Логика

Логика — это изучение правильного рассуждения . Она включает в себя как формальную, так и неформальную логику . Формальная логика — это изучение дедуктивно обоснованных выводов или логических истин . Она изучает, как выводы следуют из предпосылок, основываясь только на структуре аргументов, независимо от их темы и содержания. Неформальная логика связана с неформальными заблуждениями , критическим мышлением и теорией аргументации . Неформальная логика изучает аргументы, выраженные на естественном языке , тогда как формальная логика использует формальный язык . При использовании в качестве исчисляемого существительного термин «логика» относится к определенной логической формальной системе , которая формулирует систему доказательств . Логика играет центральную роль во многих областях, таких как философия , математика , компьютерные науки и лингвистика .

Логика изучает аргументы, которые состоят из набора предпосылок, которые приводят к заключению. Примером является аргумент из предпосылок «сегодня воскресенье» и «если сегодня воскресенье, то мне не нужно работать», приводящий к заключению «мне не нужно работать». ^[1] Предпосылки и заключения выражают суждения или утверждения, которые могут быть истинными или ложными. Важной особенностью суждений является их внутренняя структура. Например, сложные суждения состоят из более простых суждений, связанных логическим словарем, таким как ( и ) или ( если... то ). Простые суждения также имеют части, такие как «воскресенье» или «работа» в примере. Истинность суждения обычно зависит от значений всех его частей. Однако это не относится к логически истинным суждениям. Они истинны только из-за своей логической структуры, независимой от конкретных значений отдельных частей.${\displaystyle \земля}$${\displaystyle \to}$

Аргументы могут быть как правильными, так и неправильными. Аргумент является правильным, если его предпосылки поддерживают его заключение. Дедуктивные аргументы имеют самую сильную форму поддержки: если их предпосылки истинны, то их заключение также должно быть истинным. Это не относится к амплифицирующим аргументам, которые приводят к действительно новой информации, не содержащейся в предпосылках. Многие аргументы в повседневном дискурсе и науке являются амплифицирующими аргументами. Они делятся на индуктивные и абдуктивные аргументы. Индуктивные аргументы являются статистическим обобщением — например, вывод о том, что все вороны черные, на основе многих индивидуальных наблюдений за черными воронами. ^[2] Абдуктивные аргументы являются выводами к наилучшему объяснению — например, когда врач приходит к выводу, что у пациента есть определенное заболевание, как к наилучшему объяснению симптомов, которыми он страдает. ^[3] Аргументы, которые не соответствуют стандартам правильного рассуждения, часто воплощают заблуждения . Системы логики являются теоретическими рамками для оценки правильности аргументов.

Логика изучалась со времен античности . Ранние подходы включают аристотелевскую логику , стоическую логику , ньяю и моизм . Аристотелевская логика фокусируется на рассуждениях в форме силлогизмов . Она считалась основной системой логики в западном мире, пока ее не заменила современная формальная логика, корни которой лежат в работах математиков конца 19 века, таких как Готтлоб Фреге . Сегодня наиболее часто используемой системой является классическая логика . Она состоит из пропозициональной логики и логики первого порядка . Пропозициональная логика рассматривает только логические отношения между полными предложениями. Логика первого порядка также принимает во внимание внутренние части предложений, такие как предикаты и квантификаторы . Расширенные логики принимают основные интуиции, лежащие в основе классической логики, и применяют их к другим областям, таким как метафизика , этика и эпистемология . Девиантная логика, с другой стороны, отвергает некоторые классические интуиции и предлагает альтернативные объяснения основных законов логики.

Слово «логика» происходит от греческого слова logos , которое имеет множество переводов, таких как разум , дискурс или язык . ^[4] Логика традиционно определяется как изучение законов мышления или правильного рассуждения , ^[5] и обычно понимается в терминах выводов или аргументов . Рассуждение — это деятельность по выведению выводов. Аргументы — это внешнее выражение выводов. ^[6] Аргумент — это набор предпосылок вместе с заключением. Логика интересуется тем, являются ли аргументы правильными, т. е. подтверждают ли их предпосылки заключение. ^[7] Эти общие характеристики применимы к логике в самом широком смысле, т. е. как к формальной, так и к неформальной логике, поскольку они обе связаны с оценкой правильности аргументов. ^[8] Формальная логика является традиционно доминирующей областью, и некоторые логики ограничивают логику формальной логикой. ^[9]

Формальная логика также известна как символическая логика и широко используется в математической логике . Она использует формальный подход к изучению рассуждений: она заменяет конкретные выражения абстрактными символами, чтобы исследовать логическую форму аргументов независимо от их конкретного содержания. В этом смысле она нейтральна по отношению к теме, поскольку она касается только абстрактной структуры аргументов, а не их конкретного содержания. ^[10]

Формальная логика интересуется дедуктивно обоснованными аргументами, для которых истинность их предпосылок гарантирует истинность их заключения. Это означает, что предпосылки не могут быть истинными, а заключение — ложным. ^[11] Для обоснованных аргументов логическая структура предпосылок и заключения следует шаблону, называемому правилом вывода . ^[12] Например, modus ponens — это правило вывода, согласно которому все аргументы вида «(1) p , (2) если p , то q , (3) следовательно, q » являются обоснованными, независимо от того, что обозначают термины p и q . ^[13] В этом смысле формальную логику можно определить как науку об обоснованных выводах. Альтернативное определение рассматривает логику как изучение логических истин . ^[14] Предложение является логически истинным, если его истинность зависит только от логического словаря, используемого в нем. Это означает, что оно истинно во всех возможных мирах и при всех интерпретациях его нелогических терминов, таких как утверждение «либо идет дождь, либо нет». ^[15] Эти два определения формальной логики не идентичны, но они тесно связаны. Например, если вывод от p к q дедуктивно действителен, то утверждение «если p, то q » является логической истиной. ^[16]

Формальная логика использует формальные языки для выражения и анализа аргументов. ^[17] Обычно они имеют очень ограниченный словарный запас и точные синтаксические правила . Эти правила определяют, как их символы могут быть объединены для построения предложений, так называемых правильно сформированных формул . ^[18] Эта простота и точность формальной логики делают ее способной формулировать точные правила вывода. Они определяют, является ли данный аргумент действительным. ^[19] Из-за опоры на формальный язык, аргументы на естественном языке не могут быть изучены напрямую. Вместо этого их необходимо перевести на формальный язык, прежде чем можно будет оценить их действительность. ^[20]

Термин «логика» может также использоваться в несколько ином смысле как исчисляемое существительное. В этом смысле логика — это логическая формальная система. Отдельные логики отличаются друг от друга правилами вывода, которые они принимают как действительные, и формальными языками, используемыми для их выражения. ^[21] Начиная с конца 19 века было предложено много новых формальных систем. Существуют разногласия по поводу того, что делает формальную систему логикой. ^[22] Например, было высказано предположение, что только логически полные системы, такие как логика первого порядка , могут считаться логиками. По этим причинам некоторые теоретики отрицают, что логики более высокого порядка являются логиками в строгом смысле. ^[23]

