Компактная квантовая группа

Для проверки этой статьи нужны дополнительные цитаты . Помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Материалы без ссылок могут быть оспорены и удалены. Найти источники:  "Compact quantum group" – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( декабрь 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В математике компактные квантовые группы являются обобщениями компактных групп , где коммутативная -алгебра непрерывных комплекснозначных функций на компактной группе обобщается до абстрактной структуры на не обязательно коммутативной унитальной -алгебре, которая играет роль «алгебры непрерывных комплекснозначных функций на компактной квантовой группе». ^[1]${\displaystyle \mathrm {C} ^{*}}$${\displaystyle \mathrm {C} ^{*}}$

Основная мотивация этой теории исходит из следующей аналогии. Пространство комплекснозначных функций на компактном хаусдорфовом топологическом пространстве образует коммутативную C*-алгебру. С другой стороны, по теореме Гельфанда коммутативная C*-алгебра изоморфна C*-алгебре непрерывных комплекснозначных функций на компактном хаусдорфовом топологическом пространстве, а топологическое пространство однозначно определяется C*-алгеброй с точностью до гомеоморфизма .

SL Woronowicz ^[2] ввел важное понятие компактных матричных квантовых групп , которые он первоначально назвал компактными псевдогруппами . Компактные матричные квантовые группы — это абстрактные структуры, на которых «непрерывные функции» на структуре задаются элементами C*-алгебры. Геометрия компактной матричной квантовой группы является частным случаем некоммутативной геометрии .

Для компактной топологической группы G существует гомоморфизм C*-алгебры

${\displaystyle \Delta :C(G)\to C(G)\otimes C(G)}$

где C ( G ) ⊗ C ( G ) — минимальное тензорное произведение C*-алгебры — пополнение алгебраического тензорного произведения C ( G ) и C ( G ) ) — такое, что

${\displaystyle \Дельта (f)(x,y)=f(xy)}$

для всех и для всех , где${\displaystyle f\in C(G)}$${\displaystyle x,y\in G}$

${\displaystyle (f\otimes g)(x,y)=f(x)g(y)}$

для всех и всех . Существует также линейное мультипликативное отображение${\displaystyle f,g\in C(G)}$${\displaystyle x,y\in G}$

${\displaystyle \kappa :C(G)\to C(G)}$,

такой что

${\displaystyle \каппа (f)(x)=f(x^{-1})}$

для всех и всех . Строго говоря, это не превращает C ( G ) в алгебру Хопфа , если только G не конечна.${\displaystyle f\in C(G)}$${\displaystyle x\in G}$

С другой стороны, конечномерное представление G может быть использовано для генерации *-подалгебры C ( G ) , которая также является *-алгеброй Хопфа. В частности, если

${\displaystyle g\mapsto (u_{ij}(g))_{i,j}}$

является n -мерным представлением G , тогда

${\displaystyle u_{ij}\in C(G)}$

для всех i , j и

${\displaystyle \Delta (u_{ij})=\sum _{k}u_{ik} \otimes u_{kj}}$

для всех i , j . Отсюда следует, что *-алгебра, порожденная для всех i , j и для всех i , j является *-алгеброй Хопфа: коединица определяется${\displaystyle u_{ij}}$${\displaystyle \ каппа (u_ {ij})}$

${\displaystyle \epsilon (u_{ij})=\delta _{ij}}$

для всех (где — дельта Кронекера ), антипод — κ , а единица измерения определяется как${\displaystyle я,j}$${\displaystyle \delta _{ij}}$

${\ displaystyle 1 = \ sum _ {k} u_ {1k} \ каппа (u_ {k1}) = \ sum _ {k} \ каппа (u_ {1k}) u_ {k1}.}$

В качестве обобщения компактная матричная квантовая группа определяется как пара ( C , u ) , где C — C*-алгебра, а

${\displaystyle u=(u_{ij})_{i,j=1,\dots,n}}$

представляет собой матрицу с элементами в C, такую ​​что

• *-подалгебра C ₀ алгебры C , которая порождается матричными элементами u , плотна в C ;
• Существует гомоморфизм C*-алгебры, называемый коумножением, Δ : C → C ⊗ C (здесь C ⊗ C — тензорное произведение C*-алгебры — пополнение алгебраического тензорного произведения C и C ), такой что

${\displaystyle \forall i,j:\qquad \Delta (u_{ij})=\sum _{k}u_{ik}\otimes u_{kj};}$

• Существует линейное антимультипликативное отображение, называемое коинверсией, κ  : C ₀ → C ₀ такое, что для всех и где I — единичный элемент C. Поскольку κ является антимультипликативным, κ ( vw ) = κ ( w ) κ ( v ) для всех .${\displaystyle \kappa (\kappa (v*)*)=v}$${\displaystyle v\in C_{0}}$${\displaystyle \sum _{k}\kappa (u_{ik})u_{kj}=\sum _{k}u_{ik}\kappa (u_{kj})=\delta _{ij}I,}$${\displaystyle v,w\in C_{0}}$

Вследствие непрерывности коумножение на C является коассоциативным.

