Локализованно-защищенный квантовый порядок

Многочастичная локализация (МБЛ) — это динамическое явление, которое приводит к нарушению равновесной статистической механики в изолированных многочастичных системах. Такие системы никогда не достигают локального теплового равновесия и сохраняют локальную память о своих начальных условиях в течение бесконечного времени. В этих неравновесных системах все еще можно определить понятие фазовой структуры. Поразительно, что МБЛ может даже допускать новые виды экзотических порядков, которые запрещены в тепловом равновесии — явление, которое называется локализационно -защищенным квантовым порядком (LPQO) или порядком собственного состояния. ^{[1] [2] [3] [4] [5]}

Изучение фаз материи и переходов между ними было центральным направлением в физике на протяжении более столетия. Одна из самых ранних парадигм для объяснения структуры фаз, связанная в основном с Ландау, классифицирует фазы в соответствии со спонтанным нарушением глобальных симметрий, присутствующих в физической системе. Совсем недавно мы также добились больших успехов в понимании топологических фаз материи, которые лежат за пределами рамок Ландау: порядок в топологических фазах не может быть охарактеризован локальными моделями нарушения симметрии, а вместо этого закодирован в глобальных моделях квантовой запутанности .

Весь этот замечательный прогресс покоится на фундаменте равновесной статистической механики. Фазы и фазовые переходы четко определены только для макроскопических систем в термодинамическом пределе, и статистическая механика позволяет нам делать полезные предсказания относительно таких макроскопических систем со многими (~ 10 ²³ ) составными частицами. Фундаментальное предположение статистической механики заключается в том, что системы в общем достигают состояния теплового равновесия (такого как состояние Гиббса), которое можно охарактеризовать только несколькими параметрами, такими как температура или химический потенциал. Традиционно фазовая структура изучается путем изучения поведения «параметров порядка» в равновесных состояниях. При нулевой температуре они оцениваются в основном состоянии системы, и различные фазы соответствуют различным квантовым порядкам (топологическим или иным). Тепловое равновесие сильно ограничивает разрешенные порядки при конечных температурах. В общем случае тепловые флуктуации при конечных температурах уменьшают дальнодействующие квантовые корреляции, присутствующие в упорядоченных фазах, и в более низких измерениях могут полностью разрушить порядок. Например, теоремы Пайерлса-Мермина-Вагнера доказывают, что одномерная система не может спонтанно нарушить непрерывную симметрию при любой ненулевой температуре.

Недавний прогресс в изучении явления локализации многих тел выявил классы общих (обычно неупорядоченных) систем многих тел, которые никогда не достигают локального теплового равновесия и, таким образом, лежат за рамками равновесной статистической механики. ^{[6] [7] [8] [9 ] [10] [11] [1]} Системы MBL могут претерпевать динамический фазовый переход в термальную фазу, когда настраиваются такие параметры, как беспорядок или сила взаимодействия, и природа фазового перехода MBL в термическую является активной областью исследований. Существование MBL поднимает интересный вопрос о том, могут ли существовать различные виды фаз MBL, так же как существуют различные виды термализационных фаз. Примечательно, что ответ утвердительный, и неравновесные системы также могут демонстрировать богатую фазовую структуру. Более того, подавление тепловых флуктуаций в локализованных системах может даже допускать новые виды порядка, которые запрещены в равновесии, что является сутью квантового порядка, защищенного локализацией. ^[1] Недавнее открытие временных кристаллов в периодически управляемых системах MBL является ярким примером этого явления. ^{[12] [13] [14] [15] [16]}

Изучение структуры фазы в локализованных системах требует от нас сначала сформулировать четкое понятие фазы, далекой от теплового равновесия. Это делается с помощью понятия порядка собственного состояния : ^[1] можно измерить параметры порядка и корреляционные функции в индивидуальных энергетических собственных состояниях многочастичной системы, вместо усреднения по нескольким собственным состояниям, как в состоянии Гиббса. Ключевым моментом является то, что индивидуальные собственные состояния могут показывать закономерности порядка, которые могут быть невидимы для термодинамических средних по собственным состояниям. Действительно, термодинамическое ансамблевое среднее даже не подходит для систем MBL, поскольку они никогда не достигают теплового равновесия. Более того, хотя индивидуальные собственные состояния сами по себе экспериментально недоступны, порядок в собственных состояниях, тем не менее, имеет измеримые динамические сигнатуры. Свойства собственного спектра изменяются сингулярным образом, когда система переходит из одного типа фазы MBL в другой или из фазы MBL в тепловую — снова с измеримыми динамическими сигнатурами.

