Фильтр нижних частот

Для проверки этой статьи нужны дополнительные цитаты . Помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Материалы без источников могут быть оспорены и удалены. Найти источники:  «Фильтр нижних частот» – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( май 2023 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

Фильтр нижних частот — это фильтр , который пропускает сигналы с частотой ниже выбранной частоты среза и ослабляет сигналы с частотами выше частоты среза. Точная частотная характеристика фильтра зависит от конструкции фильтра . Фильтр иногда называют фильтром верхних частот или фильтром верхних частот в аудиоприложениях. Фильтр нижних частот является дополнением к фильтру верхних частот .

В оптике high-pass и low-pass могут иметь разные значения в зависимости от того, относятся ли они к частоте или длине волны света, поскольку эти переменные обратно пропорциональны. Фильтры высоких частот будут действовать как фильтры низких длин волн, и наоборот. По этой причине хорошей практикой является называть фильтры длин волн коротковолновыми и длинноволновыми , чтобы избежать путаницы, что будет соответствовать частотам высоких и низких частот . ^[1]

Фильтры нижних частот существуют во многих различных формах, включая электронные схемы, такие как фильтр шипения, используемый в аудио , фильтры сглаживания для обработки сигналов перед аналого-цифровым преобразованием , цифровые фильтры для сглаживания наборов данных, акустические барьеры, размытие изображений и т. д. Операция скользящего среднего, используемая в таких областях, как финансы, является особым видом фильтра нижних частот и может быть проанализирована с помощью тех же методов обработки сигнала , которые используются для других фильтров нижних частот. Фильтры нижних частот обеспечивают более сглаженную форму сигнала, удаляя краткосрочные колебания и оставляя долгосрочную тенденцию.

Разработчики фильтров часто используют форму нижних частот в качестве прототипа фильтра . Это фильтр с единичной полосой пропускания и импедансом. Требуемый фильтр получается из прототипа путем масштабирования для требуемой полосы пропускания и импеданса и преобразования в требуемую форму полосы (то есть, низкочастотный, высокочастотный, полосовой или режекторный ).

Примеры фильтров нижних частот встречаются в акустике , оптике и электронике .

Жесткий физический барьер имеет тенденцию отражать более высокие звуковые частоты, действуя как акустический фильтр нижних частот для передачи звука. Когда музыка играет в другой комнате, низкие ноты легко слышны, в то время как высокие ноты ослабевают.

Оптический фильтр с той же функцией можно правильно назвать фильтром нижних частот, но традиционно его называют фильтром длинных волн (низкая частота соответствует большой длине волны), чтобы избежать путаницы. ^[1]

В электронном фильтре нижних частот RC для сигналов напряжения высокие частоты входного сигнала ослабляются, но фильтр имеет небольшое ослабление ниже частоты среза, определяемой его постоянной времени RC . Для сигналов тока аналогичная схема, использующая резистор и конденсатор параллельно , работает аналогичным образом. (См. делитель тока , обсуждаемый более подробно ниже.)

Электронные фильтры нижних частот используются на входах сабвуферов и других типов громкоговорителей для блокировки высоких частот, которые они не могут эффективно воспроизводить. Радиопередатчики используют фильтры нижних частот для блокировки гармонических излучений, которые могут мешать другим коммуникациям. Ручка тона на многих электрогитарах представляет собой фильтр нижних частот, используемый для уменьшения количества высоких частот в звуке. Интегратор — еще один фильтр нижних частот с постоянной времени . ^[2]

Телефонные линии, оснащенные сплиттерами DSL, используют фильтры нижних частот для разделения сигналов DSL и POTS (и фильтры верхних частот наоборот), которые используют одну и ту же пару проводов ( канал передачи ). ^{[3] [4]}

Фильтры нижних частот также играют важную роль в формировании звука, создаваемого аналоговыми и виртуальными аналоговыми синтезаторами . См. субтрактивный синтез .

Фильтр нижних частот используется в качестве фильтра сглаживания перед дискретизацией и для реконструкции при цифро-аналоговом преобразовании .

