формула характера Кириллова

В математике для группы Ли метод орбит Кириллова дает эвристический метод в теории представлений . Он связывает преобразования Фурье коприсоединенных орбит , лежащих в дуальном пространстве алгебры Ли группы G , с бесконечно малыми характерами неприводимых представлений . Метод получил свое название в честь русского математика Александра Кириллова .${\displaystyle G}$

В простейшем случае он утверждает, что характер группы Ли может быть задан преобразованием Фурье дельта - функции Дирака , поддерживаемой на коприсоединённых орбитах, взвешенной квадратным корнем якобиана экспоненциального отображения , обозначаемого . Он не применим ко всем группам Ли, но работает для ряда классов связных групп Ли, включая нильпотентные , некоторые полупростые группы и компактные группы .${\displaystyle j}$

Метод орбит Кириллова привел к ряду важных достижений в теории Ли, включая изоморфизм Дюфло и отображение оборачивания.

Пусть — наибольший вес неприводимого представления , где — двойственное представление алгебры Ли максимального тора , и пусть — половина суммы положительных корней .${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {t}}^{*}}$ ${\displaystyle \пи}$${\displaystyle {\mathfrak {t}}^{*}}$${\displaystyle \ро}$

Обозначим через коприсоединенную орбиту через и через -инвариантную меру на с полной массой , известную как мера Лиувилля . Если - характер представления , формула характера Кириллова для компактных групп Ли задается как${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\lambda +\rho }}$${\displaystyle \lambda +\rho \in {\mathfrak {t}}^{*}}$${\displaystyle \mu _ {\lambda +\rho }}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\lambda +\rho }}$${\displaystyle \dim \pi =d_{\lambda }}$${\displaystyle \chi _{\lambda }}$

${\displaystyle j^{1/2}(X)\chi _{\lambda }(\exp X)=\int _{{\mathcal {O}}_{\lambda +\rho }}e^{i \beta (X)}d\mu _{\lambda +\rho }(\beta),\;\forall \;X\in {\mathfrak {g}}}$,

где — якобиан экспоненциального отображения.${\displaystyle j(X)}$

Для случая SU(2) наибольшие веса — это положительные половинные целые числа, и . Коприсоединенные орбиты — это двумерные сферы радиуса с центром в начале координат в трехмерном пространстве.${\displaystyle \ро =1/2}$${\displaystyle \лямбда +1/2}$

С помощью теории функций Бесселя можно показать, что

${\displaystyle \int _{{\mathcal {O}}_{\lambda +1/2}}e^{i\beta (X)}d\mu _{\lambda +1/2}(\beta )={\frac {\sin((2\lambda +1)X)}{X/2}},\;\forall \;X\in {\mathfrak {g}},}$

и

${\displaystyle j(X)={\frac {\sin X/2}{X/2}}}$

таким образом, получая символы SU (2):

${\displaystyle \chi _{\lambda }(\exp X)={\frac {\sin((2\lambda +1)X)}{\sin X/2}}}$

• Формула характера Вейля
• Формула локализации для эквивариантных когомологий

• Кириллов, А.А., Лекции по методу орбит , Аспирантура по математике , 64, AMS, Род-Айленд, 2004.