В общем случае C является биалгеброй, а C ₀ является *-алгеброй Хопфа.

Неформально C можно рассматривать как *-алгебру непрерывных комплекснозначных функций над компактной матричной квантовой группой, а u можно рассматривать как конечномерное представление компактной матричной квантовой группы.

Для C*-алгебр A и B, действующих в гильбертовых пространствах H и K соответственно, их минимальное тензорное произведение определяется как пополнение нормы алгебраического тензорного произведения A ⊗ B в B ( H ⊗ K ) ; пополнение нормы также обозначается как A ⊗ B .

Компактная квантовая группа ^{[3] [4]} определяется как пара ( C , Δ) , где C — унитальная C*-алгебра и

• Δ : C → C ⊗ C — унитальный *-гомоморфизм, удовлетворяющий (Δ ⊗ id) Δ = (id ⊗ Δ) Δ ;
• множества {( C ⊗ 1) Δ( C )} и {(1 ⊗ C ) Δ( C )} плотны в C ⊗ C .

Представление компактной матричной квантовой группы задается корепрезентацией * -алгебры Хопфа ^[5]. Кроме того, представление v называется унитарным, если матрица для v является унитарной, или, что эквивалентно, если

${\displaystyle \forall i,j:\qquad \kappa (v_{ij})=v_{ji}^{*}.}$

Примером компактной матричной квантовой группы является SU _μ (2) [ ^6] , где параметр μ — положительное действительное число.

SU _μ (2) = ( C (SU _μ (2)), u ) , где C (SU _μ (2)) — это C*-алгебра, порожденная α и γ , при условии

${\displaystyle \gamma \gamma ^{*}=\gamma ^{*}\gamma ,\ \alpha \gamma =\mu \gamma \alpha ,\ \alpha \gamma ^{*}=\mu \gamma ^{*}\alpha ,\ \alpha \alpha ^{*}+\mu \gamma ^{*}\gamma =\alpha ^{*}\alpha +\mu ^{-1}\gamma ^{*}\gamma =I,}$

и

${\displaystyle u=\left({\begin{matrix}\alpha &\gamma \\-\gamma ^{*}&\alpha ^{*}\end{matrix}}\right),}$

так что коумножение определяется как , а кообратное определяется как . Обратите внимание, что u является представлением, но не унитарным представлением . u эквивалентно унитарному представлению ${\displaystyle \Delta (\alpha )=\alpha \otimes \alpha -\gamma \otimes \gamma ^{*},\Delta (\gamma )=\alpha \otimes \gamma +\gamma \otimes \alpha ^{*}}$${\displaystyle \kappa (\alpha )=\alpha ^{*},\kappa (\gamma )=-\mu ^{-1}\gamma ,\kappa (\gamma ^{*})=-\mu \gamma ^{*},\kappa (\alpha ^{*})=\alpha }$

${\displaystyle v=\left({\begin{matrix}\alpha &{\sqrt {\mu }}\gamma \\-{\frac {1}{\sqrt {\mu }}}\gamma ^{*}&\alpha ^{*}\end{matrix}}\right).}$

SU _μ (2) = ( C (SU _μ (2)), w ) , где C (SU _μ (2)) — это C*-алгебра, порожденная α и β , при условии

${\displaystyle \beta \beta ^{*}=\beta ^{*}\beta ,\ \alpha \beta =\mu \beta \alpha ,\ \alpha \beta ^{*}=\mu \beta ^{*}\alpha ,\ \alpha \alpha ^{*}+\mu ^{2}\beta ^{*}\beta =\alpha ^{*}\alpha +\beta ^{*}\beta =I,}$

и

${\displaystyle w=\left({\begin{matrix}\alpha &\mu \beta \\-\beta ^{*}&\alpha ^{*}\end{matrix}}\right),}$

так что коумножение определяется как , а коинверсия определяется как , . Обратите внимание, что w является унитарным представлением. Реализации могут быть идентифицированы путем приравнивания .${\displaystyle \Delta (\alpha )=\alpha \otimes \alpha -\mu \beta \otimes \beta ^{*},\Delta (\beta )=\alpha \otimes \beta +\beta \otimes \alpha ^{*}}$${\displaystyle \kappa (\alpha )=\alpha ^{*},\kappa (\beta )=-\mu ^{-1}\beta ,\kappa (\beta ^{*})=-\mu \beta ^{*}}$${\displaystyle \kappa (\alpha ^{*})=\alpha }$${\displaystyle \gamma ={\sqrt {\mu }}\beta }$

Если μ = 1 , то SU _μ (2) равна конкретной компактной группе SU(2) .