Идеальный фильтр нижних частот полностью устраняет все частоты выше частоты среза , пропуская те, что ниже, без изменений; его частотная характеристика является прямоугольной функцией и является фильтром кирпичной стены . Переходная область, присутствующая в практических фильтрах, не существует в идеальном фильтре. Идеальный фильтр нижних частот может быть реализован математически (теоретически) путем умножения сигнала на прямоугольную функцию в частотной области или, что эквивалентно, сверткой с его импульсной характеристикой , функцией sinc , во временной области.

Однако идеальный фильтр невозможно реализовать без сигналов бесконечной протяженности во времени, и поэтому обычно его необходимо аппроксимировать для реальных текущих сигналов, поскольку область поддержки функции sinc распространяется на все прошлые и будущие времена. Поэтому фильтру необходимо иметь бесконечную задержку или знание бесконечного будущего и прошлого для выполнения свертки. Это эффективно реализуемо для предварительно записанных цифровых сигналов, предполагая расширения нуля в прошлое и будущее или, что более типично, делая сигнал повторяющимся и используя анализ Фурье.

Реальные фильтры для приложений реального времени приближают идеальный фильтр, усекая и обрезая бесконечный импульсный отклик, чтобы получить конечный импульсный отклик ; применение этого фильтра требует задержки сигнала на умеренный период времени, что позволяет вычислению «заглянуть» немного в будущее. Эта задержка проявляется как сдвиг фазы . Более высокая точность приближения требует более длительной задержки.

Усечение идеального фильтра нижних частот приводит к артефактам звона через явление Гиббса , которые можно уменьшить или ухудшить выбором функции окна. Проектирование и выбор реальных фильтров включает понимание и минимизацию этих артефактов. Например, простое усечение функции sinc создаст серьезные артефакты звона, которые можно уменьшить с помощью функций окна, которые спадают более плавно на краях. ^[5]

Формула интерполяции Уиттекера–Шеннона описывает, как использовать идеальный фильтр нижних частот для восстановления непрерывного сигнала из дискретизированного цифрового сигнала . Реальные цифро-аналоговые преобразователи используют реальные приближения фильтров.

Временная характеристика фильтра нижних частот находится путем решения характеристики простого RC-фильтра нижних частот.

Используя законы Кирхгофа, приходим к дифференциальному уравнению ^[6]

${\displaystyle v_{\text{out}}(t)=v_{\text{in}}(t)-RC{\frac {\operatorname {d} v_{\text{out}}}{\operatorname {d} t}}}$

Если мы допустим, что будет ступенчатой ​​функцией величины , то дифференциальное уравнение имеет решение ^[7]${\displaystyle v_{\text{in}}(t)}$${\displaystyle V_{i}}$

${\displaystyle v_{\text{out}}(t)=V_{i}(1-e^{-\omega _{0}t}),}$

где - частота среза фильтра.${\displaystyle \omega _{0}={1 \over RC}}$

Наиболее распространенным способом характеризации частотной характеристики цепи является нахождение ее передаточной функции преобразования Лапласа ^[6] , . Применяя преобразование Лапласа нашего дифференциального уравнения и решая для, получаем${\displaystyle H(s)={V_{\rm {out}}(s) \over V_{\rm {in}}(s)}}$${\displaystyle H(s)}$

${\displaystyle H(s)={V_{\rm {out}}(s) \over V_{\rm {in}}(s)}={\omega _{0} \over s+\omega _{0}}}$

Дискретное дифференциальное уравнение легко получить, выбрав ответ на входной шаг выше через регулярные интервалы, где и — время между выборками. Взяв разницу между двумя последовательными выборками, мы имеем${\displaystyle нТ}$${\displaystyle n=0,1,...}$${\displaystyle Т}$

${\displaystyle v_{\rm {out}}(nT)-v_{\rm {out}}((n-1)T)=V_{i}(1-e^{-\omega _{0}nT})-V_{i}(1-e^{-\omega _{0}((n-1)T)})}$