В широком смысле логика охватывает как формальную, так и неформальную логику. ^[24] Неформальная логика использует неформальные критерии и стандарты для анализа и оценки правильности аргументов. Ее основное внимание уделяется повседневному дискурсу. ^[25] Ее развитие было вызвано трудностями в применении идей формальной логики к аргументам естественного языка. ^[26] В этой связи она рассматривает проблемы, которые формальная логика сама по себе не в состоянии решить. ^[27] Обе предоставляют критерии для оценки правильности аргументов и отличия их от заблуждений. ^[28]

Было предложено много характеристик неформальной логики, но нет общего согласия относительно ее точного определения. ^[29] Наиболее буквальный подход рассматривает термины «формальный» и «неформальный» как применяемые к языку, используемому для выражения аргументов. С этой точки зрения неформальная логика изучает аргументы, которые находятся на неформальном или естественном языке. ^[30] Формальная логика может исследовать их только косвенно, переводя их сначала на формальный язык, в то время как неформальная логика исследует их в их первоначальной форме. ^[31] С этой точки зрения аргумент «Птицы летают. Твити — птица. Следовательно, Твити летает.» принадлежит естественному языку и исследуется неформальной логикой. Но формальный перевод «(1) ; (2) ; (3) » изучается формальной логикой. ^[32] Изучение аргументов на естественном языке сопряжено с различными трудностями. Например, выражения на естественном языке часто двусмысленны, неопределенны и зависят от контекста. ^[33] Другой подход определяет неформальную логику в широком смысле как нормативное изучение стандартов, критериев и процедур аргументации. В этом смысле она включает вопросы о роли рациональности , критического мышления и психологии аргументации. ^[34]${\displaystyle \forall x(Птица(x)\to Летит(x))}$${\displaystyle Птица(Твити)}$${\displaystyle Мухи(Твити)}$

Другая характеристика отождествляет неформальную логику с изучением недедуктивных аргументов. Таким образом, она контрастирует с дедуктивным рассуждением, рассматриваемым формальной логикой. ^[35] Недедуктивные аргументы делают свое заключение вероятным, но не гарантируют, что оно истинно. Примером может служить индуктивный аргумент от эмпирического наблюдения, что «все вороны, которых я видел до сих пор, черные» к заключению «все вороны черные». ^[36]

Еще один подход заключается в определении неформальной логики как изучения неформальных заблуждений . ^[37] Неформальные заблуждения — это неправильные аргументы, в которых ошибки присутствуют в содержании и контексте аргумента. ^[38] Ложная дилемма , например, подразумевает ошибку содержания, исключая жизнеспособные варианты. Это имеет место в заблуждении «вы либо с нами, либо против нас; вы не с нами; следовательно, вы против нас». ^[39] Некоторые теоретики утверждают, что формальная логика изучает общую форму аргументов, в то время как неформальная логика изучает конкретные случаи аргументов. Другой подход заключается в том, чтобы считать, что формальная логика рассматривает только роль логических констант для правильных выводов, в то время как неформальная логика также принимает во внимание значение существенных понятий . Дальнейшие подходы сосредоточены на обсуждении логических тем с формальными устройствами или без них и на роли эпистемологии для оценки аргументов. ^[40]

Предпосылки и выводы являются основными частями выводов или аргументов и, следовательно, играют центральную роль в логике. В случае действительного вывода или правильного аргумента вывод следует из предпосылок, или, другими словами, предпосылки поддерживают вывод. ^[41] Например, предпосылки «Марс красный» и «Марс — планета» поддерживают вывод «Марс — красная планета». Для большинства типов логики принято, что предпосылки и выводы должны быть носителями истины . ^{[41] [a]} Это означает, что они имеют истинностное значение : они либо истинны, либо ложны. Современная философия обычно рассматривает их либо как суждения , либо как предложения . ^[43] Предложения являются обозначениями предложений и обычно рассматриваются как абстрактные объекты . ^[44] Например, английское предложение «the tree is green» отличается от немецкого предложения «der Baum ist grün», но оба выражают одно и то же суждение. ^[45]

Пропозициональные теории предпосылок и выводов часто критикуются, потому что они опираются на абстрактные объекты. Например, философы-натуралисты обычно отвергают существование абстрактных объектов. Другие аргументы касаются проблем, связанных с указанием критериев идентичности предложений. ^[43] Эти возражения избегаются, если рассматривать предпосылки и выводы не как предложения, а как предложения, т. е. как конкретные языковые объекты, такие как символы, отображаемые на странице книги. Но этот подход сопряжен с новыми собственными проблемами: предложения часто зависят от контекста и неоднозначны, что означает, что обоснованность аргумента будет зависеть не только от его частей, но и от его контекста и от того, как он интерпретируется. ^[46] Другой подход заключается в том, чтобы понимать предпосылки и выводы в психологических терминах как мысли или суждения. Эта позиция известна как психологизм . Она подробно обсуждалась на рубеже 20-го века, но сегодня она не получила широкого признания. ^[47]

Предпосылки и заключения имеют внутреннюю структуру. Как суждения или предложения, они могут быть как простыми, так и сложными. ^[48] Сложное суждение имеет другие суждения в качестве своих составляющих, которые связаны друг с другом посредством пропозициональных связок, таких как «и» или «если...тогда». Простые суждения, с другой стороны, не имеют пропозициональных частей. Но их также можно рассматривать как имеющие внутреннюю структуру: они состоят из подпропозициональных частей, таких как единичные термины и предикаты . ^{[49] [48]} Например, простое суждение «Марс красный» может быть образовано путем применения предиката «красный» к единичному термину «Марс». Напротив, сложное суждение «Марс красный, а Венера белая» состоит из двух простых суждений, соединенных пропозициональной связкой «и». ^[49]

Является ли предложение истинным, зависит, по крайней мере частично, от его составляющих. Для сложных предложений, образованных с использованием истинностно-функциональных пропозициональных связок, их истинность зависит только от истинностных значений их частей. ^{[49] [50]} Но это отношение более сложно в случае простых предложений и их подпропозициональных частей. Эти подпропозициональные части имеют свои собственные значения, такие как ссылка на объекты или классы объектов. ^[51] Является ли простое предложение, которое они образуют, истинным, зависит от их отношения к реальности, т. е. от того, каковы объекты, на которые они ссылаются. Эта тема изучается теориями референции . ^[52]

Некоторые сложные предложения истинны независимо от содержательных значений их частей. ^[53] В классической логике, например, сложное предложение «либо Марс красный, либо Марс не красный» истинно независимо от того, истинны или ложны его части, такие как простое предложение «Марс красный». В таких случаях истина называется логической истиной: предложение логически истинно, если его истинность зависит только от логического словаря, используемого в нем. ^[54] Это означает, что оно истинно при всех интерпретациях его нелогических терминов. В некоторых модальных логиках это означает, что предложение истинно во всех возможных мирах. ^[55] Некоторые теоретики определяют логику как изучение логических истин. ^[16]

