Число Лукаса

Эта статья включает список общих ссылок , но в ней отсутствуют соответствующие встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, введя более точные цитаты. ( Декабрь 2019 ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

Последовательность Люка — это целочисленная последовательность, названная в честь математика Франсуа Эдуарда Анатоля Люка (1842–1891), который изучал как эту последовательность , так и тесно связанную с ней последовательность Фибоначчи . Отдельные числа в последовательности Люка известны как числа Люка . Числа Люка и числа Фибоначчи образуют дополнительные примеры последовательностей Люка .

Последовательность Лукаса имеет ту же рекурсивную связь , что и последовательность Фибоначчи, где каждый член является суммой двух предыдущих членов, но с разными начальными значениями. ^[1] Это создает последовательность, в которой отношения последовательных членов приближаются к золотому сечению , и на самом деле сами члены являются округлениями целых степеней золотого сечения. ^[2] Последовательность также имеет множество связей с числами Фибоначчи, например, тот факт, что сложение любых двух чисел Фибоначчи через два члена в последовательности Фибоначчи приводит к числу Лукаса между ними. ^[3]

Первые несколько чисел Лукаса:

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, 5778, 9349, ... . (последовательность A000032 в OEIS )

что совпадает, например, с числом независимых множеств вершин для циклических графов длины . ^[1]${\displaystyle C_{n}}$${\displaystyle n\geq 2}$

Как и в случае с числами Фибоначчи, каждое число Люка определяется как сумма двух его непосредственно предыдущих членов, тем самым образуя последовательность целых чисел Фибоначчи . Первые два числа Люка — это и , что отличается от первых двух чисел Фибоначчи и . Хотя числа Люка и Фибоначчи тесно связаны по определению, они демонстрируют различные свойства.${\displaystyle L_{0}=2}$${\displaystyle L_{1}=1}$${\displaystyle F_{0}=0}$${\displaystyle F_{1}=1}$

Таким образом, числа Лукаса можно определить следующим образом:

${\displaystyle L_{n}:={\begin{cases}2&{\text{if }}n=0;\\1&{\text{if }}n=1;\\L_{n-1}+L_{n-2}&{\text{if }}n>1.\end{cases}}}$

(где n принадлежит к натуральным числам )

Все целочисленные последовательности, подобные числам Фибоначчи, появляются в сдвинутой форме как строка массива Вайтхоффа ; сама последовательность Фибоначчи является первой строкой, а последовательность Лукаса — второй строкой. Также, как и все целочисленные последовательности, подобные числам Фибоначчи, отношение между двумя последовательными числами Лукаса сходится к золотому сечению .

Используя , можно расширить числа Люка до отрицательных целых чисел, чтобы получить дважды бесконечную последовательность: ${\displaystyle L_{n-2}=L_{n}-L_{n-1}}$

..., −11, 7, −4, 3, −1, 2, 1, 3, 4, 7, 11, ... ( показаны термины для ).${\displaystyle L_{n}}$${\displaystyle -5\leq {}n\leq 5}$

Формула для членов с отрицательными индексами в этой последовательности:

${\displaystyle L_{-n}=(-1)^{n}L_{n}.\!}$

Числа Лукаса связаны с числами Фибоначчи многими тождествами . Среди них следующие:

• ${\displaystyle L_{n}=F_{n-1}+F_{n+1}=2F_{n+1}-F_{n}}$
• ${\displaystyle L_{m+n}=L_{m+1}F_{n}+L_{m}F_{n-1}}$
• ${\displaystyle F_{2n}=L_{n}F_{n}}$
• ${\displaystyle F_{n+k}+(-1)^{k}F_{nk}=L_{k}F_{n}}$
• ${\displaystyle 2F_{2n+k}=L_{n}F_{n+k}+L_{n+k}F_{n}}$
• ${\displaystyle L_{2n}=5F_{n}^{2}+2(-1)^{n}=L_{n}^{2}-2(-1)^{n}}$, так .${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {L_{n}}{F_{n}}}={\sqrt {5}}}$
• ${\displaystyle \vert L_{n}-{\sqrt {5}}F_{n}\vert = {\frac {2}{\varphi ^{n}}}\to 0}$
• ${\displaystyle L_{n+k}-(-1)^{k}L_{nk}=5F_{n}F_{k}}$; в частности, , поэтому .${\displaystyle F_{n}={L_{n-1}+L_{n+1} \over 5}}$${\displaystyle 5F_{n}+L_{n}=2L_{n+1}}$