Решая, получаем${\displaystyle v_{\rm {out}}(нТл)}$

${\displaystyle v_{\rm {out}}(nT)=\beta v_{\rm {out}}((n-1)T)+(1-\beta )V_{i}}$

Где${\displaystyle \beta =e^{-\omega _{0}T}}$

Используя обозначения и , и подставляя наше выборочное значение, , мы получаем разностное уравнение${\displaystyle V_{n}=v_{\rm {out}}(nT)}$${\displaystyle v_{n}=v_{\rm {in}}(nT)}$${\displaystyle v_{n}=V_{i}}$

${\displaystyle V_{n}=\beta V_{n-1}+(1-\beta)v_{n}}$

Сравнивая реконструированный выходной сигнал из дифференциального уравнения, , с откликом на ступенчатый вход, , мы обнаруживаем, что существует точная реконструкция (ошибка 0%). Это реконструированный выход для неизменяемого во времени входа. Однако, если вход является изменчивым во времени , например , эта модель аппроксимирует входной сигнал как ряд ступенчатых функций с длительностью, что приводит к ошибке в реконструированном выходном сигнале. Ошибка, полученная из изменчивых во времени входов, трудно поддается количественной оценке ^{[ необходима цитата ]} , но она уменьшается как .${\displaystyle V_{n}=\beta V_{n-1}+(1-\beta)v_{n}}$${\displaystyle v_{\text{out}}(t)=V_{i}(1-e^{-\omega _{0}t})}$${\displaystyle v_{\text{in}}(t)=V_{i}\sin(\omega t)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T\rightarrow 0}$

Многие цифровые фильтры разработаны для получения характеристик нижних частот. Широко используются как фильтры нижних частот с бесконечной импульсной характеристикой , так и фильтры нижних частот с конечной импульсной характеристикой , а также фильтры, использующие преобразования Фурье .

Эффект фильтра нижних частот с бесконечной импульсной характеристикой можно смоделировать на компьютере, проанализировав поведение RC-фильтра во временной области, а затем дискретизировав модель.

Из схемы цепи справа, согласно законам Кирхгофа и определению емкости :

${\displaystyle v_{\text{in}}(t)-v_{\text{out}}(t)=R\;i(t)}$

В

${\displaystyle Q_{c}(t)=C\,v_{\text{out}}(t)}$

В

${\displaystyle i(t)={\frac {\operatorname {d} Q_{c}}{\operatorname {d} t}}}$

я

где заряд, хранящийся в конденсаторе в момент времени t . Подстановка уравнения Q в уравнение I дает , которое можно подставить в уравнение V так, что${\displaystyle Q_{c}(t)}$${\displaystyle i(t)\;=\;C{\frac {\operatorname {d} v_{\text{out}}}{\operatorname {d} t}}}$

${\displaystyle v_{\text{in}}(t)-v_{\text{out}}(t)=RC{\frac {\operatorname {d} v_{\text{out}}}{\operatorname {d} t}}.}$

Это уравнение можно дискретизировать. Для простоты предположим, что выборки входных и выходных данных берутся в равномерно распределенных точках времени, разделенных временем. Пусть выборки будут представлены последовательностью , а будут представлены последовательностью , которые соответствуют тем же точкам времени. Выполняя эти замены,${\displaystyle \Delta _{T}}$${\displaystyle v_{\text{in}}}$${\displaystyle (x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n})}$${\displaystyle v_{\text{out}}}$${\displaystyle (y_{1},\,y_{2},\,\ldots ,\,y_{n})}$

${\displaystyle x_{i}-y_{i}=RC\,{\frac {y_{i}-y_{i-1}}{\Delta _{T}}}.}$

Перестановка членов дает рекуррентное соотношение

${\displaystyle y_{i}=\overbrace {x_{i}\left({\frac {\Delta _{T}}{RC+\Delta _{T}}}\right)} ^{\text{Input contribution}}+\overbrace {y_{i-1}\left({\frac {RC}{RC+\Delta _{T}}}\right)} ^{\text{Inertia from previous output}}.}$

То есть эта дискретная по времени реализация простого RC- фильтра нижних частот представляет собой экспоненциально взвешенное скользящее среднее.

