Интеграл Борвейна

В математике интеграл Борвейна — это интеграл , необычные свойства которого были впервые представлены математиками Дэвидом Борвейном и Джонатаном Борвейном в 2001 году. ^[1] Интегралы Борвейна включают произведения , где функция sinc задается как для не равного 0, и . ^{[1] [2]}${\displaystyle \operatorname {sinc} (ax)}$${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)=\sin(x)/x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \operatorname {sinc} (0)=1}$

Эти интегралы примечательны тем, что демонстрируют очевидные закономерности, которые в конечном итоге разрушаются. Ниже приведен пример.

${\displaystyle {\begin{align}&\int _{0}^{\infty}{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi}{2}}\\[10pt]&\int _{0}^{\infty}{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\,dx={\frac {\pi}{2}}\\[10pt]&\int _{0}^{\infty}{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}{\frac {\sin(x/5)}{x/5}}\,dx={\frac {\pi}{2}}\end{align}}}$

Эта картина продолжается до

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/13)}{x/13}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.}$

На следующем этапе шаблон дает сбой,

${\displaystyle {\begin{align}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/15)}{x/15}}\,dx&={\frac {467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}}~\pi \\[5pt]&={\frac {\pi }{2}}-{\frac {6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}}~\pi \\[5pt]&\approx {\frac {\pi }{2}}-2,31\times 10^{-11}.\end{align}}}$

В общем случае подобные интегралы имеют значение ⁠π/2⁠ всякий раз, когда числа 3, 5, 7… заменяются положительными действительными числами, сумма обратных им величин которых меньше 1.

В приведенном выше примере ⁠1/3⁠ + ⁠1/5⁠ + … + ⁠1/13⁠ < 1, но ⁠1/3⁠ + ⁠1/5⁠ + … + ⁠1/15⁠ > 1.

При включении дополнительного фактора эта закономерность сохраняется в течение более длительного периода ^[3]${\displaystyle 2\cos(x)}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}\,dx={\frac {\pi }{2}},}$

но

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}{\frac {\sin(x/113)}{x/113}}\,dx\approx {\frac {\pi }{2}}-2.3324\times 10^{-138}.}$

В этом случае, ⁠1/3⁠ + ⁠1/5⁠ + … + ⁠1/111⁠ < 2, но ⁠1/3⁠ + ⁠1/5⁠ + … + ⁠1/113⁠ > 2 . Точный ответ можно вычислить с помощью общей формулы, приведенной в следующем разделе, а ее представление показано ниже. Полностью развернутое, это значение превращается в дробь, которая включает два 2736-значных целых числа.

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\left(1-{\frac {3\cdot 5\cdots 113\cdot (1/3+1/5+\dots +1/113-2)^{56}}{2^{55}\cdot 56!}}\right)}$

Причина распада исходного и расширенного рядов была продемонстрирована с помощью интуитивного математического объяснения. ^{[4] [5]} В частности, переформулировка случайного блуждания с аргументом причинности проливает свет на разрушение шаблона и открывает путь для ряда обобщений. ^[6]

Дана последовательность ненулевых действительных чисел, общая формула для интеграла${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\ldots }$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(a_{k}x)}{a_{k}x}}\,dx}$

может быть дано. ^[1] Чтобы сформулировать формулу, нужно будет рассмотреть суммы, включающие . В частности, если - это -кортеж, где каждый элемент - это , то мы пишем , что является своего рода переменной суммой первых нескольких , и мы устанавливаем , что является либо . С этими обозначениями значение для вышеуказанного интеграла равно${\displaystyle a_{k}}$${\displaystyle \gamma =(\gamma _{1},\gamma _{2},\ldots ,\gamma _{n})\in \{\pm 1\}^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \pm 1}$${\displaystyle b_{\gamma }=a_{0}+\gamma _{1}a_{1}+\gamma _{2}a_{2}+\cdots +\gamma _{n}a_{n}}$${\displaystyle a_{k}}$${\displaystyle \varepsilon _{\gamma }=\gamma _{1}\gamma _{2}\cdots \gamma _{n}}$${\displaystyle \pm 1}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(a_{k}x)}{a_{k}x}}\,dx={\frac {\pi }{2a_{0}}}C_{n}}$

где

${\displaystyle C_{n}={\frac {1}{2^{n}n!\prod _{k=1}^{n}a_{k}}}\sum _{\gamma \in \{\pm 1\}^{n}}\varepsilon _{\gamma }b_{\gamma }^{n}\operatorname {sgn}(b_{\gamma })}$

В случае, когда , имеем .${\displaystyle a_{0}>|a_{1}|+|a_{2}|+\cdots +|a_{n}|}$${\displaystyle C_{n}=1}$

Более того, если существует такое , что для каждого мы имеем и , что означает, что это первое значение, когда частичная сумма первых элементов последовательности превышает , то для каждого, но${\displaystyle n}$${\displaystyle k=0,\ldots ,n-1}$${\displaystyle 0<a_{n}<2a_{k}}$${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1}<a_{0}<a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle C_{k}=1}$${\displaystyle k=0,\ldots ,n-1}$

${\displaystyle C_{n}=1-{\frac {(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}-a_{0})^{n}}{2^{n-1}n!\prod _{k=1}^{n}a_{k}}}}$