Таблицы истинности можно использовать для демонстрации того, как работают логические связки или как значения истинности сложных предложений зависят от их частей. Они имеют столбец для каждой входной переменной. Каждая строка соответствует одной возможной комбинации значений истинности, которые могут принимать эти переменные; для таблиц истинности, представленных в англоязычной литературе, символы «T» и «F» или «1» и «0» обычно используются в качестве сокращений для значений истинности «истина» и «ложь». ^[56] Первые столбцы представляют все возможные комбинации значений истинности для входных переменных. Записи в других столбцах представляют значения истинности соответствующих выражений, определяемые входными значениями. Например, выражение « »${\displaystyle p\land q}$ использует логическую связку ( и ). Его можно использовать для выражения предложения типа «вчера было воскресенье, и погода была хорошей». Оно истинно только в том случае, если обе его входные переменные («вчера было воскресенье») и («погода была хорошей») истинны. Во всех остальных случаях выражение в целом ложно. Другие важные логические связки — ( не ), ( или ), ( если...тогда ) и ( штрих Шеффера ). ^[57] Учитывая условное суждение , можно сформировать таблицы истинности его обратного , его инверсии ( ) , и его контрапозиции ( ) . Таблицы истинности также могут быть определены для более сложных выражений, которые используют несколько пропозициональных связок. ^[58]${\displaystyle \земля}$${\displaystyle p}$${\displaystyle д}$${\displaystyle \lnot}$${\displaystyle \лор }$${\displaystyle \to}$${\displaystyle \uparrow}$${\displaystyle p\to q}$ ${\displaystyle q\to p}$ ${\displaystyle \lnot p\to \lnot q}$ ${\displaystyle \lnot q\to \lnot p}$

Таблица истинности различных выражений

п	д	п ∧ д	п ∨ д	р → д	¬п → ¬q	п д${\displaystyle \uparrow}$
Т	Т	Т	Т	Т	Т	Ф
Т	Ф	Ф	Т	Ф	Т	Т
Ф	Т	Ф	Т	Т	Ф	Т
Ф	Ф	Ф	Ф	Т	Т	Т

Логика обычно определяется в терминах аргументов или выводов как изучение их правильности. ^[59] Аргумент — это набор предпосылок вместе с заключением. ^[60] Вывод — это процесс рассуждения от этих предпосылок к заключению. ^[43] Но эти термины часто используются взаимозаменяемо в логике. Аргументы верны или неверны в зависимости от того, поддерживают ли их предпосылки их заключение. Предпосылки и выводы, с другой стороны, истинны или ложны в зависимости от того, соответствуют ли они реальности. В формальной логике обоснованный аргумент — это аргумент, который одновременно верен и имеет только истинные предпосылки. ^[61] Иногда проводится различие между простыми и сложными аргументами. Сложный аргумент состоит из цепочки простых аргументов. Это означает, что заключение одного аргумента действует как предпосылка последующих аргументов. Чтобы сложный аргумент был успешным, каждое звено цепи должно быть успешным. ^[43]

Аргументы и выводы могут быть либо правильными, либо неправильными. Если они правильны, то их предпосылки поддерживают их заключение. В неправильном случае эта поддержка отсутствует. Она может принимать разные формы, соответствующие разным типам рассуждений . ^[62] Самая сильная форма поддержки соответствует дедуктивному рассуждению . Но даже аргументы, которые не являются дедуктивно обоснованными, все равно могут быть хорошими аргументами, потому что их предпосылки предлагают недедуктивную поддержку их выводам. Для таких случаев используется термин амплификация или индуктивность . ^[63] Дедуктивные аргументы связаны с формальной логикой в ​​отличие от связи между амплификациями и неформальной логикой. ^[64]

Дедуктивно верный аргумент — это аргумент, предпосылки которого гарантируют истинность его заключения. ^[11] Например, аргумент «(1) все лягушки — амфибии; (2) ни одна кошка не является амфибией; (3) следовательно, ни одна кошка не является лягушкой» является дедуктивно верным. Для дедуктивной верности не имеет значения, являются ли предпосылки или заключение фактически верными. Так, аргумент «(1) все лягушки — млекопитающие; (2) ни одна кошка не является млекопитающим; (3) следовательно, ни одна кошка не является лягушкой» также верным, поскольку заключение с необходимостью следует из посылок. ^[65]

Согласно влиятельному мнению Альфреда Тарского , дедуктивные аргументы имеют три существенные особенности: (1) они формальны, т. е. зависят только от формы посылок и заключения; (2) они априорны, т. е. не требуется никакого чувственного опыта, чтобы определить, имеют ли они место; (3) они модальны, т. е. они выполняются в силу логической необходимости для данных предложений, независимо от любых других обстоятельств. ^[66]

Из-за первой особенности, фокусировки на формальности, дедуктивный вывод обычно отождествляется с правилами вывода. ^[67] Правила вывода определяют форму посылок и заключения: как они должны быть структурированы, чтобы вывод был действительным. Аргументы, которые не следуют ни одному правилу вывода, дедуктивно недействительны. ^[68] Modus ponens является важным правилом вывода. Оно имеет форму « p ; если p , то q ; следовательно, q ». ^[69] Зная, что только что прошел дождь ( ) и что после дождя улицы мокрые ( ), можно использовать modus ponens, чтобы сделать вывод, что улицы мокрые ( ). ^[70]${\displaystyle p}$${\displaystyle p\to q}$${\displaystyle д}$

Третью особенность можно выразить, заявив, что дедуктивно обоснованные выводы являются сохраняющими истину: невозможно, чтобы предпосылки были истинными, а заключение ложным. ^[71] Из-за этой особенности часто утверждается, что дедуктивные выводы неинформативны, поскольку заключение не может прийти к новой информации, которая еще не присутствует в предпосылках. ^[72] Но этот момент не всегда принимается, поскольку это означало бы, например, что большая часть математики неинформативна. Другая характеристика различает поверхностную и глубинную информацию. Поверхностная информация предложения — это информация, которую оно представляет явно. Глубинная информация — это совокупность информации, содержащейся в предложении, как явно, так и неявно. Согласно этой точке зрения, дедуктивные выводы неинформативны на глубинном уровне. Но они могут быть весьма информативными на поверхностном уровне, делая неявную информацию явной. Это происходит, например, в математических доказательствах. ^[73]