${\displaystyle y_{i}=\alpha x_{i}+(1-\alpha )y_{i-1}\qquad {\text{where}}\qquad \alpha :={\frac {\Delta _{T}}{RC+\Delta _{T}}}.}$

По определению, коэффициент сглаживания находится в диапазоне . Выражение для α дает эквивалентную постоянную времени RC в терминах периода выборки и коэффициента сглаживания α ,${\displaystyle 0\;\leq \;\alpha \;\leq \;1}$ ${\displaystyle \Delta _{T}}$

${\displaystyle RC=\Delta _{T}\left({\frac {1-\alpha }{\alpha }}\right).}$

Напоминая, что

${\displaystyle f_{c}={\frac {1}{2\pi RC}}}$так${\displaystyle RC={\frac {1}{2\pi f_{c}}},}$

обратите внимание, что α и связаны соотношением,${\displaystyle f_{c}}$

${\displaystyle \alpha ={\frac {2\pi \Delta _{T}f_{c}}{2\pi \Delta _{T}f_{c}+1}}}$

и

${\displaystyle f_{c}={\frac {\alpha }{(1-\alpha )2\pi \Delta _{T}}}.}$

Если α =0,5, то постоянная времени RC равна периоду выборки. Если , то RC значительно больше интервала выборки, и .${\displaystyle \alpha \;\ll \;0.5}$${\displaystyle \Delta _{T}\;\approx \;\alpha RC}$

Рекуррентное отношение фильтра обеспечивает способ определения выходных образцов в терминах входных образцов и предыдущего выхода. Следующий алгоритм псевдокода имитирует эффект фильтра нижних частот на серии цифровых образцов:

// Возвращаем выходные выборки RC-фильтра нижних частот, заданные входные выборки,// временной интервал dt и постоянная времени RC- функция lowpass( real[1..n] x, real dt, real RC) var  real[1..n] y var  real α := dt / (RC + dt) у[1] := α * х[1] для i от 2 до n у[i] := α * x[i] + (1-α) * у[i-1] вернуть y

Цикл , который вычисляет каждый из n выходов, можно преобразовать в эквивалент:

 для i от 2 до n у[i] := у[i-1] + α * (x[i] - у[i-1])

То есть, изменение от одного выхода фильтра к следующему пропорционально разнице между предыдущим выходом и следующим входом. Это свойство экспоненциального сглаживания соответствует экспоненциальному затуханию, наблюдаемому в системе с непрерывным временем. Как и ожидалось, с увеличением постоянной времени RC параметр сглаживания с дискретным временем уменьшается, и выходные выборки реагируют медленнее на изменение входных выборок ; система имеет большую инерцию . Этот фильтр представляет собой однополюсный фильтр нижних частот с бесконечной импульсной характеристикой (IIR).${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle (y_{1},\,y_{2},\,\ldots ,\,y_{n})}$${\displaystyle (x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n})}$

Фильтры с конечной импульсной характеристикой могут быть построены так, чтобы аппроксимировать временную характеристику sinc-функции идеального фильтра нижних частот с резким срезом. Для минимизации искажений фильтр с конечной импульсной характеристикой имеет неограниченное число коэффициентов, работающих с неограниченным сигналом. На практике временная характеристика должна быть усечена по времени и часто имеет упрощенную форму; в простейшем случае можно использовать скользящее среднее , что дает квадратичную временную характеристику. ^[8]

This section does not cite any sources. Please help improve this section by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. (March 2015) (Learn how and when to remove this message)

Для фильтрации не в реальном времени, чтобы получить фильтр нижних частот, весь сигнал обычно берется как зацикленный сигнал, берется преобразование Фурье, фильтруется в частотной области, а затем выполняется обратное преобразование Фурье. Требуется только O(n log(n)) операций по сравнению с O(n ² ) для алгоритма фильтрации во временной области.

