Число Маркова
Решение x*x + y*y + z*z = 3xyz

Число  Маркова или число Маркова — это положительное целое число x , y или z , которое является частью решения диофантова уравнения Маркова.

х 2 + у 2 + з 2 = 3 х у з , {\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=3xyz,\,}

исследовал Андрей Марков  (1879, 1880).

Первые несколько чисел Маркова — это

1 , 2 , 5 , 13 , 29 , 34 , 89 , 169 , 194 , 233 , 433, 610, 985, 1325, ... (последовательность A002559 в OEIS )

появляющиеся как координаты марковских троек

(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1, 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (1, 233, 610), (2, 169, 985), (13, 34, 1325), ...

Существует бесконечно много чисел Маркова и троек Маркова.

марковское дерево

Первые уровни дерева чисел Маркова

Есть два простых способа получить новую марковскую тройку из старой ( x ,  y ,  z ). Во-первых, можно переставить 3 числа x , y , z , так что, в частности, можно нормализовать тройки так, что x  ≤  y  ≤  z . Во-вторых, если ( x ,  y ,  z ) является марковской тройкой, то ( x ,  y , 3 xy  −  z ) тоже является таковой. Применение этой операции дважды возвращает ту же самую тройку, с которой она началась. Присоединение каждой нормализованной марковской тройки к 1, 2 или 3 нормализованным тройкам, которые можно получить из этого, дает граф, начинающийся с (1,1,1), как на диаграмме. Этот граф связен ; другими словами, каждую марковскую тройку можно соединить с (1,1,1) последовательностью этих операций. [1] Если начать, например, с (1, 5, 13), то мы получим трех его соседей (5, 13, 194) , (1, 13, 34) и (1, 2, 5) в дереве Маркова, если z установлено равным 1, 5 и 13 соответственно. Например, начиная с (1, 1, 2) и меняя y и z перед каждой итерацией списков преобразований, получаем тройки Маркова с числами Фибоначчи . Начиная с той же тройки и меняя x и z перед каждой итерацией, получаем тройки с числами Пелля .

Все числа Маркова в областях, смежных с областью 2, являются нечетно -индексированными числами Пелля (или числами n, такими, что 2 n 2  − 1 является квадратом , OEIS : A001653 ), а все числа Маркова в областях, смежных с областью 1, являются нечетно-индексированными числами Фибоначчи ( OEIS : A001519 ). Таким образом, существует бесконечно много троек Маркова вида

( 1 , Ф 2 н − 1 , Ф 2 н + 1 ) , {\displaystyle (1,F_{2n-1},F_{2n+1}),\,}

где F k — k- е число Фибоначчи . Аналогично, существует бесконечно много троек Маркова вида

( 2 , П 2 н − 1 , П 2 н + 1 ) , {\displaystyle (2,P_{2n-1},P_{2n+1}),\,}

где P k — k- е число Пелля . [2]

Другие свойства

За исключением двух наименьших сингулярных троек (1, 1, 1) и (1, 1, 2), каждая марковская тройка состоит из трех различных целых чисел. [3]

Гипотеза единственности , как заметил Фробениус в 1913 году, [4] утверждает, что для заданного числа Маркова c существует ровно одно нормализованное решение, имеющее c в качестве своего наибольшего элемента: были заявлены доказательства этой гипотезы , но ни одно из них не кажется правильным. [5] Мартин Айгнер [6] рассматривает несколько более слабых вариантов гипотезы единственности. Его гипотеза о фиксированном числителе была доказана Рабидо и Шиффлером в 2020 году, [7] в то время как гипотеза о фиксированном знаменателе и гипотеза о фиксированной сумме были доказаны Ли, Ли, Рабидо и Шиффлером в 2023 году. [8]

Ни один из простых делителей числа Маркова не сравним с 3 по модулю 4, что означает, что нечетное число Маркова на 1 больше, чем кратно 4. [9] Более того, если — число Маркова, то ни один из простых делителей не сравним с 3 по модулю 4. Четное число Маркова на 2 больше, чем кратно 32. [10] м {\displaystyle м} 9 м 2 − 4 {\displaystyle 9м^{2}-4}

В своей статье 1982 года Дон Загир выдвинул гипотезу, что n -е число Маркова асимптотически определяется выражением

м н = 1 3 е С н + о ( 1 ) с  С = 2.3523414972 … . {\displaystyle m_{n}={\tfrac {1}{3}}e^{C{\sqrt {n}}+o(1)}\quad {\text{with }}C=2.3523414972\ldots \,.}

Ошибка представлена ​​ниже. ( log ⁡ ( 3 m n ) / C ) 2 − n {\displaystyle (\log(3m_{n})/C)^{2}-n}

Ошибка в аппроксимации больших чисел Маркова

Более того, он указал, что , приближение исходного диофантова уравнения, эквивалентно с f ( t ) = arcosh (3 t /2). [11] Гипотеза была доказана [ оспаривается – обсуждается ] Грегом МакШейном и Игорем Ривиным в 1995 году с использованием методов гиперболической геометрии . [12] x 2 + y 2 + z 2 = 3 x y z + 4 / 9 {\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=3xyz+4/9} f ( x ) + f ( y ) = f ( z ) {\displaystyle f(x)+f(y)=f(z)}

Число Лагранжа n можно вычислить из числа Маркова n по формуле

L n = 9 − 4 m n 2 . {\displaystyle L_{n}={\sqrt {9-{4 \over {m_{n}}^{2}}}}.\,}

Числа Маркова представляют собой суммы (неуникальных) пар квадратов.

