Геометрическое соответствие Ленглендса
Математическая теория

В математике геометрическое соответствие Ленглендса связывает алгебраическую геометрию и теорию представлений . Это переформулировка соответствия Ленглендса , полученная путем замены числовых полей, появляющихся в исходной версии теории чисел , на функциональные поля и применения методов из алгебраической геометрии . [1] Геометрическая гипотеза Ленглендса утверждает существование геометрического соответствия Ленглендса.

Существование геометрического соответствия Ленглендса в частном случае общих линейных групп над функциональными полями было доказано Лораном Лаффоргом в 2002 году, где оно следует как следствие теоремы Лаффорга . [2]

Фон

В математике классическое соответствие Ленглендса представляет собой набор результатов и гипотез, связывающих теорию чисел и теорию представлений. Сформулированное Робертом Ленглендсом в конце 1960-х годов, соответствие Ленглендса связано с важными гипотезами в теории чисел, такими как гипотеза Таниямы–Шимуры , которая включает в себя Великую теорему Ферма как частный случай. [1]

Соответствия Ленглендса могут быть сформулированы для глобальных полей (а также локальных полей ), которые классифицируются на числовые поля или глобальные функциональные поля . Установление классического соответствия Ленглендса для числовых полей оказалось чрезвычайно сложным. В результате некоторые математики сформулировали геометрическое соответствие Ленглендса для глобальных функциональных полей, с которыми в некотором смысле оказалось проще иметь дело. [3]

Геометрическая гипотеза Ленглендса для общих линейных групп над полем функций была сформулирована Владимиром Дринфельдом и Жераром Ломоном в 1987 году. [4] [5] Г Л ( н , К ) {\displaystyle GL(n,K)} К {\displaystyle К}

Статус

Геометрическая гипотеза Ленглендса была доказана Пьером Делинем и Дринфельдом в 1983 году. [6] [7] Г Л ( 1 ) {\displaystyle GL(1)} Г Л ( 2 ) {\displaystyle GL(2)}

Лоран Лаффорг доказал геометрическую гипотезу Ленглендса для поля функций в 2002 году. [2] Г Л ( н , К ) {\displaystyle GL(n,K)} К {\displaystyle К}

Заявленное доказательство категорической неразветвленной геометрической гипотезы Ленглендса было объявлено 6 мая 2024 года группой математиков, включая Денниса Гейтсгори . [8] [9] Заявленное доказательство содержится на более чем 1000 страницах в пяти статьях и было названо «настолько сложным, что почти никто не может его объяснить». Даже передача значимости результата другим математикам была описана Дринфельдом как «очень сложная, почти невозможная». [10]

Связь с физикой

В статье 2007 года Антон Капустин и Эдвард Виттен описали связь между геометрическим соответствием Ленглендса и S-дуальностью , свойством некоторых квантовых теорий поля . [11]

В 2018 году, принимая премию Абеля, Ленглендс представил доклад, в котором переформулировал геометрическую программу, используя инструменты, аналогичные его оригинальной переписке с Ленглендсом. [12] [13] Идеи Ленглендса были в дальнейшем развиты Этингофом, Френкелем и Кажданом. [14]

Примечания

  1. ^ Френкель 2007, стр. 3.
  2. ^ аб Лаффорг, Лоран (2002). «Щтукас де Дринфельд, формула следов Артура-Сельберга и переписка Ленглендса». arXiv : math/0212399 .
  3. ^ Френкель 2007, стр. 3,24.
  4. ^ Френкель 2007, стр. 46.
  5. ^ Лаумон, Жерар (1987). «Геометрическая переписка Ленглендса для выполнения функций». Математический журнал Дьюка . 54 (2): 309–359 . doi :10.1215/S0012-7094-87-05418-4.
  6. ^ Френкель 2007, стр. 31,46.
  7. ^ Дринфельд, Владимир Г. (1983). «Двумерные ℓ–адические представления фундаментальной группы кривой над конечным полем и автоморфные формы на GL(2)». American Journal of Mathematics . 105 : 85–114 . doi :10.2307/2374382. JSTOR  2374382.
  8. ^ "Доказательство геометрической гипотезы Ленглендса". people.mpim-bonn.mpg.de . Получено 2024-07-09 .
  9. ^ Кларрайх, Эрика (2024-07-19). «Монументальное доказательство разрешает геометрическую гипотезу Ленглендса». Журнал Quanta . Получено 2024-07-20 .
  10. ^ Уилкинс, Алекс (20 мая 2024 г.). «Невероятное математическое доказательство настолько сложно, что почти никто не может его объяснить». New Scientist . Получено 09.07.2024 .
  11. ^ Капустин и Виттен 2007
  12. ^ «Величайший математик, о котором вы никогда не слышали». The Walrus . 2018-11-15 . Получено 2020-02-17 .
  13. ^ Ленглендс, Роберт (2018). «Об аналитическом виде геометрической теории автоморфных форм1» (PDF) . Институт перспективных исследований .
  14. ^ Этингоф, Павел и Френкель, Эдвард и Каждан, Дэвид (2019). «Аналитическая версия соответствия Ленглендса для комплексных кривых». arXiv : 1908.09677 [math.AG].{{cite arXiv}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

Ссылки

  • Френкель, Эдвард (2007). "Лекции по программе Ленглендса и конформной теории поля". Frontiers in Number Theory, Physics, and Geometry II . Springer. стр.  387–533 . arXiv : hep-th/0512172 . Bibcode :2005hep.th...12172F. doi :10.1007/978-3-540-30308-4_11. ISBN 978-3-540-30307-7. S2CID  119611071.
  • Капустин, Антон; Виттен, Эдвард (2007). «Электромагнитная дуальность и геометрическая программа Ленглендса». Сообщения по теории чисел и физике . 1 (1): 1– 236. arXiv : hep-th/0604151 . Bibcode :2007CNTP....1....1K. doi :10.4310/cntp.2007.v1.n1.a1. S2CID  30505126.
  • Цитаты, связанные с геометрической перепиской Ленглендса в Wikiquote
  • Квантовая геометрическая переписка Ленглендса в nLab
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometric_Langlands_correspondence&oldid=1268327230"