Китаевская цепь
Модель топологических сверхпроводников в физике

В физике конденсированного состояния цепь Китаева является упрощенной моделью топологического сверхпроводника . Она моделирует одномерную решетку с майорановскими связанными состояниями . Цепь Китаева использовалась в качестве игрушечной модели полупроводниковых нанопроводов для разработки топологических квантовых компьютеров . [1] [2] Модель была впервые предложена Алексеем Китаевым в 2000 году. [3]

Описание

Гамильтониан

Гамильтониан сильной связи в цепи Китаева рассматривает одномерную решетку с N узлами и бесспиновыми частицами при нулевой температуре, подверженную взаимодействиям ближайших соседей, заданным в формализме вторичного квантования как [4]

ЧАС = − μ ∑ дж = 1 Н ( с дж † с дж − 1 2 ) + ∑ дж = 1 Н − 1 [ − т ( с дж + 1 † с дж + с дж † с дж + 1 ) + | Δ | ( с дж + 1 † с дж † + с дж с дж + 1 ) ] {\displaystyle H=-\mu \sum _{j=1}^{N}\left(c_{j}^{\dagger }c_{j}-{\frac {1}{2}}\right)+\sum _{j=1}^{N-1}\left[-t\left(c_{j+1}^{\dagger }c_{j}+c_{j}^{\dagger }c_{j+1}\right)+|\Delta |\left(c_{j+1}^{\dagger }c_{j}^{\dagger }+c_{j}c_{j+1}\right)\right]}

где - химический потенциал , - операторы рождения и уничтожения , - энергия, необходимая для того, чтобы частица перескочила из одного места решетки в другое, - индуцированная сверхпроводящая щель (спаривание p-волн), - когерентная сверхпроводящая фаза. Этот гамильтониан имеет симметрию частица-дырка, а также симметрию обращения времени . [5] μ {\displaystyle \мю} с дж † , с дж {\displaystyle c_{j}^{\dagger},c_{j}} т ≥ 0 {\displaystyle т\geq 0} Δ = | Δ | е я θ {\displaystyle \Delta =|\Delta |e^{i\theta }} θ {\displaystyle \тета}

Гамильтониан можно переписать с использованием операторов Майораны, заданных формулой [4]

{ γ дж А = с дж † + с дж γ дж Б = я ( с дж † − с дж ) {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\gamma _{j}^{A}=c_{j}^{\dagger }+c_{j}\\\gamma _{j}^{B}=i(c_{j}^{\dagger }-c_{j})\end{matrix}}\right.} ,

которые можно рассматривать как действительную и мнимую части оператора создания . Эти операторы Майораны являются эрмитовыми операторами и антикоммутируют , с дж = 1 2 ( γ дж А + я γ дж Б ) {\displaystyle c_{j}={\tfrac {1}{2}}(\gamma _{j}^{A}+i\gamma _{j}^{B})}

{ γ дж А , γ к Б } = 2 δ дж к {\displaystyle \{\gamma _{j}^{A},\gamma _{k}^{B}\}=2\delta _{jk}} .

Используя эти операторы, гамильтониан можно переписать как [4]

ЧАС = − я μ 2 ∑ дж = 1 Н γ дж Б γ дж А + я 2 ∑ дж = 1 Н − 1 ( ω + γ дж Б γ дж + 1 А + ω − γ дж + 1 Б γ дж А ) {\displaystyle H=-{\frac {i\mu}{2}}\sum _{j=1}^{N}\gamma _{j}^{B}\gamma _{j}^{A}+{\frac {i}{2}}\sum _{j=1}^{N-1}\left(\omega _{+}\gamma _{j}^{B}\gamma _{j+1}^{A}+\omega _{-}\gamma _{j+1}^{B}\gamma _{j}^{A}\right)}

где . ω ± = | Δ | ± т {\displaystyle \omega _{\pm }=|\Delta |\pm t}

Тривиальная фаза

В пределе получаем следующий гамильтониан т = | Δ | → 0 {\displaystyle t=|\Delta |\to 0}

ЧАС = − я μ 2 ∑ дж = 1 Н γ дж Б γ дж А {\displaystyle H=-{\frac {i\mu}{2}}\sum _{j=1}^{N}\gamma _{j}^{B}\gamma _{j}^{A}}

где операторы Майораны связаны на одном сайте. Это условие считается топологически тривиальной фазой. [5]

Нетривиальная фаза

В пределе и получаем следующий гамильтониан μ → 0 {\displaystyle \mu \to 0} | Δ | → т {\displaystyle |\Дельта |\to t}

ЧАС М = я т ∑ дж = 1 Н − 1 γ дж Б γ дж + 1 А {\displaystyle H_{\rm {M}}=it\sum _{j=1}^{N-1}\gamma _{j}^{B}\gamma _{j+1}^{A}}

где каждый оператор Майораны связан с оператором Майораны другого вида в следующем месте. При назначении нового оператора фермиона гамильтониан диагонализируется, как с ~ дж = 1 2 ( γ дж Б + я γ дж + 1 А ) {\displaystyle {\tilde {c}}_{j}={\tfrac {1}{2}}(\gamma _{j}^{B}+i\gamma _{j+1}^{A} )}

ЧАС М = 2 т ∑ дж = 1 Н − 1 ( с ~ дж † с ~ дж + 1 2 ) {\displaystyle H_{\rm {M}}=2t\sum _{j=1}^{N-1}\left({\tilde {c}}_{j}^{\dagger }{\tilde {c}}_{j}+{\frac {1}{2}}\right)}

