Локально компактная квантовая группа

В математике и теоретической физике локально компактная квантовая группа — это относительно новый C*-алгебраический подход к квантовым группам , который обобщает подходы алгебры Каца , компактной квантовой группы и алгебры Хопфа . Более ранние попытки унифицированного определения квантовых групп с использованием, например, мультипликативных унитарных функций имели определенный успех, но также столкнулись с рядом технических проблем.

Одной из главных особенностей, отличающих этот новый подход от его предшественников, является аксиоматическое существование левых и правых инвариантных весов. Это дает некоммутативный аналог левых и правых мер Хаара на локально компактной группе Хаусдорфа.

Прежде чем мы сможем приступить к правильному определению локально компактной квантовой группы, нам необходимо определить ряд предварительных понятий, а также сформулировать несколько теорем.

Определение (вес). Пусть будет C*-алгеброй , и пусть обозначает множество положительных элементов . Вес на — это функция такая, что${\displaystyle А}$${\displaystyle A_{\geq 0}}$${\displaystyle А}$${\displaystyle А}$${\displaystyle \phi :A_ {\geq 0}\to [0,\infty]}$

• ${\displaystyle \phi (a_{1}+a_{2}) = \phi (a_{1})+\phi (a_{2})}$для всех , и${\displaystyle a_{1},a_{2}\in A_{\geq 0}}$
• ${\displaystyle \phi (r\cdot a)=r\cdot \phi (a)}$для всех и .${\displaystyle r\in [0,\infty )}$${\displaystyle a\in A_{\geq 0}}$

Некоторые обозначения для весов. Пусть будет весом на C*-алгебре . Мы используем следующие обозначения:${\displaystyle \фи}$${\displaystyle А}$

• ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\phi }^{+}:=\{a\in A_{\geq 0}\mid \phi (a)<\infty \}}$, который называется множеством всех положительно -интегрируемых${\displaystyle \фи}$ элементов .${\displaystyle А}$
• ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\phi }:=\{a\in A\mid \phi (a^{*}a)<\infty \}}$, который называется множеством всех -квадратно-интегрируемых элементов .${\displaystyle \phi }$${\displaystyle A}$
• ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\phi }:={\text{Span}}~{\mathcal {M}}_{\phi }^{+}={\text{Span}}~{\mathcal {N}}_{\phi }^{*}{\mathcal {N}}_{\phi }}$, который называется множеством всех -интегрируемых элементов .${\displaystyle \phi }$${\displaystyle A}$

Типы весов. Пусть будет весом на C*-алгебре .${\displaystyle \phi }$${\displaystyle A}$

• Мы говорим, что это верно тогда и только тогда, когда для каждого ненулевого .${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi (a)\neq 0}$${\displaystyle a\in A_{\geq 0}}$
• Мы говорим, что множество является полунепрерывным снизу тогда и только тогда, когда оно является замкнутым подмножеством для каждого .${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \{a\in A_{\geq 0}\mid \phi (a)\leq \lambda \}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \lambda \in [0,\infty ]}$
• Мы говорим, что является плотно определенным тогда и только тогда, когда является плотным подмножеством , или, что эквивалентно, тогда и только тогда, когда либо или является плотным подмножеством .${\displaystyle \phi }$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\phi }^{+}}$${\displaystyle A_{\geq 0}}$${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\phi }}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\phi }}$${\displaystyle A}$
• Мы говорим, что это правильно , если и только если оно не равно нулю, полунепрерывно снизу и плотно определено.${\displaystyle \phi }$

Определение (однопараметрическая группа). Пусть будет C*-алгеброй. Однопараметрическая группа на — это семейство *-автоморфизмов , удовлетворяющее для всех . Мы говорим, что является нормо-непрерывным тогда и только тогда, когда для каждого отображение, определяемое , непрерывно (неужели это следует называть сильно непрерывным?).${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \alpha =(\alpha _{t})_{t\in \mathbb {R} }}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \alpha _{s}\circ \alpha _{t}=\alpha _{s+t}}$${\displaystyle s,t\in \mathbb {R} }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle \mathbb {R} \to A}$${\displaystyle t\mapsto {\alpha _{t}}(a)}$

Определение (аналитическое расширение однопараметрической группы). Для заданной непрерывной по норме однопараметрической группы на C*-алгебре мы собираемся определить аналитическое расширение . Для каждого пусть${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle I(z):=\{y\in \mathbb {C} \mid |\Im (y)|\leq |\Im (z)|\}}$,

которая является горизонтальной полосой в комплексной плоскости. Мы называем функцию норм-регулярной тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:${\displaystyle f:I(z)\to A}$

• Он аналитичен внутри , т.е. для каждого внутри существует предел относительно топологии нормы на .${\displaystyle I(z)}$${\displaystyle y_{0}}$${\displaystyle I(z)}$${\displaystyle \displaystyle \lim _{y\to y_{0}}{\frac {f(y)-f(y_{0})}{y-y_{0}}}}$${\displaystyle A}$
• Он ограничен по норме на .${\displaystyle I(z)}$
• Он непрерывен по норме на .${\displaystyle I(z)}$

Предположим теперь, что , и пусть${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {R} }$