Их замкнутая формула имеет вид:

${\displaystyle L_{n}=\varphi ^{n}+(1-\varphi )^{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}=\left({1+{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}+\left({1-{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}\,,}$

где — золотое сечение . В качестве альтернативы, поскольку для величины члена меньше 1/2, — это ближайшее целое число к или, что то же самое, целая часть , также записываемая как .${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle n>1}$${\displaystyle (-\varphi )^{-n}}$${\displaystyle L_{n}}$${\displaystyle \varphi ^{n}}$${\displaystyle \varphi ^{n}+1/2}$${\displaystyle \lfloor \varphi ^{n}+1/2\rfloor }$

Объединяя вышесказанное с формулой Бине ,

${\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}\,,}$

получается формула для :${\displaystyle \varphi ^{n}}$

${\displaystyle \varphi ^{n}={{L_{n}+F_{n}{\sqrt {5}}} \over 2}\,.}$

Для целых чисел n ≥ 2 также получаем:

${\displaystyle \varphi ^{n}=L_{n}-(-\varphi )^{-n}=L_{n}-(-1)^{n}L_{n}^{-1}-L_{n}^{-3}+R}$

с остатком R, удовлетворяющим

${\displaystyle \vert R\vert <3L_{n}^{-5}}$.

Многие из тождеств Фибоначчи имеют параллели в числах Люка. Например, тождество Кассини становится

${\displaystyle L_{n}^{2}-L_{n-1}L_{n+1}=(-1)^{n}5}$

Также

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}L_{k}=L_{n+2}-1}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}L_{k}^{2}=L_{n}L_{n+1}+2}$

${\displaystyle 2L_{n-1}^{2}+L_{n}^{2}=L_{2n+1}+5F_{n-2}^{2}}$

где .${\displaystyle \textstyle F_{n}={\frac {L_{n-1}+L_{n+1}}{5}}}$

${\displaystyle L_{n}^{k}=\sum _{j=0}^{\lfloor {\frac {k}{2}}\rfloor }(-1)^{nj}{\binom {k}{j}}L'_{(k-2j)n}}$

где за исключением .${\displaystyle L'_{n}=L_{n}}$${\displaystyle L'_{0}=1}$

Например, если n нечетное , и${\displaystyle L_{n}^{3}=L'_{3n}-3L'_{n}}$${\displaystyle L_{n}^{4}=L'_{4n}-4L'_{2n}+6L'_{0}}$

Проверка, и${\displaystyle L_{3}=4,4^{3}=64=76-3(4)}$${\displaystyle 256=322-4(18)+6}$

Позволять

${\displaystyle \Phi (x)=2+x+3x^{2}+4x^{3}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }L_{n}x^{n}}$

быть производящей функцией чисел Люка. Прямым вычислением,

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (x)&=L_{0}+L_{1}x+\sum _{n=2}^{\infty }L_{n}x^{n}\\&=2+x+\sum _{n=2}^{\infty }(L_{n-1}+L_{n-2})x^{n}\\&=2+x+\sum _{n=1}^{\infty }L_{n}x^{n+1}+\sum _{n=0}^{\infty }L_{n}x^{n+2}\\&=2+x+x(\Phi (x)-2)+x^{2}\Phi (x)\end{aligned}}}$

который можно переставить как

${\displaystyle \Phi (x)={\frac {2-x}{1-x-x^{2}}}}$

${\displaystyle \Phi \!\left(-{\frac {1}{x}}\right)}$дает производящую функцию для отрицательных индексированных чисел Люка, и${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}L_{n}x^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }L_{-n}x^{-n}}$

${\displaystyle \Phi \!\left(-{\frac {1}{x}}\right)={\frac {x+2x^{2}}{1-x-x^{2}}}}$

${\displaystyle \Phi (x)}$удовлетворяет функциональному уравнению

${\displaystyle \Phi (x)-\Phi \!\left(-{\frac {1}{x}}\right)=2}$

Поскольку производящая функция для чисел Фибоначчи задается выражением

${\displaystyle s(x)={\frac {x}{1-x-x^{2}}}}$

у нас есть

${\displaystyle s(x)+\Phi (x)={\frac {2}{1-x-x^{2}}}}$

что доказывает , что

${\displaystyle F_{n}+L_{n}=2F_{n+1},}$

и

${\displaystyle 5s(x)+\Phi (x)={\frac {2}{x}}\Phi (-{\frac {1}{x}})=2{\frac {1}{1-x-x^{2}}}+4{\frac {x}{1-x-x^{2}}}}$

