
• Метод наименьших квадратов Монте-Карло для американских опционов, Каррьер, 1996, ideas.repec.org
• Метод наименьших квадратов Монте-Карло для американских опционов Лонгстаффа и Шварца, 2001, repositories.cdlib.org
• Использование моделирования для ценообразования опционов, Джон Чарнс

Корпоративные финансы

• Реальные опционы с моделированием Монте-Карло, Марко Диас, Папский католический университет Рио-де-Жанейро
• Использование моделирования для расчета чистой приведенной стоимости проекта, investmentscience.com
• Моделирование, деревья решений и анализ сценариев в оценке Проф. Асват Дамодаран , Школа бизнеса Стерна
• Метод Монте-Карло в Excel Проф. Андре Фарбер Solvay Business School
• Прогнозирование продаж, vertex42.com
• Ценообразование с использованием моделирования Монте-Карло, практический пример, проф. Джанкарло Верчеллино

Личные финансы

• Лучший способ определить размер своего сбережения, Businessweek Online: 22 января 2001 г.
• Онлайн-планировщик пенсий Монте-Карло с исходным кодом, Джим Ричмонд, 2006 г.
• Бесплатный калькулятор пенсионного обеспечения на основе электронных таблиц и симулятор Монте-Карло, Эрик С., 2008 г.
• Моделирование выхода на пенсию
• Финансовое планирование с использованием случайных блужданий, Джон Норстад, 2005 г.
• Калькулятор сбережений Vanguard, Vanguard