Усиление аргументов — это аргументы, выводы которых содержат дополнительную информацию, не найденную в их предпосылках. В этом отношении они более интересны, поскольку содержат информацию на глубинном уровне, и мыслитель может узнать что-то действительно новое. Но эта особенность имеет определенную цену: предпосылки поддерживают вывод в том смысле, что они делают его истинность более вероятной, но не гарантируют его истинность. ^[74] Это означает, что вывод усилительного аргумента может быть ложным, даже если все его предпосылки истинны. Эта характеристика тесно связана с немонотонностью и опровержимостью : может возникнуть необходимость отказаться от более раннего вывода при получении новой информации или в свете новых сделанных выводов. ^[75] Усиление рассуждений играет центральную роль во многих аргументах, встречающихся в повседневном дискурсе и науках. Усилительные аргументы не являются автоматически неверными. Вместо этого они просто следуют разным стандартам правильности. Поддержка, которую они предоставляют для своего вывода, обычно имеет градации. Это означает, что сильные усилительные аргументы делают свой вывод весьма вероятным, в то время как слабые — менее определенным. В результате граница между правильными и неправильными аргументами в некоторых случаях размыта, например, когда предпосылки предлагают слабую, но не пренебрежимую поддержку. Это контрастирует с дедуктивными аргументами, которые либо действительны, либо недействительны, и между ними нет ничего. ^[76]

Терминология, используемая для классификации амплифицирующих аргументов, непоследовательна. Некоторые авторы, такие как Джеймс Хоторн, используют термин « индукция », чтобы охватить все формы недедуктивных аргументов. ^[77] Но в более узком смысле индукция является лишь одним типом амплифицирующего аргумента наряду с абдуктивными аргументами . ^[78] Некоторые философы, такие как Лео Гроарк , также допускают кондуктивные аргументы ^[b] как другой тип. ^[79] В этом узком смысле индукция часто определяется как форма статистического обобщения. ^[80] В этом случае предпосылки индуктивного аргумента представляют собой множество отдельных наблюдений, которые все показывают определенную закономерность. Тогда вывод является общим законом, который эта закономерность всегда имеет место. ^[81] В этом смысле можно сделать вывод, что «все слоны серые», основываясь на своих прошлых наблюдениях за цветом слонов. ^[78] Тесно связанная форма индуктивного вывода имеет в качестве своего заключения не общий закон, а один более конкретный пример, как когда делается вывод, что слон, которого вы еще не видели, также серый. ^[81] Некоторые теоретики, такие как Игорь Дувен, утверждают, что индуктивные выводы основываются только на статистических соображениях. Таким образом, их можно отличить от абдуктивного вывода. ^[78]

Абдуктивный вывод может принимать во внимание статистические наблюдения, а может и не принимать. В любом случае предпосылки поддерживают заключение, поскольку заключение является наилучшим объяснением того, почему предпосылки верны. ^[82] В этом смысле абдукция также называется выводом к наилучшему объяснению . ^[83] Например, если принять предпосылку о том, что на кухне ранним утром стоит тарелка с панировочными сухарями, можно прийти к выводу о том, что сосед по квартире перекусил ночью и слишком устал, чтобы убрать со стола. Этот вывод оправдан, поскольку он является наилучшим объяснением текущего состояния кухни. ^[78] Для абдукции недостаточно, чтобы заключение объясняло предпосылки. Например, вывод о том, что грабитель проник в дом вчера вечером, проголодался на работе и перекусил ночью, также объяснил бы состояние кухни. Но этот вывод не оправдан, поскольку он не является наилучшим или наиболее вероятным объяснением. ^{[82] [83]}

Не все аргументы соответствуют стандартам правильного рассуждения. Когда они не соответствуют, их обычно называют заблуждениями . Их центральный аспект заключается не в том, что их вывод ложный, а в том, что в рассуждениях, ведущих к этому выводу, есть некоторый изъян. ^[84] Таким образом, аргумент «сегодня солнечно; следовательно, у пауков восемь ног» является ложным, даже если вывод верен. Некоторые теоретики, такие как Джон Стюарт Милль , дают более ограничительное определение заблуждений, дополнительно требуя, чтобы они казались правильными. ^[85] Таким образом, подлинные заблуждения можно отличить от простых ошибок рассуждений из-за небрежности. Это объясняет, почему люди склонны совершать заблуждения: потому что в них есть заманчивый элемент, который соблазняет людей совершать и принимать их. ^[86] Однако эта ссылка на внешность является спорной, потому что она относится к области психологии , а не логики, и потому что внешность может быть разной для разных людей. ^[87]

Заблуждения обычно делятся на формальные и неформальные. ^[38] Для формальных заблуждений источник ошибки находится в форме аргумента. Например, отрицание антецедента является одним из типов формального заблуждения, как в «если Отелло холостяк, то он мужчина; Отелло не холостяк; следовательно, Отелло не мужчина». ^[88] Но большинство заблуждений попадают в категорию неформальных заблуждений, большое разнообразие которых обсуждается в академической литературе. Источник их ошибки обычно находится в содержании или контексте аргумента . ^[89] Неформальные заблуждения иногда классифицируются как заблуждения двусмысленности, заблуждения презумпции или заблуждения релевантности. Для заблуждений двусмысленности двусмысленность и неопределенность естественного языка являются причиной их недостатка, как в «перья светлые; то, что светло, не может быть темным; следовательно, перья не могут быть темными». ^[90] Ошибки презумпции имеют неверную или необоснованную предпосылку, но могут быть действительными в противном случае. ^[91] В случае ошибок релевантности предпосылки не поддерживают вывод, потому что они не имеют к нему отношения. ^[92]

Основное внимание большинства логиков уделяется изучению критериев, согласно которым аргумент является правильным или неправильным. Ошибка совершается, если эти критерии нарушаются. В случае формальной логики они известны как правила вывода . ^[93] Это определяющие правила, которые определяют, является ли вывод правильным или какие выводы разрешены. Определяющие правила контрастируют со стратегическими правилами. Стратегические правила указывают, какие выводные ходы необходимы для достижения заданного вывода на основе набора предпосылок. Это различие применимо не только к логике, но и к играм. Например, в шахматах определяющие правила предписывают, что слоны могут двигаться только по диагонали. Стратегические правила, с другой стороны, описывают, как разрешенные ходы могут быть использованы для победы в игре, например, путем контроля центра и защиты своего короля . ^[94] Утверждалось, что логики должны уделять больше внимания стратегическим правилам, поскольку они очень важны для эффективного рассуждения. ^[93]

Формальная система логики состоит из формального языка вместе с набором аксиом и системой доказательств , используемой для вывода выводов из этих аксиом. ^[95] В логике аксиомы — это утверждения, которые принимаются без доказательств. Они используются для обоснования других утверждений. ^[96] Некоторые теоретики также включают семантику , которая определяет, как выражения формального языка соотносятся с реальными объектами. ^[97] Начиная с конца 19 века, было предложено много новых формальных систем. ^[98]

Формальный язык состоит из алфавита и синтаксических правил. Алфавит — это набор основных символов, используемых в выражениях . Синтаксические правила определяют, как эти символы могут быть организованы, чтобы привести к правильно сформированным формулам. ^[99] Например, синтаксические правила пропозициональной логики определяют, что « »${\displaystyle P\land Q}$ — это правильно сформированная формула, а « »${\displaystyle \land Q}$ — нет, поскольку логическое соединение требует терминов с обеих сторон. ^[100]${\displaystyle \земля}$

