Алгебра Каца–Муди

В математике алгебра Каца–Муди (названная в честь Виктора Каца и Роберта Муди , которые независимо и одновременно открыли их в 1968 году ^[1] ) — это алгебра Ли , обычно бесконечномерная, которая может быть определена генераторами и соотношениями через обобщенную матрицу Картана . Эти алгебры образуют обобщение конечномерных полупростых алгебр Ли , и многие свойства, связанные со структурой алгебры Ли, такие как ее корневая система , неприводимые представления и связь с многообразиями флагов , имеют естественные аналоги в задании Каца–Муди.

Класс алгебр Каца–Муди, называемых аффинными алгебрами Ли, имеет особое значение в математике и теоретической физике , особенно в двумерной конформной теории поля и теории точно решаемых моделей . Кац открыл элегантное доказательство некоторых комбинаторных тождеств, тождеств Макдональда , которое основано на теории представлений аффинных алгебр Каца–Муди. Говард Гарленд и Джеймс Леповски продемонстрировали, что тождества Роджерса–Рамануджана могут быть выведены аналогичным образом. ^[2]

Первоначальное построение Эли Картаном и Вильгельмом Киллингом конечномерных простых алгебр Ли из целых чисел Картана зависело от типа. В 1966 году Жан-Пьер Серр показал, что соотношения Клода Шевалле и Хариш-Чандры [ ^3] с упрощениями Натана Якобсона ^[4] дают определяющее представление для алгебры Ли ^[5] . Таким образом, можно было бы описать простую алгебру Ли в терминах генераторов и соотношений, используя данные из матрицы целых чисел Картана, которая, естественно, положительно определена .

«Почти одновременно в 1967 году Виктор Кац в СССР и Роберт Муди в Канаде разработали то, что впоследствии стало алгеброй Каца–Муди. Кац и Муди заметили, что если бы условия Вильгельма Киллинга были ослаблены, то все равно было бы возможно связать с матрицей Картана алгебру Ли, которая, по необходимости, была бы бесконечномерной». – А. Дж. Коулман ^[6]

В своей диссертации 1967 года Роберт Муди рассмотрел алгебры Ли, матрица Картана которых больше не является положительно определенной. ^{[7] [8]} Это все еще привело к появлению алгебры Ли, но теперь уже бесконечномерной. Одновременно в Москве изучались Z - градуированные алгебры Ли , где И. Л. Кантор ввел и изучил общий класс алгебр Ли, включая то, что в конечном итоге стало известно как алгебры Каца–Муди. ^[9] Виктор Кац также изучал простые или почти простые алгебры Ли с полиномиальным ростом. Развилась богатая математическая теория бесконечномерных алгебр Ли. Изложение предмета, которое также включает работы многих других, дано в (Kac 1990). ^[10] См. также (Seligman 1987). ^[11]

Для обобщенной матрицы Картана размером n × n можно построить алгебру Ли, определяемую генераторами , и и соотношениями, заданными формулами: ${\displaystyle C={\begin{pmatrix}c_{ij}\end{pmatrix}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}'(C)}$ ${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle h_{i}}$${\displaystyle f_{i}\left(i\in \{1,\ldots ,n\}\right)}$

• ${\displaystyle \left[h_{i},h_{j}\right]=0\ }$для всех ;${\displaystyle i,j\in \{1,\ldots ,n\}}$
• ${\displaystyle \left[h_{i},e_{j}\right]=c_{ij}e_{j}}$;
• ${\displaystyle \left[h_{i},f_{j}\right]=-c_{ij}f_{j}}$;
• ${\displaystyle \left[e_{i},f_{j}\right]=\delta _{ij}h_{i}}$, где — дельта Кронекера;${\displaystyle \delta _{ij}}$
• Если (так что ), то и , где — сопряженное представление .${\displaystyle i\neq j}$${\displaystyle c_{ij}\leq 0}$${\displaystyle {\textrm {ad}}(e_{i})^{1-c_{ij}}(e_{j})=0}$${\displaystyle \operatorname {ad} (f_{i})^{1-c_{ij}}(f_{j})=0}$${\displaystyle \operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} ({\mathfrak {g}}),\operatorname {ad} (x)(y)=[x,y],}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