Иногда это можно сделать в реальном времени, когда сигнал задерживается достаточно долго, чтобы выполнить преобразование Фурье для более коротких перекрывающихся блоков.

Существует множество различных типов схем фильтров с различными реакциями на изменение частоты. Частотная характеристика фильтра обычно представлена ​​с помощью графика Боде , а фильтр характеризуется частотой среза и скоростью спада частоты . Во всех случаях на частоте среза фильтр ослабляет входную мощность на половину или 3 дБ. Таким образом, порядок фильтра определяет величину дополнительного ослабления для частот выше частоты среза.

• Фильтр первого порядка , например, уменьшает амплитуду сигнала вдвое (то есть мощность уменьшается в 4 раза, или 6 дБ) каждый раз, когда частота удваивается (поднимается на одну октаву ); точнее, спад мощности приближается к 20 дБ на декаду в пределе высокой частоты. График амплитуды Боде для фильтра первого порядка выглядит как горизонтальная линия ниже частоты среза и диагональная линия выше частоты среза. На границе между ними также имеется «кривая перегиба», плавно переходящая между двумя прямолинейными областями. Если передаточная функция фильтра нижних частот первого порядка имеет как ноль , так и полюс , график Боде снова становится плоским при некотором максимальном затухании высоких частот; такой эффект вызван, например, небольшой утечкой входного сигнала вокруг однополюсного фильтра; этот фильтр «один полюс–один-ноль» по-прежнему является фильтром нижних частот первого порядка. См. График «полюс–ноль» и RC-цепь .
• Фильтр второго порядка ослабляет высокие частоты более круто. График Боде для этого типа фильтра напоминает график фильтра первого порядка, за исключением того, что он спадает быстрее. Например, фильтр Баттерворта второго порядка уменьшает амплитуду сигнала до одной четверти от ее исходного уровня каждый раз, когда частота удваивается (таким образом, мощность уменьшается на 12 дБ на октаву или 40 дБ на декаду). Другие всеполюсные фильтры второго порядка могут изначально спадать с разной скоростью в зависимости от их добротности , но приближаться к той же конечной скорости 12 дБ на октаву; как и в случае с фильтрами первого порядка, нули в передаточной функции могут изменить высокочастотную асимптоту. См. RLC-цепь .
• Фильтры третьего и более высокого порядка определяются аналогично. В общем случае конечная скорость спада мощности для фильтра n- го порядка составляет 6 n дБ на октаву (20 n дБ на декаду).

На любом фильтре Баттерворта, если продолжить горизонтальную линию вправо, а диагональную линию в верхний левый угол ( асимптоты функции), они пересекутся точно на частоте среза , на 3 дБ ниже горизонтальной линии. Различные типы фильтров ( фильтр Баттерворта , фильтр Чебышева , фильтр Бесселя и т. д.) имеют кривые перегиба по-разному выглядящие . Многие фильтры второго порядка имеют «пики» или резонанс , который помещает их частотную характеристику выше горизонтальной линии на этом пике.

Значения «низкий» и «высокий» — то есть частота среза — зависят от характеристик фильтра. Термин «фильтр нижних частот» просто относится к форме отклика фильтра; можно построить фильтр верхних частот, который отсекает на более низкой частоте, чем любой фильтр нижних частот — именно их отклики отличают их. Электронные схемы могут быть разработаны для любого желаемого диапазона частот, вплоть до микроволновых частот (выше 1 ГГц) и выше.

Фильтры непрерывного времени также можно описать в терминах преобразования Лапласа их импульсной характеристики , что позволяет легко проанализировать все характеристики фильтра, рассматривая схему полюсов и нулей преобразования Лапласа в комплексной плоскости. (В дискретном времени можно аналогичным образом рассмотреть Z -преобразование импульсной характеристики.)