Система доказательств — это набор правил для построения формальных доказательств. Это инструмент для получения выводов из набора аксиом. Правила в системе доказательств определяются в терминах синтаксической формы формул независимо от их конкретного содержания. Например, классическое правило введения конъюнкции гласит , что следует из посылок и . Такие правила могут применяться последовательно, давая механическую процедуру для генерации выводов из посылок. Существуют различные типы систем доказательств, включая естественную дедукцию и последовательные исчисления . ^[101]${\displaystyle P\land Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$

Семантика — это система отображения выражений формального языка на их денотаты. Во многих системах логики денотаты являются значениями истинности. Например, семантика для классической пропозициональной логики присваивает формуле денотат «истинно» всякий раз, когда и являются истинными. С семантической точки зрения, посылка влечет за собой заключение, если заключение истинно всякий раз, когда посылка истинна. ^[102]${\displaystyle P\land Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$

Система логики является обоснованной , когда ее система доказательств не может вывести заключение из набора предпосылок, если оно не семантически выведено из них. Другими словами, ее система доказательств не может привести к ложным заключениям, как определено семантикой. Система является полной, когда ее система доказательств может вывести каждое заключение, которое семантически выведено из ее предпосылок. Другими словами, ее система доказательств может привести к любому истинному заключению, как определено семантикой. Таким образом, обоснованность и полнота вместе описывают систему, чьи понятия действительности и вывода идеально совпадают. ^[103]

Системы логики являются теоретическими рамками для оценки правильности рассуждений и аргументов. На протяжении более двух тысяч лет аристотелевская логика считалась каноном логики в западном мире, ^[104] но современные разработки в этой области привели к широкому распространению логических систем. ^[105] Одна из известных категоризаций делит современные формальные логические системы на классическую логику , расширенную логику и девиантную логику . ^[106]

Аристотелевская логика охватывает большое разнообразие тем. Они включают метафизические тезисы об онтологических категориях и проблемах научного объяснения. Но в более узком смысле она идентична термину логика или силлогистика. Силлогизм — это форма аргументации, включающая три предложения: две посылки и заключение. Каждое предложение состоит из трех основных частей: субъекта , предиката и связки, соединяющей субъект с предикатом. ^[107] Например, предложение «Сократ мудр» состоит из субъекта «Сократ», предиката «мудрый» и связки «есть». ^[108] Субъект и предикат являются терминами предложения . Аристотелевская логика не содержит сложных предложений, составленных из простых предложений. В этом аспекте она отличается от пропозициональной логики, в которой любые два предложения могут быть связаны с помощью логической связки типа «и», чтобы сформировать новое сложное предложение. ^[109]

В аристотелевской логике субъект может быть универсальным , частным , неопределенным или единичным . Например, термин «все люди» является универсальным субъектом в предложении «все люди смертны». Аналогичное предложение можно сформировать, заменив его частным термином «некоторые люди», неопределенным термином «человек» или единичным термином «Сократ». ^[110]

Аристотелевская логика включает только предикаты для простых свойств сущностей. Но в ней отсутствуют предикаты, соответствующие отношениям между сущностями. ^[111] Предикат может быть связан с субъектом двумя способами: либо утверждая его, либо отрицая его. ^[112] Например, предложение «Сократ не кот» включает отрицание предиката «кот» субъекту «Сократ». Используя комбинации субъектов и предикатов, можно сформировать большое разнообразие предложений и силлогизмов. Силлогизмы характеризуются тем, что посылки связаны друг с другом и с заключением путем совместного использования одного предиката в каждом случае. ^[113] Таким образом, эти три предложения содержат три предиката, называемых большим термином , меньшим термином и средним термином . ^[114] Центральный аспект аристотелевской логики включает классификацию всех возможных силлогизмов на действительные и недействительные аргументы в соответствии с тем, как сформированы предложения. ^{[112] [115]} Например, силлогизм «все люди смертны; Сократ — человек; следовательно, Сократ смертен» является действительным. Силлогизм «все кошки смертны; Сократ смертен; следовательно, Сократ — кот», с другой стороны, является недействительным. ^[116]

Классическая логика отличается от традиционной или аристотелевской логики. Она охватывает пропозициональную логику и логику первого порядка. Она «классическая» в том смысле, что основана на базовых логических интуициях, разделяемых большинством логиков. ^[117] Эти интуиции включают закон исключенного третьего , устранение двойного отрицания , принцип взрыва и двузначность истины. ^[118] Первоначально она была разработана для анализа математических аргументов и только позже была применена к другим областям. Из-за этого фокуса на математике она не включает логический словарь, относящийся ко многим другим темам философского значения. Примерами концепций, которые она упускает из виду, являются контраст между необходимостью и возможностью и проблема этического обязательства и разрешения. Аналогичным образом она не рассматривает отношения между прошлым, настоящим и будущим. ^[119] Такие вопросы решаются расширенными логиками. Они основываются на базовых интуициях классической логики и расширяют ее, вводя новый логический словарь. Таким образом, точный логический подход применяется к таким областям, как этика или эпистемология, которые лежат за пределами математики. ^[120]

Пропозициональная логика включает формальные системы, в которых формулы строятся из атомарных предложений с использованием логических связок . Например, пропозициональная логика представляет собой соединение двух атомарных предложений и как сложную формулу . В отличие от логики предикатов, где термины и предикаты являются наименьшими единицами, пропозициональная логика берет полные предложения со значениями истинности в качестве своего самого основного компонента. ^[121] Таким образом, пропозициональная логика может представлять только логические отношения, которые возникают из того, как сложные предложения строятся из более простых. Но она не может представлять выводы, которые вытекают из внутренней структуры предложения. ^[122]${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P\land Q}$

Логика первого порядка включает те же пропозициональные связки, что и пропозициональная логика, но отличается от нее тем, что артикулирует внутреннюю структуру предложений. Это происходит с помощью таких устройств, как сингулярные термины, которые относятся к конкретным объектам, предикаты , которые относятся к свойствам и отношениям, и квантификаторы, которые обрабатывают понятия, такие как «некоторые» и «все». ^[123] Например, чтобы выразить предложение «этот ворон черный», можно использовать предикат для свойства «черный» и сингулярный термин, относящийся к ворону, чтобы сформировать выражение . Чтобы выразить, что некоторые объекты черные, экзистенциальный квантификатор объединяется с переменной, чтобы сформировать предложение . Логика первого порядка содержит различные правила вывода, которые определяют, как выражения, артикулированные таким образом, могут образовывать действительные аргументы, например, что можно вывести из . ^[124]${\displaystyle Б}$${\displaystyle r}$${\displaystyle B(r)}$${\displaystyle \существует}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \exists xB(x)}$${\displaystyle \exists xB(x)}$${\displaystyle B(r)}$

Расширенные логики — это логические системы, которые принимают основные принципы классической логики. Они вводят дополнительные символы и принципы, чтобы применять их к таким областям, как метафизика , этика и эпистемология . ^[125]