При предположении «симметризуемости» отождествляется с производной подалгеброй аффинной алгебры Каца-Муди, определенной ниже. ^[12]${\displaystyle {\mathfrak {g}}'(C)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}'(C)=[{\mathfrak {g}}(C),{\mathfrak {g}}(C)]}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}(C)}$

Предположим, что нам дана обобщенная матрица Картана C = ( c _ij ) ранга r . Для каждого такого существует единственная с точностью до изоморфизма реализация , т.е. тройка ), где — комплексное векторное пространство, — подмножество элементов , а — подмножество сопряженного пространства, удовлетворяющее следующим трем условиям: ^[13]${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle ({\mathfrak {h}},\{\alpha _{i}\}_{i=1}^{n},\{\alpha _{i}^{\vee }\}_{i=1}^{n},}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle \{\alpha _{i}^{\vee }\}_{i=1}^{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle \{\alpha _{i}\}_{i=1}^{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$

1. Вектор пространства имеет размерность 2n  −  r${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$
2. Множества и линейно независимы и${\displaystyle \{\alpha _{i}\}_{i=1}^{n}}$${\displaystyle \{\alpha _{i}^{\vee }\}_{i=1}^{n}}$
3. Для каждого .${\displaystyle 1\leq i,j\leq n,\alpha _{i}\left(\alpha _{j}^{\vee }\right)=c_{ji}}$

Являются аналогами простых корней полупростой алгебры Ли, а — простым кокорням.${\displaystyle \alpha _{i}}$${\displaystyle \alpha _{i}^{\vee }}$

Затем мы определяем алгебру Каца-Муди, связанную с алгеброй Ли, определяемой генераторами и и элементами и соотношениями ${\displaystyle C}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}:={\mathfrak {g}}(C)}$ ${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle f_{i}\left(i\in \{1,\ldots ,n\}\right)}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

• ${\displaystyle \left[h,h'\right]=0\ }$для ;${\displaystyle h,h'\in {\mathfrak {h}}}$
• ${\displaystyle \left[h,e_{i}\right]=\alpha _{i}(h)e_{i}}$, для ;${\displaystyle h\in {\mathfrak {h}}}$
• ${\displaystyle \left[h,f_{i}\right]=-\alpha _{i}(h)f_{i}}$, для ;${\displaystyle h\in {\mathfrak {h}}}$
• ${\displaystyle \left[e_{i},f_{j}\right]=\delta _{ij}\alpha _{i}^{\vee }}$, где — дельта Кронекера;${\displaystyle \delta _{ij}}$
• Если (так что ), то и , где — сопряженное представление .${\displaystyle i\neq j}$${\displaystyle c_{ij}\leq 0}$${\displaystyle {\textrm {ad}}(e_{i})^{1-c_{ij}}(e_{j})=0}$${\displaystyle \operatorname {ad} (f_{i})^{1-c_{ij}}(f_{j})=0}$${\displaystyle \operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} ({\mathfrak {g}}),\operatorname {ad} (x)(y)=[x,y],}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Действительная (возможно , бесконечномерная) алгебра Ли также считается алгеброй Каца–Муди, если ее комплексификация является алгеброй Каца–Муди.

${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$является аналогом подалгебры Картана для алгебры Каца–Муди .${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Если есть элемент такой , что${\displaystyle x\neq 0}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \forall h\in {\mathfrak {h}},[h,x]=\lambda (h)x}$

для некоторых , то называется корневым вектором и является корнем . (Нулевой функционал не считается корнем по соглашению.) Множество всех корней часто обозначается , а иногда и . Для заданного корня обозначается корневое пространство ; то есть,${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}\backslash \{0\}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle R}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda }}$${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda }=\{x\in {\mathfrak {g}}:\forall h\in {\mathfrak {h}},[h,x]=\lambda (h)x\}}$.