Например, фильтр нижних частот первого порядка можно описать непрерывной во времени передаточной функцией в области Лапласа следующим образом:

${\displaystyle H(s)={\frac {\text{Output}}{\text{Input}}}=K{\frac {1}{\tau s+1}}=K{\frac {\alpha }{s+\alpha }}}$

где H — передаточная функция, s — переменная преобразования Лапласа (комплексная угловая частота), τ — постоянная времени фильтра , — частота среза, а K — коэффициент усиления фильтра в полосе пропускания . Частота среза связана с постоянной времени соотношением:${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha ={1 \over \tau }}$

Одна простая схема фильтра нижних частот состоит из резистора, последовательно соединенного с нагрузкой , и конденсатора, параллельно соединенного с нагрузкой. Конденсатор проявляет реактивное сопротивление и блокирует низкочастотные сигналы, пропуская их через нагрузку. На более высоких частотах реактивное сопротивление падает, и конденсатор эффективно работает как короткое замыкание. Сочетание сопротивления и емкости дает постоянную времени фильтра (обозначенную греческой буквой тау ). Частота разрыва, также называемая частотой оборота, угловой частотой или частотой среза (в герцах), определяется постоянной времени:${\displaystyle \tau \;=\;RC}$

${\displaystyle f_{\mathrm {c} }={1 \over 2\pi \tau }={1 \over 2\pi RC}}$

или эквивалентно (в радианах в секунду):

${\displaystyle \omega _{\mathrm {c} }={1 \over \tau }={1 \over RC}}$

Эту схему можно понять, рассмотрев время, необходимое конденсатору для зарядки или разрядки через резистор:

• На низких частотах конденсатору достаточно времени, чтобы зарядиться практически до того же напряжения, что и входное напряжение.
• На высоких частотах конденсатор успевает зарядиться лишь на небольшую величину, прежде чем вход поменяет направление. Выходной сигнал поднимается и опускается лишь на малую часть величины, на которую поднимается и опускается входной сигнал. При удвоенной частоте у него есть время зарядиться лишь на половину величины.

Другой способ понять эту схему — использовать концепцию реактивного сопротивления на определенной частоте:

• Поскольку постоянный ток не может протекать через конденсатор, постоянный ток должен выходить по обозначенному пути (аналогично удалению конденсатора).${\displaystyle V_{\mathrm {out} }}$
• Поскольку переменный ток (AC) очень хорошо протекает через конденсатор, почти так же хорошо, как и через сплошной провод, переменный ток на входе вытекает через конденсатор, фактически замыкая его на землю (аналогично замене конденсатора просто проводом).

Конденсатор не является объектом "вкл/выкл" (как блок или проходное жидкостное объяснение выше). Конденсатор изменчиво действует между этими двумя крайностями. Именно график Боде и частотная характеристика показывают эту изменчивость.

Резисторно-индукторная цепь или RL-фильтр — это электрическая цепь , состоящая из резисторов и индукторов, приводимых в действие источником напряжения или тока . Цепь RL первого порядка состоит из одного резистора и одного индуктора и является простейшим типом цепи RL.

Схема RL первого порядка является одним из простейших аналоговых электронных фильтров с бесконечной импульсной характеристикой . Она состоит из резистора и катушки индуктивности , либо последовательно подключенных к источнику напряжения , либо параллельно подключенных к источнику тока.

RLC-цепь ( буквы R, L и C могут располагаться в разной последовательности) — это электрическая цепь, состоящая из резистора , катушки индуктивности и конденсатора , соединенных последовательно или параллельно. Часть названия RLC происходит от того, что эти буквы являются обычными электрическими символами для сопротивления , индуктивности и емкости соответственно. Цепь образует гармонический осциллятор для тока и будет резонировать аналогично LC-цепи . Главное отличие, которое вносит наличие резистора, заключается в том, что любые колебания, вызванные в цепи, со временем затухают, если их не поддерживает источник. Этот эффект резистора называется затуханием . Наличие сопротивления также несколько снижает пиковую резонансную частоту. Некоторое сопротивление неизбежно в реальных цепях, даже если резистор специально не включен в качестве компонента. Идеальная, чистая LC-цепь является абстракцией для целей теории.