Первый пример — случай, когда .${\displaystyle a_{k}={\frac {1}{2k+1}}}$

Обратите внимание, что если то и но , поэтому поскольку , то мы получаем, что${\displaystyle n=7}$${\displaystyle a_{7}={\frac {1}{15}}}$${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\approx 0.955}$${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{15}}\approx 1.02}$${\displaystyle a_{0}=1}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/13)}{x/13}}\,dx={\frac {\pi }{2}}}$

что остается верным, если мы удалим любой из продуктов, но это

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/15)}{x/15}}\,dx\\[5pt]={}&{\frac {\pi }{2}}\left(1-{\frac {(3^{-1}+5^{-1}+7^{-1}+9^{-1}+11^{-1}+13^{-1}+15^{-1}-1)^{7}}{2^{6}\cdot 7!\cdot (1/3\cdot 1/5\cdot 1/7\cdot 1/9\cdot 1/11\cdot 1/13\cdot 1/15)}}\right),\end{aligned}}}$

что равно значению, указанному ранее.

/* Это пример программы для демонстрации работы системы компьютерной алгебры «максима». */f(n) := если n=1, то sin(x)/x, иначе f(n-2) * (sin(x/n)/(x/n));для n от 1 до 15 шаг 2 сделать ( print("f(", n, ")=", f(n) ), print("интеграл f для n=", n, " равен ", integrated(f(n), x, 0, inf)) );

/* Это также пример программы другой задачи. */f(n) := если n=1, то sin(x)/x иначе f(n-2) * (sin(x/n)/(x/n)); g(n) := 2*cos(x) * f(n);для n от 1 до 19 шаг 2 сделать ( print("g(", n, ")=", g(n) ), print("интеграл g для n=", n, " равен ", integrated(g(n), x, 0, inf)) );

Здесь обсуждается точный метод интегрирования, который эффективен для оценки интегралов типа Борвейна. ^[7] Этот метод интегрирования работает путем переформулирования интегрирования в терминах серии дифференцирований и дает интуитивное понимание необычного поведения интегралов Борвейна. Метод интегрирования дифференцированием применим к общим интегралам, включая преобразования Фурье и Лапласа. Он используется в интеграционном движке Maple с 2019 года. Метод интегрирования дифференцированием независим от метода Фейнмана, который также использует дифференцирование для интегрирования.

В то время как интеграл

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(x/(2k+1))}{x/(2k+1)}}\,dx\end{aligned}}}$

становится меньше, чем когда превышает 6, оно никогда не становится намного меньше, и на самом деле Борвейн и Бейли ^[8] показали,${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin(x/(2k+1))}{x/(2k+1)}}\,dx&=\int _{0}^{\infty }\lim _{n\to \infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(x/(2k+1))}{x/(2k+1)}}\,dx\\[5pt]&=\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(x/(2k+1))}{x/(2k+1)}}\,dx\\[5pt]&\approx {\frac {\pi }{2}}-0.0000352\end{aligned}}}$

где мы можем вывести предел из интеграла благодаря теореме о доминируемой сходимости . Аналогично, пока

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }2\cos x\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(x/(2k+1))}{x/(2k+1)}}\,dx}$

становится меньше, когда превышает 55, имеем${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }2\cos x\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(x/(2k+1))}{x/(2k+1)}}\,dx\approx {\frac {\pi }{2}}-2.9629\cdot 10^{-42}}$

Кроме того, используя факторизацию Вейерштрасса

${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)\qquad \cos x=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1-{\frac {4x^{2}}{\pi ^{2}(2n+1)^{2}}}\right)}$

можно показать

${\displaystyle \prod _{n=0}^{\infty }{\frac {\sin(2x/(2n+1))}{2x/(2n+1)}}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{n}}\right)}$

и с заменой переменных получаем ^[9]

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{n}}\right)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {\sin(x/(2n+1))}{x/(2n+1)}}\,dx\approx {\frac {\pi }{4}}-0.0000176}$

и ^{[8] [10]}

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\cos(2x)\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{n}}\right)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\cos(x)\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {\sin(x/(2n+1))}{x/(2n+1)}}\,dx\approx {\frac {\pi }{8}}-7.4073\cdot 10^{-43}}$

Шмуланд ^[11] дал привлекательные вероятностные формулировки бесконечных произведений интегралов Борвейна. Например, рассмотрим случайный гармонический ряд

${\displaystyle \pm 1\pm {\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{3}}\pm {\frac {1}{4}}\pm {\frac {1}{5}}\pm \cdots }$

где подбрасывают независимые честные монеты, чтобы выбрать знаки. Этот ряд сходится почти наверняка , то есть с вероятностью 1. Функция плотности вероятности результата является хорошо определенной функцией, и значение этой функции при 2 близко к 1/8. Однако оно ближе к

${\displaystyle 0.124999999999999999999999999999999999999999764\ldots }$

Объяснение Шмуланда состоит в том, что эта величина умножается на${\displaystyle 1/\pi }$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\cos(2x)\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{n}}\right)\,dx\approx {\frac {\pi }{8}}-7.4073\cdot 10^{-43}}$

• Weisstein, Eric W. "Infinite Cosine Product Integral". MathWorld . Получено 10 января 2023 г. .