Из определяющих соотношений следует, что и . Также, если и , то по тождеству Якоби .${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle e_{i}\in {\mathfrak {g}}_{\alpha _{i}}}$${\displaystyle f_{i}\in {\mathfrak {g}}_{-\alpha _{i}}}$${\displaystyle x_{1}\in {\mathfrak {g}}_{\lambda _{1}}}$${\displaystyle x_{2}\in {\mathfrak {g}}_{\lambda _{2}}}$${\displaystyle \left[x_{1},x_{2}\right]\in {\mathfrak {g}}_{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}$

Фундаментальным результатом теории является то, что любая алгебра Каца–Муди может быть разложена в прямую сумму и ее корневых пространств, то есть${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \bigoplus _{\lambda \in \Delta }{\mathfrak {g}}_{\lambda }}$,

и что каждый корень можно записать так, где все являются целыми числами одного знака .${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda =\sum _{i=1}^{n}z_{i}\alpha _{i}}$${\displaystyle z_{i}}$

Свойства алгебры Каца–Муди контролируются алгебраическими свойствами ее обобщенной матрицы Картана C. Для классификации алгебр Каца–Муди достаточно рассмотреть случай неразложимой матрицы C , то есть предположить, что не существует разложения множества индексов I в несвязное объединение непустых подмножеств I ₁ и I ₂ такого, что C _ij = 0 для всех i из I ₁ и j из I _2. Любое разложение обобщенной матрицы Картана приводит к разложению в прямую сумму соответствующей алгебры Каца–Муди:

${\displaystyle {\mathfrak {g}}(C)\simeq {\mathfrak {g}}\left(C_{1}\right)\oplus {\mathfrak {g}}\left(C_{2}\right),}$

где две алгебры Каца–Муди в правой части связаны с подматрицами C, соответствующими индексным множествам I ₁ и I ₂ .

Важный подкласс алгебр Каца–Муди соответствует симметризуемым обобщенным матрицам Картана C , которые могут быть разложены как DS , где D — диагональная матрица с положительными целыми элементами, а S — симметричная матрица . При предположениях, что C симметризуема и неразложима, алгебры Каца–Муди делятся на три класса:

• Положительно определенная матрица S порождает конечномерную простую алгебру Ли .
• Положительно полуопределенная матрица S порождает бесконечномерную алгебру Каца–Муди аффинного типа или аффинную алгебру Ли .
• Неопределенная матрица S порождает алгебру Каца–Муди неопределенного типа .
• Поскольку диагональные элементы C и S положительны, S не может быть отрицательно определенным или отрицательно полуопределенным.

Симметризуемые неразложимые обобщенные матрицы Картана конечного и аффинного типа были полностью классифицированы. Они соответствуют диаграммам Дынкина и аффинным диаграммам Дынкина . Мало что известно об алгебрах Каца–Муди неопределенного типа, хотя группы, соответствующие этим алгебрам Каца–Муди, были построены над произвольными полями Жаком Титсом. ^[14]

Среди алгебр Каца–Муди неопределенного типа большинство работ было сосредоточено на гиперболических типах , для которых матрица S неопределена, но для каждого собственного подмножества I соответствующая подматрица положительно определена или положительно полуопределена. Гиперболические алгебры Каца–Муди имеют ранг не более 10, и они были полностью классифицированы. ^[15] Существует бесконечно много алгебр ранга 2 и 238 рангов от 3 до 10 .

• Формула характера Вейля–Каца
• Обобщенная алгебра Каца–Муди
• Интегрируемый модуль
• Чудовищный самогон

• SIGMA: Специальный выпуск по алгебрам Каца–Муди и их приложениям