Модальная логика является расширением классической логики. В своей первоначальной форме, иногда называемой «алетической модальной логикой», она вводит два новых символа: выражает, что что-то возможно, а выражает, что что-то необходимо. ^[126] Например, если формула обозначает предложение «Сократ — банкир», то формула артикулирует предложение «Возможно, что Сократ — банкир». ^[127] Чтобы включить эти символы в логический формализм, модальная логика вводит новые правила вывода, которые определяют, какую роль они играют в выводах. Одно правило вывода гласит, что если что-то необходимо, то это также возможно. Это означает, что следует из . Другой принцип гласит, что если предложение необходимо, то его отрицание невозможно и наоборот. Это означает, что эквивалентно . ^[128]${\displaystyle \Бриллиант}$${\displaystyle \Коробка}$${\displaystyle B(s)}$${\displaystyle \Бриллиант B(s)}$${\displaystyle \Бриллиант А}$${\displaystyle \Коробка A}$${\displaystyle \Коробка A}$${\displaystyle \lnot \Diamond \lnot A}$

Другие формы модальной логики вводят похожие символы, но связывают с ними разные значения, чтобы применять модальную логику к другим областям. Например, деонтическая логика касается области этики и вводит символы для выражения идей обязательства и разрешения , то есть для описания того, должен ли агент выполнять определенное действие или ему разрешено его выполнять. ^[129] Модальные операторы во временной модальной логике артикулируют временные отношения. Они могут использоваться для выражения, например, того, что что-то произошло в определенный момент времени или что что-то происходит все время. ^[129] В эпистемологии эпистемическая модальная логика используется для представления идей знания чего-то в отличие от простой веры в то, что это имеет место. ^[130]

Логики более высокого порядка расширяют классическую логику не за счет использования модальных операторов, а за счет введения новых форм квантификации. ^[131] Квантификаторы соответствуют терминам типа «все» или «некоторые». В классической логике первого порядка квантификаторы применяются только к индивидам. Формула « «${\displaystyle \exists x(Яблоко(x)\land Сладкое(x))}$ ( некоторые яблоки сладкие) является примером квантификатора существования « «,${\displaystyle \существует}$ примененного к индивидуальной переменной « «${\displaystyle x}$ . В логиках более высокого порядка квантификация также допускается по предикатам. Это увеличивает ее выразительную силу. Например, чтобы выразить идею о том, что Мэри и Джон разделяют некоторые качества, можно использовать формулу « «${\displaystyle \exists Q(Q(Мэри)\land Q(Джон))}$ . В этом случае квантификатор существования применяется к предикатной переменной « «${\displaystyle Q}$ . ^[132] Дополнительная выразительная сила особенно полезна для математики, поскольку она позволяет более лаконично формулировать математические теории. ^[43] Но она имеет недостатки в отношении ее металогических свойств и онтологических импликаций, поэтому логика первого порядка по-прежнему используется чаще. ^[133]

Девиантные логики — это логические системы, которые отвергают некоторые из основных интуиций классической логики. Из-за этого они обычно рассматриваются не как ее дополнения, а как ее соперники. Девиантные логические системы отличаются друг от друга либо тем, что они отвергают разные классические интуиции, либо тем, что они предлагают разные альтернативы одному и тому же вопросу. ^[134]

Интуиционистская логика — это ограниченная версия классической логики. ^[135] Она использует те же символы, но исключает некоторые правила вывода. Например, согласно закону устранения двойного отрицания, если предложение не является не истинным, то оно истинно. Это означает, что следует из . Это допустимое правило вывода в классической логике, но оно недействительно в интуиционистской логике. Другим классическим принципом, не являющимся частью интуиционистской логики, является закон исключенного третьего . Он гласит, что для каждого предложения либо оно само, либо его отрицание является истинным. Это означает, что каждое предложение формы является истинным. ^[135] Эти отклонения от классической логики основаны на идее, что истина устанавливается путем проверки с использованием доказательства. Интуиционистская логика особенно заметна в области конструктивной математики , которая подчеркивает необходимость найти или построить конкретный пример для доказательства его существования. ^[136]${\displaystyle А}$${\displaystyle \lnot \lnot A}$${\displaystyle A\or \lnot A}$

Многозначные логики отходят от классичности, отвергая принцип двузначности , который требует, чтобы все предложения были либо истинными, либо ложными. Например, Ян Лукасевич и Стивен Коул Клини предложили тернарные логики , которые имеют третье значение истинности, представляющее, что значение истинности утверждения неопределенно. ^[137] Эти логики были применены в области лингвистики. Нечеткие логики — это многозначные логики, которые имеют бесконечное число «степеней истинности», представленных действительным числом от 0 до 1. ^[138]

Параконсистентные логики — это логические системы, которые могут иметь дело с противоречиями. Они сформулированы так, чтобы избежать принципа взрыва: для них это не тот случай, когда что-либо следует из противоречия. ^[139] Они часто мотивированы диалетеизмом , представлением о том, что противоречия реальны или что сама реальность противоречива. Грэм Прист — влиятельный современный сторонник этой позиции, и похожие взгляды приписывались Георгу Вильгельму Фридриху Гегелю . ^[140]

Неформальная логика обычно выполняется менее систематическим образом. Она часто фокусируется на более конкретных вопросах, таких как исследование определенного типа заблуждения или изучение определенного аспекта аргументации. Тем не менее, некоторые структуры неформальной логики также были представлены, которые пытаются обеспечить систематическую характеристику правильности аргументов. ^[141]

Прагматический или диалогический подход к неформальной логике рассматривает аргументы как речевые акты , а не просто как набор предпосылок вместе с выводом. ^[142] Как речевые акты, они происходят в определенном контексте, как диалог , который влияет на стандарты правильных и неправильных аргументов. ^[143] Известный вариант Дугласа Н. Уолтона понимает диалог как игру между двумя игроками. Начальная позиция каждого игрока характеризуется предложениями, которым они привержены, и выводом, который они намерены доказать. Диалоги - это игры убеждения: каждый игрок имеет цель убедить оппонента в своем собственном выводе. ^[144] Это достигается путем приведения аргументов: аргументы - это ходы игры. ^[145] Они влияют на то, каким предложениям привержены игроки. Выигрышный ход - это успешный аргумент, который принимает обязательства оппонента в качестве предпосылок и показывает, как из них следует собственный вывод. Обычно это невозможно сделать сразу. По этой причине обычно необходимо сформулировать последовательность аргументов как промежуточные шаги, каждый из которых немного приближает оппонента к предполагаемому выводу. Помимо этих позитивных аргументов, приближающих к победе, существуют также негативные аргументы, препятствующие победе оппонента, отрицая его вывод. ^[144] Является ли аргумент правильным, зависит от того, способствует ли он развитию диалога. Ошибки, с другой стороны, являются нарушениями стандартов правильных аргументов. ^[146] Эти стандарты также зависят от типа диалога. Например, стандарты, регулирующие научный дискурс, отличаются от стандартов деловых переговоров. ^[147]