доказывает, что

${\displaystyle 5F_{n}+L_{n}=2L_{n+1}}$

Разложение дроби на части имеет вид

${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{1-\phi x}}+{\frac {1}{1-\psi x}}}$

где — золотое сечение, а — его сопряженное число .${\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$${\displaystyle \psi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}}$

Это можно использовать для доказательства производящей функции, как

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }L_{n}x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(\phi ^{n}+\psi ^{n})x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }\phi ^{n}x^{n}+\sum _{n=0}^{\infty }\psi ^{n}x^{n}={\frac {1}{1-\phi x}}+{\frac {1}{1-\psi x}}=\Phi (x)}$

Если — число Фибоначчи, то ни одно число Люка не делится на .${\displaystyle F_{n}\geq 5}$${\displaystyle F_{n}}$

${\displaystyle L_{n}}$сравнимо с 1 по модулю, если является простым , но некоторые составные значения также обладают этим свойством. Это псевдопростые числа Фибоначчи .${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle L_{n}-L_{n-4}}$сравнимо с 0 по модулю 5.

Простое число Лукаса — это число Лукаса, которое является простым . Первые несколько простых чисел Лукаса — это

2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349, 3010349, 54018521, 370248451, 6643838879, ... (последовательность A005479 в OEIS ).

Индексы этих простых чисел равны (например, L ₄ = 7)

0, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 16, 17, 19, 31, 37, 41, 47, 53, 61, 71, 79, 113, 313, 353, 503, 613, 617, 863, 1097, 1361, 4787, 4793, 5851, 7741, 8467, ... (последовательность A001606 в OEIS ).

По состоянию на сентябрь 2015 года ^[update]наибольшее подтверждённое простое число Лукаса — L ₁₄₈₀₉₁ , имеющее 30950 десятичных цифр. ^[4] По состоянию на август 2022 года ^[update]наибольшее известное вероятное простое число Лукаса — L _5466311 , имеющее 1 142 392 десятичных цифр. ^[5]

Если L _n — простое число, то n равно 0, простому числу или степени числа 2. ^[6] L _{2 ^m} является простым числом для m  = 1, 2, 3 и 4 и никаких других известных значений  m .

Так же, как полиномы Фибоначчи выводятся из чисел Фибоначчи , полиномы Люка представляют собой полиномиальную последовательность, выведенную из чисел Люка.${\displaystyle L_{n}(x)}$

Близкие рациональные приближения для степеней золотого сечения можно получить из их непрерывных дробей .

Для положительных целых чисел n цепные дроби имеют вид:

${\displaystyle \varphi ^{2n-1}=[L_{2n-1};L_{2n-1},L_{2n-1},L_{2n-1},\ldots ]}$

${\displaystyle \varphi ^{2n}=[L_{2n}-1;1,L_{2n}-2,1,L_{2n}-2,1,L_{2n}-2,1,\ldots ]}$.

Например:

${\displaystyle \varphi ^{5}=[11;11,11,11,\ldots ]}$

это предел

${\displaystyle {\frac {11}{1}},{\frac {122}{11}},{\frac {1353}{122}},{\frac {15005}{1353}},\ldots }$

при этом ошибка в каждом члене составляет около 1% от ошибки в предыдущем члене; и

${\displaystyle \varphi ^{6}=[18-1;1,18-2,1,18-2,1,18-2,1,\ldots ]=[17;1,16,1,16,1,16,1,\ldots ]}$

это предел

${\displaystyle {\frac {17}{1}},{\frac {18}{1}},{\frac {305}{17}},{\frac {323}{18}},{\frac {5473}{305}},{\frac {5796}{323}},{\frac {98209}{5473}},{\frac {104005}{5796}},\ldots }$

при этом ошибка в каждом члене составляет около 0,3% от ошибки второго предыдущего члена.

Согласно анализу 657 подсолнухов в 2016 году, числа Лукаса являются второй по распространенности закономерностью в подсолнухах после чисел Фибоначчи, когда подсчитываются спирали по часовой стрелке и против часовой стрелки. ^[7]

• Обобщения чисел Фибоначчи

• «Полиномы Люка», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Число Лукаса». MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Полином Лукаса». Математический мир .
• «Числа Лукаса», доктор Рон Нотт
• Числа Люка и Золотое Сечение
• Калькулятор чисел Лукаса можно найти здесь.
• Последовательность OEIS A000032 (номера Лукаса, начинающиеся с 2)