Константы Фейгенбаума
Математические константы, связанные с хаотическим поведением

Константы Фейгенбаума
Константа Фейгенбаума δ выражает предел отношения расстояний между последовательными бифуркационными диаграммами на L i  / L i  + 1 .
РациональностьНеизвестный
Символδ и α
Представления
Десятичная дробь4,6692... и 2,5029...

В математике , в частности в теории бифуркаций , константы Фейгенбаума / ˈ f aɪ ɡ ə n ˌ b aʊ m / [1] δ и α — это две математические константы , которые выражают отношения в бифуркационной диаграмме для нелинейного отображения. Они названы в честь физика Митчелла Дж. Фейгенбаума .

История

Первоначально Фейгенбаум связал первую константу с бифуркациями удвоения периода в логистическом отображении , но также показал, что она справедлива для всех одномерных отображений с одним квадратичным максимумом . Вследствие этой общности каждая хаотическая система , соответствующая этому описанию, будет бифурцироваться с одинаковой скоростью. Фейгенбаум сделал это открытие в 1975 году, [2] [3] и официально опубликовал его в 1978 году. [4]

Первая константа

Первая константа Фейгенбаума или просто константа Фейгенбаума [5] δ представляет собой предельное отношение каждого интервала бифуркации к следующему между каждым удвоением периода однопараметрического отображения .

х я + 1 = ф ( х я ) , {\displaystyle x_{i+1}=f(x_{i}),}

где f  ( x ) — функция, параметризованная параметром бифуркации a .

Это задается пределом : [ 6]

δ = лим н → ∞ а н − 1 − а н − 2 а н − а н − 1 {\displaystyle \delta =\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n-1}-a_{n-2}}{a_{n}-a_{n-1}}}}

где a n — дискретные значения a при удвоении n- го периода.

Это дает его численное значение: (последовательность A006890 в OEIS )

δ = 4.669 201 609 102 990 671 853 203 820 466... , {\displaystyle \delta =4,669\,201\,609\,102\,990\,671\,853\,203\,820\,466...,}

  • Простое рациональное приближение: ⁠621/133⁠ , что верно до 5 значимых значений (при округлении). Для большей точности используйте ⁠1228/263⁠ , что верно до 7 значимых значений.
  • Примерно равно ⁠10/π − 1⁠ , с погрешностью 0,0047%

Иллюстрация

Нелинейные карты

Чтобы увидеть, как возникает это число, рассмотрим реальную однопараметрическую карту

ф ( х ) = а − х 2 . {\displaystyle f(x)=ax^{2}.}

Здесь a — параметр бифуркации, x — переменная. Значения a , для которых период удваивается (например, наибольшее значение для a без орбиты с периодом 2 или наибольшее значение a без орбиты с периодом 4 ), — это a 1 , a 2 и т. д. Они приведены в таблице ниже: [7]

нПериодПараметр бифуркации ( a n )Соотношение ⁠а н −1 − а н −2/а н − а н −1⁠
120,75—
241.25—
381.368 09894.2337
4161.394 04624.5515
5321.399 63124.6458
6641.400 82864.6639
71281.401 08534.6682
82561.401 14024.6689

Отношение в последнем столбце сходится к первой константе Фейгенбаума. Такое же число возникает для логистического отображения

ф ( х ) = а х ( 1 − х ) {\displaystyle f(x)=ax(1-x)}

с действительным параметром a и переменной x . Табулируем значения бифуркации еще раз: [8]

нПериодПараметр бифуркации ( a n )Соотношение ⁠а н −1 − а н −2/а н − а н −1⁠
123—
243.449 4897—
383.544 09034.7514
4163.564 40734.6562
5323.568 75944.6683
6643.569 69164.6686
71283.569 89134.6680
82563.569 93404.6768

Фракталы

Самоподобие в множестве Мандельброта , показанное путем увеличения круглого объекта при панорамировании в отрицательном направлении x . Центр дисплея панорамируется от (−1, 0) до (−1,31, 0), в то время как вид увеличивается от 0,5 × 0,5 до 0,12 × 0,12, чтобы приблизительно соответствовать отношению Фейгенбаума.