${\displaystyle D_{z}:=\{a\in A\mid {\text{There exists a norm-regular}}~f:I(z)\to A~{\text{such that}}~f(t)={\alpha _{t}}(a)~{\text{for all}}~t\in \mathbb {R} \}.}$

Определим с помощью . Функция однозначно определена (теорией комплексно-аналитических функций), поэтому она действительно хорошо определена. Тогда семейство называется аналитическим расширением .${\displaystyle \alpha _{z}:D_{z}\to A}$${\displaystyle {\alpha _{z}}(a):=f(z)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \alpha _{z}}$${\displaystyle (\alpha _{z})_{z\in \mathbb {C} }}$${\displaystyle \alpha }$

Теорема 1. Множество , называемое множеством аналитических элементов , является плотным подмножеством .${\displaystyle \cap _{z\in \mathbb {C} }D_{z}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

Определение (вес KMS). Пусть будет C*-алгеброй и вес на . Мы говорим, что является весом KMS ('KMS' означает 'Kubo-Martin-Schwinger') на тогда и только тогда, когда является собственным весом на и существует непрерывная по норме однопараметрическая группа на такая, что${\displaystyle A}$${\displaystyle \phi :A_{\geq 0}\to [0,\infty ]}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle A}$${\displaystyle (\sigma _{t})_{t\in \mathbb {R} }}$${\displaystyle A}$

• ${\displaystyle \phi }$инвариантен относительно , ​​т.е. для всех , и${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \phi \circ \sigma _{t}=\phi }$${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$
• для каждого у нас есть .${\displaystyle a\in {\text{Dom}}(\sigma _{i/2})}$${\displaystyle \phi (a^{*}a)=\phi (\sigma _{i/2}(a)[\sigma _{i/2}(a)]^{*})}$

Обозначим через алгебру множителей .${\displaystyle M(A)}$${\displaystyle A}$

Теорема 2. Если и являются C*-алгебрами и является невырожденным *-гомоморфизмом (т.е. является плотным подмножеством ), то мы можем единственным образом продолжиться до *-гомоморфизма .${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \pi :A\to M(B)}$${\displaystyle \pi [A]B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle {\overline {\pi }}:M(A)\to M(B)}$

Теорема 3. Если — состояние (т.е. положительный линейный функционал нормы ) на , то мы можем единственным образом продолжить его до состояния на .${\displaystyle \omega :A\to \mathbb {C} }$${\displaystyle 1}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle {\overline {\omega }}:M(A)\to \mathbb {C} }$${\displaystyle M(A)}$

Определение (Локально компактная квантовая группа). (C*-алгебраическая) локально компактная квантовая группа — это упорядоченная пара , где — C*-алгебра, а — невырожденный *-гомоморфизм, называемый коумножением , который удовлетворяет следующим четырем условиям:${\displaystyle {\mathcal {G}}=(A,\Delta )}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \Delta :A\to M(A\otimes A)}$

• Совместное умножение является коассоциативным, т.е. .${\displaystyle {\overline {\Delta \otimes \iota }}\circ \Delta ={\overline {\iota \otimes \Delta }}\circ \Delta }$
• Множества и являются линейно плотными подмножествами .${\displaystyle \left\{{\overline {\omega \otimes {\text{id}}}}(\Delta (a))~{\big |}~\omega \in A^{*},~a\in A\right\}}$${\displaystyle \left\{{\overline {{\text{id}}\otimes \omega }}(\Delta (a))~{\big |}~\omega \in A^{*},~a\in A\right\}}$${\displaystyle A}$
• Существует точный вес KMS на , который является левоинвариантным, т.е. для всех и .${\displaystyle \phi }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \phi \!\left({\overline {\omega \otimes {\text{id}}}}(\Delta (a))\right)={\overline {\omega }}(1_{M(A)})\cdot \phi (a)}$${\displaystyle \omega \in A^{*}}$${\displaystyle a\in {\mathcal {M}}_{\phi }^{+}}$
• Существует вес KMS на , который является правоинвариантным, т.е. для всех и .${\displaystyle \psi }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \psi \!\left({\overline {{\text{id}}\otimes \omega }}(\Delta (a))\right)={\overline {\omega }}(1_{M(A)})\cdot \psi (a)}$${\displaystyle \omega \in A^{*}}$${\displaystyle a\in {\mathcal {M}}_{\phi }^{+}}$

Из определения локально компактной квантовой группы можно показать, что правоинвариантный вес KMS автоматически точен. Поэтому точенность является избыточным условием и не нуждается в постулировании.${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi }$

Категория локально компактных квантовых групп допускает дуальную конструкцию, с помощью которой можно доказать, что бидуал локально компактной квантовой группы изоморфен исходной. Этот результат дает далеко идущее обобщение двойственности Понтрягина для локально компактных хаусдорфовых абелевых групп.

Теория имеет эквивалентную формулировку в терминах алгебр фон Неймана .

• Локально компактное пространство
• Локально компактное поле
• Локально компактная группа

• Йохан Кустерманс и Стефан Ваес. «Локально компактные квантовые группы». Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Том. 33, № 6 (2000), стр. 837–934.
• Томас Тиммерман. «Приглашение к квантовым группам и дуальности – от алгебр Хопфа до мультипликативных унитарных и далее». Учебники EMS по математике, Европейское математическое общество (2008).