Магический шестиугольник


Порядок n = 1 M = 1	Заказ n = 3 M = 38

Магический шестиугольник порядка n — это расположение чисел в центрированном шестиугольном шаблоне с n ячейками на каждом ребре таким образом, что числа в каждой строке во всех трех направлениях в сумме дают одну и ту же магическую константу M. Обычный магический шестиугольник содержит последовательные целые числа от 1 до 3 n ² − 3 n + 1. Обычные магические шестиугольники существуют только для n = 1 (что тривиально, так как он состоит только из 1 ячейки) и n = 3. Более того, решение порядка 3 по сути уникально. ^[1] Мэн приводит менее сложное конструктивное доказательство . ^[2]

Магический шестиугольник порядка 3 публиковался много раз как «новое» открытие. Ранним источником, а возможно и первым первооткрывателем, является Эрнст фон Хазельберг (1887).

Доказательство существования обычных магических шестиугольников

Числа в шестиугольнике последовательны и находятся в диапазоне от 1 до . Следовательно, их сумма является треугольным числом , а именно $3n^{2}-3n+1$

s={1 \over {2}}(3n^{2}-3n+1)(3n^{2}-3n+2) = {9n^{4}-18n^{3}+18n^{2}-9n+2 \over {2}}

В любом заданном направлении (EW, NE-SW или NW-SE) имеется r = 2 n − 1 строк. Каждая из этих строк в сумме дает одно и то же число M . Следовательно:

M={s \over {r}}={9n^{4}-18n^{3}+18n^{2}-9n+2 \over {2(2n-1)}}

Это можно переписать как

M=\left({\frac {9n^{3}}{4}}-{\frac {27n^{2}}{8}}+{\frac {45n}{16}}-{\frac {27}{32}}\right)+{\frac {5}{32\left(2n-1\right)}}

Умножение на 32 дает

32M=72n^{3}-108n^{2}+90n-27+{5 \over 2n-1}

что показывает, что должно быть целым числом, следовательно, 2 n − 1 должно быть множителем 5, а именно 2 n − 1 = ±1 или 2 n − 1 = ±5. Единственными , которые удовлетворяют этому условию, являются и , что доказывает, что не существует нормальных магических шестиугольников, за исключением шестиугольников порядка 1 и 3. ${\frac {5}{2n-1}}$ $n\geq 1$ $n=1$ $n=3$

Аномальные магические шестиугольники

Хотя не существует обычных магических шестиугольников с порядком больше 3, существуют некоторые аномальные. В этом случае аномальные означает начало последовательности чисел, отличной от 1. Арсен Захрай открыл эти шестиугольники порядка 4 и 5:


Заказ 4 М = 111	Заказ 5 М = 244

Шестиугольник 4-го порядка начинается с 3 и заканчивается 39, его строки дают в сумме 111. Шестиугольник 5-го порядка начинается с 6 и заканчивается 66, а его сумма составляет 244.

Шестиугольник 5-го порядка, начинающийся с 15, заканчивающийся 75 и дающий в сумме 305, выглядит следующим образом:

Сумма, превышающая 305 для шестиугольников 5-го порядка, невозможна.

Шестиугольники порядка 5, где "X" — это заполнители для шестиугольников порядка 3, которые завершают числовую последовательность. Левый содержит шестиугольник с суммой 38 (числа от 1 до 19), а правый — один из 26 шестиугольников с суммой 0 (числа от −9 до 9). Для получения дополнительной информации посетите статью в немецкой Википедии.

Ниже представлен шестиугольник порядка 6. Он был создан Луисом Хёльблингом 11 октября 2004 г.:

Он начинается с 21, заканчивается на 111, а его сумма составляет 546.

Этот магический шестиугольник седьмого порядка был обнаружен с помощью имитации отжига Арсеном Захреем 22 марта 2006 года:

Он начинается с 2, заканчивается на 128, а его сумма составляет 635.

Магический шестиугольник восьмого порядка был создан Луисом К. Хёльблингом 5 февраля 2006 года:

Он начинается с −84 и заканчивается 84, а его сумма равна 0.

Магический шестиугольник 9-го порядка был найден Клаусом Меффертом 10 сентября 2024 года с помощью ИИ:

Он начинается с -108 и заканчивается на 108, а его сумма равна 0. Решение было найдено с помощью программы на Python, созданной автором, с использованием ИИ для критических частей кода.

Волшебные Т-шестиугольники

Шестиугольники также можно построить из треугольников, как показано на следующих схемах.


Заказать 2	Заказ 2 с числами 1–24

Такую конфигурацию можно назвать Т-шестиугольником, и она обладает гораздо большим количеством свойств, чем шестиугольник шестиугольников.

Как и в предыдущем случае, ряды треугольников идут в трех направлениях, и в Т-образном шестиугольнике порядка 2 имеется 24 треугольника. В общем случае Т-образный шестиугольник порядка n имеет треугольники. Сумма всех этих чисел определяется как: $6n^{2}$

S=3n^{2}(6n^{2}+1)

Если мы попытаемся построить магический T-шестиугольник со стороной n , нам придется выбрать n четным , поскольку имеется $r$ $=$ $2n$ строк, поэтому сумма в каждой строке должна быть

M={\frac {S}{R}}={\frac {3n^{2}(6n^{2}+1)}{2n}}

Чтобы это было целым числом, n должно быть четным. На сегодняшний день были обнаружены магические T-шестиугольники порядка 2, 4, 6 и 8. Первым был магический T-шестиугольник порядка 2, открытый Джоном Бейкером 13 сентября 2003 года. С тех пор Джон сотрудничает с Дэвидом Кингом, который обнаружил, что существует 59 674 527 неконгруэнтных магических T-шестиугольников порядка 2.

Магические Т-шестиугольники имеют ряд общих свойств с магическими квадратами, но у них также есть свои особые черты. Самое удивительное из них то, что сумма чисел в треугольниках, которые направлены вверх, такая же, как сумма чисел в треугольниках, которые направлены вниз (независимо от размера Т-шестиугольника). В приведенном выше примере,

17 + 20 + 22 + 21 + 2 + 6 + 10 + 14 + 3 + 16 + 12 + 7

= 5 + 11 + 19 + 9 + 8 + 13 + 4 + 1 + 24 + 15 + 23 + 18

= 150

Примечания

↑ Trigg, CW «Уникальный магический шестиугольник», Recreational Mathematics Magazine , январь–февраль 1964 г. Получено 16 декабря 2009 г.
↑ Мэн, Ф. «Исследование магического шестиугольника порядка 3», Shing-Tung Yau Awards , октябрь 2008 г. Получено 16 декабря 2009 г.

Ссылки

Бейкер, Дж. Э. и Кинг, Д. Р. (2004) «Использование визуальной схемы для поиска свойств шестиугольника» Визуальная математика, том 5, номер 3
Бейкер, Дж. Э. и Бейкер, А. Дж. (2004) «Шестиугольник, выбор природы» Архимед, том 4

Смотрите также

[1] Trigg, CW «Уникальный магический шестиугольник», Recreational Mathematics Magazine , январь–февраль 1964 г. Получено 16 декабря 2009 г.

[2] Мэн, Ф. «Исследование магического шестиугольника порядка 3», Shing-Tung Yau Awards , октябрь 2008 г. Получено 16 декабря 2009 г.