В случае множества Мандельброта для комплексного квадратичного полинома

ф ( з ) = з 2 + с {\displaystyle f(z)=z^{2}+c}

Константа Фейгенбаума — это предельное отношение между диаметрами последовательных окружностей на действительной оси в комплексной плоскости (см. анимацию справа).

нПериод = 2 nПараметр бифуркации ( c n )Соотношение = с н − 1 − с н − 2 с н − с н − 1 {\displaystyle ={\dfrac {c_{n-1}-c_{n-2}}{c_{n}-c_{n-1}}}}
12−0,75—
24−1,25—
38−1,368 09894.2337
416−1.394 04624.5515
532−1,399 63124.6459
664−1.400 82874.6639
7128−1,401 08534.6668
8256−1,401 14024.6740
9512−1.401 151 982 0294.6596
101024−1,401 154 502 2374.6750
............
∞−1,401 155 1890 ...

Параметр бифуркации — корневая точка компонента периода 2 n . Этот ряд сходится к точке Фейгенбаума c = −1,401155...... Отношение в последнем столбце сходится к первой константе Фейгенбаума.

Юля поставила точку Фейгенбаума

Другие карты также воспроизводят это соотношение; в этом смысле константа Фейгенбаума в теории бифуркаций аналогична π в геометрии и e в исчислении .

Вторая константа

Вторая константа Фейгенбаума или параметр редукции Фейгенбаума [5] α определяется по формуле: (последовательность A006891 в OEIS )

α = 2.502 907 875 095 892 822 283 902 873 218... , {\displaystyle \alpha =2,502\,907\,875\,095\,892\,822\,283\,902\,873\,218...,}

Это отношение между шириной зубца и шириной одного из двух его подзубцов (за исключением зубца, ближайшего к складке). Отрицательный знак применяется к α , когда измеряется отношение между нижним подзубцом и шириной зубца. [9]

Эти числа применимы к большому классу динамических систем (например, от капающих кранов до роста населения). [9]

Простая рациональная аппроксимация — ⁠13/11⁠ × ⁠17/11⁠ × ⁠37/27⁠ = ⁠8177/3267⁠ .

Характеристики

Оба числа считаются трансцендентными , хотя это не доказано . [10] На самом деле, нет никаких известных доказательств того, что какая-либо из констант является хотя бы иррациональной .

Первое доказательство универсальности констант Фейгенбаума было выполнено Оскаром Лэнфордом — с помощью компьютера — в 1982 году [11] (с небольшой поправкой Жана-Пьера Экмана и Питера Виттвера из Женевского университета в 1987 году [12] ). С течением лет были обнаружены нечисловые методы для различных частей доказательства, что помогло Михаилу Любичу создать первое полное нечисловое доказательство. [13]

Другие ценности

Окно периода 3 в логистической карте также имеет путь к хаосу с удвоением периода, достигая хаоса при , и имеет свои собственные две константы Фейгенбаума: . [14] [15] : Приложение F.2  г = 3.854077963591 … {\displaystyle r=3.854077963591\точки } δ = 55.26 , α = 9.277 {\displaystyle \delta =55,26,\alpha =9,277}