Существует множество применений для этой схемы. Они используются во многих различных типах схем генераторов . Другое важное применение — настройка , например, в радиоприемниках или телевизорах , где они используются для выбора узкого диапазона частот из окружающих радиоволн. В этой роли схема часто называется настроенной схемой. Схема RLC может использоваться как полосовой фильтр , полосовой режекторный фильтр , фильтр нижних частот или фильтр верхних частот . Фильтр RLC описывается как схема второго порядка , что означает, что любое напряжение или ток в схеме можно описать дифференциальным уравнением второго порядка в анализе схем.

Передаточная функция фильтра нижних частот второго порядка может быть выражена как функция частоты, как показано в уравнении 1, стандартной форме фильтра нижних частот второго порядка.${\displaystyle H_{LP}(f)}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle H_{LP}(f)=-{\frac {K}{f_{FSF}\cdot f_{c}^{2}+{\frac {1}{Q}}\cdot jf_{FSF}\cdot f_{c}+1}}\quad (1)}$

В этом уравнении — переменная частоты, — частота среза, — коэффициент масштабирования частоты, — добротность. Уравнение 1 описывает три области работы: ниже среза, в области среза и выше среза. Для каждой области Уравнение 1 сводится к:${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{c}}$${\displaystyle f_{FSF}}$${\displaystyle Q}$

• ${\displaystyle f\ll f_{c}}$: - Схема пропускает сигналы, умноженные на коэффициент усиления .${\displaystyle H_{LP}(f)\approx K}$${\displaystyle K}$
• ${\displaystyle {\frac {f}{f_{c}}}=f_{FSF}}$: - Сигналы сдвинуты по фазе на 90° и изменены на коэффициент качества .${\displaystyle H_{LP}(f)=jKQ}$${\displaystyle Q}$
• ${\displaystyle f\gg f_{c}}$: - Сигналы сдвинуты по фазе на 180° и ослаблены на квадрат отношения частот. Это поведение подробно описано Джимом Карки в "Active Low-Pass Filter Design" (Texas Instruments, 2023). ^[9]${\displaystyle H_{LP}(f)\approx -{\frac {K}{f_{FSF}\cdot f^{2}}}}$

При затухании на частотах выше, увеличивающемся в степени двойки, последняя формула описывает фильтр нижних частот второго порядка. Коэффициент масштабирования частоты используется для масштабирования частоты среза фильтра так, чтобы она соответствовала определениям, данным ранее.${\displaystyle f_{c}}$${\displaystyle f_{FSF}}$

Также можно построить пассивные фильтры более высокого порядка (см. схему для примера третьего порядка).

Активный фильтр нижних частот добавляет активное устройство для создания активного фильтра , который обеспечивает усиление в полосе пропускания.

В схеме операционного усилителя , показанной на рисунке, частота среза (в герцах ) определяется как:

${\displaystyle f_{\text{c}}={\frac {1}{2\pi R_{2}C}}}$

или эквивалентно (в радианах в секунду):

${\displaystyle \omega _{\text{c}}={\frac {1}{R_{2}C}}}$

Коэффициент усиления в полосе пропускания равен − R2 / R1 , а полоса задерживания снижается до −6 дБ на _{октаву (то есть −20 дБ} на декаду), поскольку это фильтр первого порядка.

• Базовая полоса
• Более плавный (статистика)

На Викискладе есть медиафайлы по теме Фильтры нижних частот .

• Фильтр нижних частот java-симулятор
• ECE 209: Обзор цепей как систем LTI, краткий учебник по математическому анализу (электрических) систем LTI.
• ECE 209: Источники сдвига фазы, интуитивное объяснение источника сдвига фазы в фильтре нижних частот. Также проверяет простую пассивную передаточную функцию ФНЧ с помощью тригонометрического тождества.
• Генератор кода на языке C для цифровой реализации фильтров Баттерворта, Бесселя и Чебышева, созданный покойным доктором Тони Фишером из Йоркского университета (Йорк, Англия).