При рассмотрении порядка собственных состояний в системах MBL обычно говорят о высоковозбужденных собственных состояниях при плотностях энергии, которые соответствовали бы высоким или бесконечным температурам, если бы система могла термализоваться. В термализирующейся системе температура определяется через , где энтропия максимальна вблизи середины спектра многих тел (соответствующей ) и исчезает вблизи краев спектра (соответствующей ). Таким образом, «собственные состояния с бесконечной температурой» — это те, которые берутся вблизи середины спектра, и правильнее ссылаться на плотности энергии, а не на температуры, поскольку температура определяется только в равновесии. В системах MBL подавление тепловых флуктуаций означает, что свойства высоковозбужденных собственных состояний во многих отношениях аналогичны свойствам основных состояний щелевых локальных гамильтонианов. Это позволяет продвигать различные формы порядка основного состояния к конечным плотностям энергии.${\displaystyle T=\left({\frac {dS}{dE}}\right)^{-1}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T=\infty}$${\displaystyle T=0^{\pm }}$

Мы отмечаем, что в термализирующих системах MB понятие порядка собственных состояний согласуется с обычным определением фаз. Это происходит потому, что гипотеза термализации собственных состояний (ETH) подразумевает, что локальные наблюдаемые (такие как параметры порядка), вычисленные в отдельных собственных состояниях, согласуются с вычисленными в состоянии Гиббса при температуре, соответствующей плотности энергии собственного состояния. С другой стороны, системы MBL не подчиняются ETH, а близлежащие многочастичные собственные состояния имеют совершенно разные локальные свойства. Это то, что позволяет отдельным собственным состояниям MBL демонстрировать порядок, даже если термодинамические средние не позволяют этого делать.

Локализация позволяет нарушать порядки симметрии при конечных плотностях энергии, что запрещено в равновесии теоремами Пайерлса-Мермина-Вагнера.

Проиллюстрируем это на конкретном примере неупорядоченной поперечной полевой цепочки Изинга в одном измерении: ^{[17] [1] [2]}

${\displaystyle H=\sum _{i=1}^{L}J_{i}\sigma _{i}^{z}\sigma _{i+1}^{z}+h_{i}\sigma _{i}^{x}+J_{\rm {int}}(\sigma _{i}^{z}\sigma _{i+2}^{z}+\sigma _{i}^{z}\sigma _{i+1}^{z})}$

где — операторы Паули со спином 1/2 в цепочке длины , все связи — положительные случайные числа, взятые из распределений со средними , а система имеет симметрию Изинга, соответствующую переворачиванию всех спинов в базисе. Термин вводит взаимодействия, и система отображается в модель свободных фермионов ( цепь Китаева ), когда .${\displaystyle \сигма _{i}^{x/y/z}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \{J_{i},h_{i}\}}$${\displaystyle {\overline {J}}, {\overline {h}}}$${\displaystyle P=\prod _{i}\sigma _{i}^{x}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle J_{\rm {int}}}$${\displaystyle J_{\rm {int}}=0}$

Давайте сначала рассмотрим чистую, невзаимодействующую систему: . В равновесии основное состояние ферромагнитно упорядочено со спинами, выровненными вдоль оси для , но является парамагнетиком для и при любой конечной температуре (рис. 1а). Глубоко в упорядоченной фазе система имеет два вырожденных симметричных основных состояния Изинга, которые выглядят как «кот Шредингера» или состояния суперпозиции: . Они демонстрируют дальний порядок:${\displaystyle J_{i}=J,\;h_{i}=h,\;J_{\rm {int}}=0}$${\displaystyle z}$${\displaystyle J>ч}$${\displaystyle J<h}$${\displaystyle |\psi _{0}^{\pm }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \rangle \pm |\downarrow \downarrow \cdots \downarrow \rangle )}$