Смотрите также

Примечания

  1. ↑ Константа Фейгенбаума (4,669) – Numberphile, 16 января 2017 г. , получено 7 февраля 2023 г.
  2. ^ Фейгенбаум, М. Дж. (1976). «Универсальность в комплексной дискретной динамике» (PDF) . Теоретическое отделение Лос-Аламоса, годовой отчет 1975–1976 .
  3. ^ Alligood, KT; Sauer, TD; Yorke, JA (1996). Хаос: Введение в динамические системы . Springer. ISBN 0-387-94677-2.
  4. ^ Фейгенбаум, Митчелл Дж. (1978). «Количественная универсальность для класса нелинейных преобразований». Журнал статистической физики . 19 (1): 25– 52. Bibcode :1978JSP....19...25F. doi :10.1007/BF01020332. S2CID  124498882.
  5. ^ аб Вайсштейн, Эрик В. «Константа Фейгенбаума». mathworld.wolfram.com . Проверено 6 октября 2024 г.
  6. ^ Jordan, DW; Smith, P. (2007). Нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения: Введение для ученых и инженеров (4-е изд.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-920825-8.
  7. ↑ Аллигуд, стр. 503.
  8. ↑ Аллигуд, стр. 504.
  9. ^ ab Strogatz, Steven H. (1994). Нелинейная динамика и хаос . Исследования по нелинейности. Perseus Books. ISBN 978-0-7382-0453-6.
  10. ^ Бриггс, Кит (1997). Масштабирование Фейгенбаума в дискретных динамических системах (PDF) (диссертация). Мельбурнский университет .
  11. ^ Ланфорд III, Оскар (1982). «Компьютерное доказательство гипотез Фейгенбаума». Bull. Amer. Math. Soc . 6 (3): 427– 434. doi : 10.1090/S0273-0979-1982-15008-X .
  12. ^ Экман, Дж. П.; Виттвер, П. (1987). «Полное доказательство гипотез Фейгенбаума». Журнал статистической физики . 46 ( 3– 4): 455. Bibcode :1987JSP....46..455E. doi :10.1007/BF01013368. S2CID  121353606.
  13. ^ Любич, Михаил (1999). «Универсальность Фейгенбаума-Кулле-Трессера и гипотеза Милнора о волосатости». Annals of Mathematics . 149 (2): 319– 420. arXiv : math/9903201 . Bibcode :1999math......3201L. doi :10.2307/120968. JSTOR  120968. S2CID  119594350.
  14. ^ Delbourgo, R.; Hart, W.; Kenny, BG (1 января 1985 г.). «Зависимость универсальных констант от периода умножения в нелинейных отображениях». Physical Review A. 31 ( 1): 514– 516. Bibcode :1985PhRvA..31..514D. doi :10.1103/PhysRevA.31.514. ISSN  0556-2791. PMID  9895509.
  15. ^ Хилборн, Роберт С. (2000). Хаос и нелинейная динамика: введение для ученых и инженеров (2-е изд.). Оксфорд: Oxford University Press. стр. 578. ISBN 0-19-850723-2. OCLC  44737300.

Ссылки

  • Alligood, Kathleen T., Tim D. Sauer, James A. Yorke, Хаос: Введение в динамические системы, Учебники по математическим наукам Springer, 1996, ISBN 978-0-38794-677-1 
  • Бриггс, Кит (июль 1991 г.). "Точное вычисление констант Фейгенбаума" (PDF) . Математика вычислений . 57 (195): 435– 439. Bibcode :1991MaCom..57..435B. doi : 10.1090/S0025-5718-1991-1079009-6 .
  • Бриггс, Кит (1997). Масштабирование Фейгенбаума в дискретных динамических системах (PDF) (диссертация). Мельбурнский университет.
  • Бродхерст, Дэвид (22 марта 1999 г.). «Константы Фейгенбаума с точностью до 1018 знаков после запятой».
  • Константа Фейгенбаума - из Wolfram MathWorld
  • Последовательность OEIS A006890 (Десятичное разложение скорости бифуркации Фейгенбаума)
Последовательность OEIS A006891 (десятичное расширение параметра уменьшения Фейгенбаума)
Последовательность OEIS A195102 (Десятичное разложение параметра для биквадратного решения уравнения Фейгенбаума-Цвитановича)
  • Константа Фейгенбаума - PlanetMath
  • Тетрадь Юлии для расчета константы Фейгенбаума [1]
  • Мориарти, Филипп; Боули, Роджер (2009). «δ – Константа Фейгенбаума». Шестьдесят символов . Брэди Харан для Ноттингемского университета .
  • Терлби, Джуди (2021). Строгие вычисления неподвижных точек и аттракторов перенормировки (PhD). U. Portsmouth.
  1. ^ Хофштеттер, Харальд (25 октября 2015 г.). «Расчет констант Фейгенбаума». www.harald-hofstaetter.at . Получено 7 апреля 2024 г. .
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Константы_Фейгенбаума&oldid=1261154735"