Теорема Маркова

Марков (1879, 1880) показал, что если

f ( x , y ) = a x 2 + b x y + c y 2 {\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}}

является неопределенной бинарно-квадратичной формой с действительными коэффициентами и дискриминантом , то существуют целые числа x ,  y , для которых f принимает ненулевое значение по модулю не более D = b 2 − 4 a c {\displaystyle D=b^{2}-4ac}

D 3 {\displaystyle {\frac {\sqrt {D}}{3}}}

если f не является марковской формой : [13] константа, умноженная на форму

p x 2 + ( 3 p − 2 a ) x y + ( b − 3 a ) y 2 {\displaystyle px^{2}+(3p-2a)xy+(b-3a)y^{2}}

такой что

{ 0 < a < p / 2 , a q ≡ ± r ( mod p ) , b p − a 2 = 1 , {\displaystyle {\begin{cases}0<a<p/2,\\aq\equiv \pm r{\pmod {p}},\\bp-a^{2}=1,\end{cases}}}

где ( p ,  q ,  r ) — марковская тройка.

Матрицы

Пусть tr обозначает функцию следа по матрицам . Если X и Y находятся в SL 2 ( ), то C {\displaystyle \mathbb {C} }

tr ⁡ ( X ) tr ⁡ ( Y ) tr ⁡ ( X Y ) + tr ⁡ ( X Y X − 1 Y − 1 ) + 2 = tr ⁡ ( X ) 2 + tr ⁡ ( Y ) 2 + tr ⁡ ( X Y ) 2 {\displaystyle \operatorname {tr} (X)\operatorname {tr} (Y)\operatorname {tr} (XY)+\operatorname {tr} (XYX^{-1}Y^{-1})+2=\operatorname {tr} (X)^{2}+\operatorname {tr} (Y)^{2}+\operatorname {tr} (XY)^{2}}

так что если тогда tr ⁡ ( X Y X − 1 Y − 1 ) = − 2 {\textstyle \operatorname {tr} (XYX^{-1}Y^{-1})=-2}

tr ⁡ ( X ) tr ⁡ ( Y ) tr ⁡ ( X Y ) = tr ⁡ ( X ) 2 + tr ⁡ ( Y ) 2 + tr ⁡ ( X Y ) 2 {\displaystyle \operatorname {tr} (X)\operatorname {tr} (Y)\operatorname {tr} (XY)=\operatorname {tr} (X)^{2}+\operatorname {tr} (Y)^{2}+\operatorname {tr} (XY)^{2}}

В частности, если X и Y также имеют целые элементы, то tr( X )/3, tr( Y )/3 и tr( XY )/3 являются марковской тройкой. Если X ⋅ Y ⋅ Z  =  I , то tr( XtY ) = tr( Z ), поэтому более симметрично, если X , Y , и Z находятся в SL 2 ( ) с X ⋅ Y ⋅ Z  = I и коммутатор двух из них имеет след −2, то их следы/3 являются марковской тройкой. [14] Z {\displaystyle \mathbb {Z} }

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Касселс (1957) стр.28
  2. ^ OEIS : A030452 перечисляет числа Маркова, которые появляются в решениях, где один из двух других членов равен 5.
  3. ^ Касселс (1957) стр.27
  4. ^ Фробениус, Г. (1913). «Über die Markoffschen Zahlen». С.Б. Прейсс Акад. Висс. : 458–487 .
  5. ^ Гай (2004) стр.263
  6. ^ Айгнер (2013)
  7. ^ Рабидо, Мишель; Шиффлер, Ральф (2020). «Цепные дроби и упорядочения чисел Маркова». Успехи в математике . 370 : 107231. arXiv : 1801.07155 . doi : 10.1016/j.aim.2020.107231.
  8. ^ Ли, Кёнён; Ли, Ли; Рабидо, Мишель; Шиффлер, Ральф (2023). «О порядке чисел Маркова». Успехи в прикладной математике . 143 : 102453. doi : 10.1016/j.aam.2022.102453 .
  9. ^ Айгнер (2013) стр. 55
  10. ^ Чжан, Ин (2007). «Конгруэнтность и уникальность некоторых марковских чисел». Acta Arithmetica . 128 (3): 295– 301. arXiv : math/0612620 . Bibcode : 2007AcAri.128..295Z. doi : 10.4064/aa128-3-7. MR  2313995. S2CID  9615526.
  11. ^ Загир, Дон Б. (1982). «О числе чисел Маркова ниже заданной границы». Математика вычислений . 160 (160): 709– 723. doi : 10.2307/2007348 . JSTOR  2007348. MR  0669663.
  12. ^ Грег МакШейн; Игорь Ривин (1995). «Простые кривые на гиперболических торах». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I. 320 (12).
  13. ^ Касселс (1957) стр.39
  14. ^ Aigner (2013) Глава 4, «Дерево Кона», стр. 63–77

Ссылки

Марков, А. (1879). «Первые воспоминания». Математические Аннален . 15 ( 3–4 ): 381–406 . doi : 10.1007/BF02086269. S2CID  179177894.
Марков, А. (1880). «Вторые мемуары». Математические Аннален . 17 (3): 379–399 . doi : 10.1007/BF01446234. S2CID  121616054.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Markov_number&oldid=1251172588"