С другой стороны, эпистемический подход к неформальной логике фокусируется на эпистемической роли аргументов. [ 148 ^] Он основан на идее, что аргументы направлены на расширение наших знаний. Они достигают этого, связывая обоснованные убеждения с убеждениями, которые еще не обоснованы. ^[149] Правильные аргументы преуспевают в расширении знаний, в то время как заблуждения являются эпистемическими неудачами: они не оправдывают убеждение в своем выводе. ^[150] Например, заблуждение предания вопроса является заблуждением , потому что оно не может предоставить независимое обоснование своего вывода, даже если оно дедуктивно обосновано. ^[151] В этом смысле логическая нормативность заключается в эпистемическом успехе или рациональности. ^[149] Байесовский подход является одним из примеров эпистемического подхода. ^[152] Центральным для байесианства является не только то, верит ли агент во что-то, но и степень, в которой он верит в это, так называемая достоверность . Степени веры рассматриваются как субъективные вероятности в предполагаемом предложении, то есть насколько агент уверен в том, что предложение истинно. ^[153] С этой точки зрения рассуждение можно интерпретировать как процесс изменения чьих-либо убеждений, часто в ответ на новую поступающую информацию. ^[154] Правильное рассуждение и аргументы, на которых оно основано, следуют законам вероятности, например, принципу обусловленности . Плохое или иррациональное рассуждение, с другой стороны, нарушает эти законы. ^[155]

Логика изучается в различных областях. Во многих случаях это делается путем применения ее формального метода к определенным темам за пределами ее сферы, таким как этика или компьютерная наука. ^[156] В других случаях сама логика становится предметом исследования в другой дисциплине. Это может происходить разными способами. Например, это может включать исследование философских предположений, связанных с основными концепциями, используемыми логиками. Другие способы включают интерпретацию и анализ логики через математические структуры, а также изучение и сравнение абстрактных свойств формальных логических систем. ^[157]

Философия логики — это философская дисциплина, изучающая область применения и природу логики. ^[59] Она изучает множество неявных в логике предпосылок, например, как определить ее основные понятия или связанные с ними метафизические допущения. ^[158] Она также занимается классификацией логических систем и рассматривает онтологические обязательства, которые они на себя берут. ^[159] Философская логика — это одна из областей философии логики. Она изучает применение логических методов к философским проблемам в таких областях, как метафизика, этика и эпистемология. ^[160] Это применение обычно происходит в форме расширенных или девиантных логических систем. ^[161]

Металогика — это область исследований, изучающая свойства формальных логических систем. Например, когда разрабатывается новая формальная система, металогики могут изучать ее, чтобы определить, какие формулы могут быть доказаны в ней. Они также могут изучать, можно ли разработать алгоритм для поиска доказательства для каждой формулы и является ли каждая доказуемая формула в ней тавтологией. Наконец, они могут сравнивать ее с другими логическими системами, чтобы понять ее отличительные особенности. Ключевой вопрос в металогике касается связи между синтаксисом и семантикой. Синтаксические правила формальной системы определяют, как выводить заключения из посылок, т. е. как формулировать доказательства. Семантика формальной системы управляет тем, какие предложения истинны, а какие ложны. Это определяет действительность аргументов, поскольку для действительных аргументов невозможно, чтобы посылки были истинными, а заключение — ложным. Связь между синтаксисом и семантикой касается таких вопросов, как доказуемо ли каждое действительное утверждение и действительно ли каждое доказуемое утверждение. Металогики также изучают, являются ли логические системы полными, обоснованными и непротиворечивыми . Их интересует, разрешимы ли системы и какова их выразительная сила . Металогики обычно в значительной степени полагаются на абстрактные математические рассуждения при исследовании и формулировании металогических доказательств. Таким образом, они стремятся прийти к точным и общим выводам по этим темам. ^[162]

Термин «математическая логика» иногда используется как синоним «формальной логики». Но в более узком смысле он относится к изучению логики в математике. Основные подобласти включают теорию моделей , теорию доказательств , теорию множеств и теорию вычислимости . ^[164] Исследования в области математической логики обычно касаются математических свойств формальных систем логики. Однако они также могут включать попытки использовать логику для анализа математических рассуждений или для установления основанных на логике основ математики . ^[165] Последнее было главной проблемой в математической логике начала 20-го века, которая следовала программе логицизма, пионерами которой были философы-логики, такие как Готтлоб Фреге, Альфред Норт Уайтхед и Бертран Рассел . Математические теории должны были быть логическими тавтологиями , и их программа должна была показать это посредством сведения математики к логике. Многие попытки реализовать эту программу потерпели неудачу, начиная с парадокса Рассела, парализовавшего проект Фреге в его «Основных положениях» , и заканчивая поражением программы Гильберта теоремами Гёделя о неполноте . ^[166]

Теория множеств возникла в результате изучения бесконечности Георгом Кантором , и она стала источником многих наиболее сложных и важных вопросов в математической логике. Они включают теорему Кантора , статус аксиомы выбора , вопрос о независимости гипотезы континуума и современные дебаты о больших кардинальных аксиомах. ^[167]

Теория вычислимости — это раздел математической логики, который изучает эффективные процедуры для решения вычислительных задач. Одна из ее главных целей — понять, возможно ли решить данную задачу с помощью алгоритма. Например, если дано определенное утверждение о положительных целых числах, она проверяет, можно ли найти алгоритм для определения истинности этого утверждения. Теория вычислимости использует различные теоретические инструменты и модели, такие как машины Тьюринга , для исследования этого типа проблем. ^[168]

Вычислительная логика — это раздел логики и компьютерной науки , который изучает, как реализовать математические рассуждения и логические формализмы с помощью компьютеров. Сюда входят, например, автоматические доказатели теорем , которые используют правила вывода для построения доказательства шаг за шагом из набора предпосылок к предполагаемому заключению без вмешательства человека. ^{[169] Языки} логического программирования разработаны специально для выражения фактов с помощью логических формул и для вывода выводов из этих фактов. Например, Prolog — это язык логического программирования, основанный на логике предикатов. ^[170] Специалисты по информатике также применяют концепции из логики к проблемам в вычислениях. Работы Клода Шеннона оказали влияние в этом отношении. Он показал, как можно использовать булеву логику для понимания и реализации компьютерных схем. ^[171] Этого можно достичь с помощью электронных логических вентилей , то есть электронных схем с одним или несколькими входами и обычно одним выходом. Значения истинности предложений представлены уровнями напряжения. Таким образом, логические функции можно моделировать, подавая соответствующие напряжения на входы схемы и определяя значение функции путем измерения напряжения на выходе. ^[172]

Формальная семантика — это подраздел логики, лингвистики и философии языка . Дисциплина семантики изучает значение языка. Формальная семантика использует формальные инструменты из областей символической логики и математики для создания точных теорий значения выражений естественного языка . Она понимает значение обычно в отношении условий истинности , т. е. она исследует, в каких ситуациях предложение будет истинным или ложным. Одним из ее центральных методологических предположений является принцип композиционности . Он утверждает, что значение сложного выражения определяется значениями его частей и тем, как они объединены. Например, значение глагольной фразы «ходить и петь» зависит от значений отдельных выражений «ходить» и «петь». Многие теории в формальной семантике опираются на теорию моделей. Это означает, что они используют теорию множеств для построения модели, а затем интерпретируют значения выражения по отношению к элементам в этой модели. Например, термин «ходить» можно интерпретировать как множество всех индивидов в модели, которые разделяют свойство ходьбы. Первыми влиятельными теоретиками в этой области были Ричард Монтегю и Барбара Парти , которые сосредоточили свой анализ на английском языке. ^[173]