${\displaystyle \lim _{|ij|\rightarrow \infty}\lim _{L\rightarrow \infty}\langle \psi _{0}^{\pm }|\sigma _{i}^{z}\ сигма _{j}^{z}|\psi _{0}^{\pm }\rangle -\langle \psi _{0}^{\pm }|\sigma _{i}^{z}|\psi _{0}^{\pm }\rangle \langle \psi _{0}^{\pm }|\sigma _{j}^{z}|\psi _ {0}^{\pm }\rangle >0.}$

При любой конечной температуре тепловые флуктуации приводят к конечной плотности делокализованных доменных стенок, поскольку энтропийный выигрыш от создания этих доменных стенок превосходит энергетические затраты в одном измерении. Эти флуктуации разрушают дальний порядок, поскольку наличие флуктуирующих доменных стенок разрушает корреляцию между удаленными спинами.

При включении беспорядка возбуждения в невзаимодействующей модели ( ) локализуются из-за локализации Андерсона . Другими словами, доменные стенки закрепляются беспорядком, так что общее высоковозбужденное собственное состояние для выглядит как , где относится к собственному состоянию, а шаблон зависит от собственного состояния. ^{[1] [2]} Обратите внимание, что функция спин-спиновой корреляции, вычисленная в этом состоянии, не равна нулю для произвольно удаленных спинов, но имеет флуктуирующий знак в зависимости от того, пересекается ли четное/нечетное число доменных стенок между двумя узлами. Отсюда мы говорим, что система имеет дальний спин- стекольный (SG) порядок. Действительно, для локализация способствует переходу основного ферромагнитного порядка в спин-стекольный порядок в высоковозбужденных состояниях при всех плотностях энергии (рис. 1b). Если усреднить по собственным состояниям, как в тепловом состоянии Гиббса, флуктуирующие знаки заставят корреляцию усредняться, как того требует теорема Пайерлса, запрещающая нарушение симметрии дискретных симметрий при конечных температурах в 1D. Для система является парамагнитной (ПМ), а собственные состояния глубоко в ПМ выглядят как состояния-произведения в базисе и не показывают дальний порядок Изинга: . Переход между локализованным ПМ и локализованным СГ при принадлежит к классу универсальности бесконечной случайности. ^[17]${\displaystyle J_{\rm {int}}=0}$${\displaystyle {\overline {J}}\gg {\overline {h}}}$${\displaystyle |\psi _{\rm {SG}}^{n,\pm }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|\uparrow \uparrow \downarrow \downarrow \downarrow \uparrow \uparrow \cdots \rangle \pm |\downarrow \downarrow \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \downarrow \downarrow \downarrow \cdots \rangle }$${\displaystyle n}$${\displaystyle n^{\text{й}}}$${\displaystyle {\overline {J}}>{\overline {h}}}$${\displaystyle {\overline {J}}<{\overline {h}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle |\psi _{\rm {PM}}^{n}\rangle =|\rightarrow \rightarrow \leftarrow \leftarrow \leftarrow \rightarrow \cdots \rangle }$${\displaystyle {\overline {J}}={\overline {h}}}$

При включении слабых взаимодействий изолятор Андерсона остается локализованным многими телами, а порядок сохраняется глубоко в фазах PM/SG. Достаточно сильные взаимодействия разрушают MBL, и система переходит в термализирующую фазу. Судьба перехода MBL PM в MBL SG при наличии взаимодействий в настоящее время не определена, и, вероятно, этот переход происходит через промежуточную термическую фазу (рис. 1c).${\displaystyle J_{\rm {int}}\neq 0}$

Хотя вышеприведенное обсуждение относится к точной диагностике LPQO, полученной путем оценки параметров порядка и корреляционных функций в отдельных высоковозбужденных собственных состояниях многих тел, такие величины практически невозможно измерить экспериментально. Тем не менее, даже если отдельные собственные состояния сами по себе экспериментально недоступны, порядок в собственных состояниях имеет измеримые динамические сигнатуры. Другими словами, измерение локальной физически доступной наблюдаемой во времени, начиная с физически подготовленного начального состояния, все еще содержит точные сигнатуры порядка собственных состояний.

Например, для неупорядоченной цепочки Изинга, обсуждавшейся выше, можно подготовить случайные начальные состояния с нарушенной симметрией, которые являются состояниями-продуктами в базисе: . Эти случайно выбранные состояния находятся при бесконечной температуре. Затем можно измерить локальную намагниченность во времени, которая действует как параметр порядка для нарушения симметрии. Несложно показать, что насыщается до ненулевого значения даже для бесконечно поздних времен в фазе спинового стекла с нарушенной симметрией, в то время как она спадает до нуля в парамагнетике. Сингулярность в свойствах собственного спектра при переходе между локализованными фазами SG и PM преобразуется в резкий динамический фазовый переход, который можно измерить. Действительно, хорошим примером этого являются недавние эксперименты ^{[15] [16],} обнаруживающие временные кристаллы в системах Флоке MBL, где фаза временного кристалла спонтанно нарушает как временную трансляционную симметрию, так и пространственную симметрию Изинга, показывая коррелированный пространственно-временной порядок собственных состояний.${\displaystyle z}$${\displaystyle |\psi _{0}\rangle =|\uparrow \downarrow \downarrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow \downarrow \rangle }$${\displaystyle \langle \sigma _{i}^{z}\rangle }$${\displaystyle \langle \psi _{0}(t)|\sigma _{i}^{z}|\psi _{0}(t)\rangle }$

Подобно случаю нарушения порядка симметрии, тепловые флуктуации при конечных температурах могут уменьшить или разрушить квантовые корреляции, необходимые для топологического порядка. И снова локализация может обеспечить такие порядки в режимах, запрещенных равновесием. Это происходит как для так называемых дальнодействующих запутанных топологических фаз, так и для защищенных симметрией или короткодействующих запутанных топологических фаз. Теория торического кода / калибровки в 2D является примером первой, и топологический порядок в этой фазе может быть диагностирован операторами петли Вильсона . Топологический порядок разрушается в равновесии при любой конечной температуре из-за флуктуирующих вихрей --- однако они могут быть локализованы беспорядком, обеспечивая стеклянный локализационно-защищенный топологический порядок при конечных плотностях энергии. ^[12] С другой стороны, защищенные симметрией топологические (SPT) фазы действительно имеют какой-либо объемный дальний порядок и отличаются от тривиальных парамагнетиков из-за наличия когерентных бесщелевых краевых мод, пока присутствует защитная симметрия. В равновесии эти краевые моды обычно разрушаются при конечных температурах, поскольку они декогерируют из-за взаимодействия с делокализованными объемными возбуждениями. И снова локализация защищает когерентность этих мод даже при конечных плотностях энергии! ^{[18] [19]} Наличие топологического порядка, защищенного локализацией, может потенциально иметь далеко идущие последствия для разработки новых квантовых технологий, допуская квантовые когерентные явления при высоких энергиях.${\displaystyle Z_{2}}$

Было показано, что периодически управляемые или Флоке-системы также могут быть локализованы многими телами при подходящих условиях привода. ^{[20] [21]} Это примечательно, поскольку обычно ожидается, что управляемая многочастичная система просто нагреется до тривиального бесконечного температурного состояния (состояние максимальной энтропии без сохранения энергии). Однако с помощью MBL этого нагрева можно избежать, и можно снова получить нетривиальные квантовые порядки в собственных состояниях унитарного Флоке, который является оператором эволюции во времени для одного периода. Наиболее ярким примером этого является временной кристалл, фаза с дальним пространственно-временным порядком и спонтанным нарушением симметрии временного переноса. ^{[12] [13] [14] [15] [16]} Эта фаза запрещена в тепловом равновесии, но может быть реализована в условиях MBL Флоке.