Эпистемология логики изучает, как человек узнает, что аргумент действителен или что предложение логически истинно. ^[174] Сюда входят такие вопросы, как то, как обосновать, что modus ponens является действительным правилом вывода или что противоречия ложны. ^[175] Традиционно доминирующая точка зрения заключается в том, что эта форма логического понимания принадлежит знанию a priori . ^[176] В этой связи часто утверждается, что разум обладает особой способностью исследовать отношения между чистыми идеями и что эта способность также отвечает за восприятие логических истин. ^[177] Похожий подход понимает правила логики в терминах языковых соглашений . С этой точки зрения законы логики тривиальны, поскольку они истинны по определению: они просто выражают значения логического словаря. ^[178]

Некоторые теоретики, такие как Хилари Патнэм и Пенелопа Мэдди , возражают против точки зрения, что логика познаваема априори. Вместо этого они считают, что логические истины зависят от эмпирического мира. Обычно это сочетается с утверждением, что законы логики выражают универсальные закономерности, обнаруженные в структурных особенностях мира. Согласно этой точке зрения, их можно исследовать, изучая общие закономерности фундаментальных наук . Например, утверждалось, что определенные идеи квантовой механики опровергают принцип дистрибутивности в классической логике, который гласит, что формула эквивалентна . Это утверждение можно использовать в качестве эмпирического аргумента в пользу тезиса о том, что квантовая логика является правильной логической системой и должна заменить классическую логику. ^[179]${\displaystyle A\land (B\lor C)}$${\displaystyle (A\land B)\lor (A\land C)}$

Логика развивалась независимо в нескольких культурах в античности. Одним из основных ранних авторов был Аристотель , который разработал терминологию в своих «Органоне» и «Первой аналитике» . ^[183] ​​Он был ответственен за введение гипотетического силлогизма ^[184] и временной модальной логики. ^[185] Дальнейшие нововведения включают индуктивную логику ^[186], а также обсуждение новых логических концепций, таких как термины , предикаты , силлогизмы и предложения. Аристотелевская логика высоко ценилась в классические и средневековые времена, как в Европе, так и на Ближнем Востоке. Она оставалась широко используемой на Западе до начала 19 века. ^[187] В настоящее время она была вытеснена более поздними работами, хотя многие из ее ключевых идей все еще присутствуют в современных системах логики. ^[188]

Ибн Сина (Авиценна) был основателем авиценновской логики, которая заменила аристотелевскую логику в качестве доминирующей системы логики в исламском мире . ^[189] Она оказала влияние на западных средневековых писателей, таких как Альберт Великий и Уильям Оккам . ^[190] Ибн Сина писал о гипотетическом силлогизме ^[191] и об исчислении высказываний . ^[192] Он разработал оригинальную «временно-модализованную» силлогистическую теорию, включающую временную логику и модальную логику. ^[193] Он также использовал индуктивную логику, такую ​​как его методы согласия, различия и сопутствующей вариации, которые имеют решающее значение для научного метода . ^[191] Фахр ад-Дин ар-Рази был другим влиятельным мусульманским логиком. Он подверг критике аристотелевскую силлогистику и сформулировал раннюю систему индуктивной логики, предвосхитив систему индуктивной логики, разработанную Джоном Стюартом Миллем. ^[194]

В средние века было сделано много переводов и интерпретаций аристотелевской логики. Особое влияние оказали работы Боэция . Помимо перевода работ Аристотеля на латынь, он также выпустил учебники по логике. ^[195] Позже были использованы работы исламских философов, таких как Ибн Сина и Ибн Рушд (Аверроэс). Это расширило круг древних работ, доступных средневековым христианским ученым, поскольку мусульманским ученым было доступно больше греческих работ, которые сохранились в латинских комментариях. В 1323 году была выпущена влиятельная Summa Logicae Уильяма Оккама . Это всеобъемлющий трактат по логике, в котором обсуждаются многие основные концепции логики и дается систематическое изложение типов предложений и условий их истинности. ^[196]

В китайской философии особое влияние оказали Школа имен и моизм . Школа имен сосредоточилась на использовании языка и на парадоксах. Например, Гунсунь Лун предложил парадокс белой лошади , который защищает тезис о том, что белая лошадь не является лошадью. Школа моизма также признавала важность языка для логики и пыталась связать идеи в этих областях с областью этики. ^[197]

В Индии изучением логики в первую очередь занимались школы ньяя , буддизм и джайнизм . Она не рассматривалась как отдельная академическая дисциплина, и обсуждения ее тем обычно происходили в контексте эпистемологии и теорий диалога или аргументации. ^[198] В ньяе вывод понимается как источник знания ( pramāṇa ). Он следует за восприятием объекта и пытается прийти к выводам, например, о причине этого объекта. ^[199] Подобный акцент на отношении к эпистемологии также встречается в буддийских и джайнских школах логики, где вывод используется для расширения знаний, полученных из других источников. ^[200] Некоторые из более поздних теорий ньяи, принадлежащих школе навья-ньяя , напоминают современные формы логики, такие как различие Готтлоба Фреге между смыслом и референцией и его определение числа. ^[201]

Силлогистическая логика, разработанная Аристотелем, преобладала на Западе до середины 19-го века, когда интерес к основам математики стимулировал развитие современной символической логики. ^{[202] Многие считают} Begriffsschrift Готлоба Фреге местом рождения современной логики. Идея Готфрида Вильгельма Лейбница об универсальном формальном языке часто считается предтечей. Другими пионерами были Джордж Буль , который изобрел булеву алгебру как математическую систему логики, и Чарльз Пирс , который разработал логику соотношений . Альфред Норт Уайтхед и Бертран Рассел, в свою очередь, сжато изложили многие из этих идей в своей работе Principia Mathematica . Современная логика ввела новые концепции, такие как функции , квантификаторы и реляционные предикаты. Отличительной чертой современной символической логики является использование ею формального языка для точной кодификации своих идей. В этом отношении он отходит от более ранних логиков, которые в основном полагались на естественный язык. ^[203] Особое влияние оказало развитие логики первого порядка, которая обычно рассматривается как стандартная система современной логики. ^[204] Ее аналитическая общность позволила формализовать математику и стимулировала исследование теории множеств . Она также сделала возможным подход Альфреда Тарского к теории моделей и обеспечила основу современной математической логики. ^[205]

Послушайте эту статью ( 1 час 9 минут )

Этот аудиофайл был создан на основе редакции этой статьи от 5 ноября 2023 года и не отражает последующие правки. ( 2023-11-05 )

( Аудиопомощь  · Больше устных статей )