который описывает новый набор из N -1 квазичастиц Боголюбова с энергией t . Отсутствующая мода, заданная парами операторов Майораны из двух конечных точек цепи, поскольку эта мода не появляется в гамильтониане, она требует нулевой энергии. Эта мода называется нулевой модой Майораны и сильно делокализована. Поскольку наличие этой моды не изменяет полную энергию, основное состояние является дважды вырожденным. [4] Это состояние является топологической сверхпроводящей нетривиальной фазой. [5] с ~ М = 1 2 ( γ Н Б + я γ 1 А ) {\displaystyle {\tilde {c}}_{\rm {M}}={\tfrac {1}{2}}(\gamma _{N}^{B}+i\gamma _{1}^{A})}

Существование нулевой моды Майораны топологически защищено от малых возмущений из-за соображений симметрии . Для цепочки Китаева нулевая мода Майораны сохраняется до тех пор, пока и сверхпроводящая щель конечна. [6] Надежность этих мод делает их кандидатом на кубиты в качестве основы для топологического квантового компьютера . [7] μ < 2 т {\displaystyle \mu <2t}

Массовый случай

Используя формализм Боголюбова-де Жена, можно показать, что для объемного случая (бесконечное число узлов) энергия дает [6]

Э ( к ) = ± ( 2 т потому что ⁡ к + μ ) 2 + 4 | Δ | 2 грех 2 ⁡ к {\displaystyle E(k)=\pm {\sqrt {(2t\cos k+\mu )^{2}+4|\Delta |^{2}\sin ^{2}k}}} ,

и он щелевой, за исключением случая и волнового вектора . Для объемного случая нет нулевых мод. Однако топологический инвариант существует, заданный как μ = 2 t {\displaystyle \mu =2t} k = 0 {\displaystyle k=0}

Q = s i g n { p f [ i H ( k = 0 ) ] p f [ i H ( k = π ) ] } {\displaystyle Q=\mathrm {sign} \left\{\mathrm {pf} [iH(k=0)]\mathrm {pf} [iH(k=\pi )]\right\}} ,

где — пфаффовская операция. Для инвариант строго равен и для , что соответствует тривиальной и нетривиальной фазам из конечной цепи соответственно. Это соотношение между топологическим инвариантом из объемного случая и существованием нулевых мод Майораны в конечном случае называется соответствием объем-край. [6] p f [ x ] {\displaystyle \mathrm {pf} [x]} μ > 2 t {\displaystyle \mu >2t} Q = 1 {\displaystyle Q=1} μ < 2 t {\displaystyle \mu <2t} Q = − 1 {\displaystyle Q=-1}

Экспериментальные попытки

Одной из возможных реализаций цепей Китаева является использование полупроводниковых нанопроводов с сильным спин-орбитальным взаимодействием для снятия спинового вырождения, [8] как антимонид индия или арсенид индия . [9] Магнитное поле может быть применено для индуцирования зеемановской связи для спиновой поляризации провода и снятия вырождения Крамерса . [8] Сверхпроводящая щель может быть вызвана с помощью андреевского отражения , путем помещения провода в непосредственной близости от сверхпроводника. [8] [9] Также были предложены реализации с использованием трехмерных топологических изоляторов. [9]

Не существует единого окончательного способа проверки нулевых мод Майораны. Одно из предложений экспериментального наблюдения этих мод — использование сканирующей туннельной микроскопии . [9] Пик нулевого смещения в проводимости может быть признаком топологической фазы. [9] Эффект Джозефсона между двумя проводами в сверхпроводящей фазе также может помочь продемонстрировать эти моды. [9]

В 2023 году команда QuTech из Делфтского технического университета сообщила о реализации «бедного» Майораны, которая представляет собой связанное состояние Майораны, которое не защищено топологически и, следовательно, стабильно только для очень небольшого диапазона параметров. [1] [2] Оно было получено в цепочке Китаева, состоящей из двух квантовых точек в сверхпроводящей нанопроволоке, сильно связанных нормальным туннелированием и туннелированием Андреева, причем состояние возникает, когда скорость обоих. [1] [2] Некоторые исследователи высказывают опасения, предполагая, что альтернативный механизм связанных состояний Майораны может объяснить полученные данные. [2] [7]

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ abc Райт, Кэтрин (15.02.2023). «Найдены доказательства существования «двоюродного брата» Майораны». Физика . 16 : 24. Bibcode : 2023PhyOJ..16...24W. doi : 10.1103/Physics.16.24.
  2. ^ abcd "'Майораны для бедных' предлагают испытательный полигон для изучения возможных кубитов". Physics World . 2024 . Получено 2024-09-10 .
  3. ^ Китаев, А Ю (2001-10-01). "Неспаренные майорановские фермионы в квантовых проволоках". Успехи физических наук . 44 (10S): 131–136. arXiv : cond-mat/0010440 . doi :10.1070/1063-7869/44/10S/S29. ISSN  1468-4780.
  4. ^ abcd Шеперс, Томас (10 мая 2021 г.). Полупроводниковая спинтроника. Вальтер де Грюйтер ГмбХ & Ко КГ. ISBN 978-3-11-063900-1.
  5. ^ abc Stanescu, Tudor D. (2024-07-02). Введение в топологическую квантовую материю и квантовые вычисления. CRC Press. ISBN 978-1-040-04198-7.
  6. ^ Команда курса abc Topology (2021). "Соответствие Bulk-edge в цепи Китаева". Онлайн-курс по топологии в конденсированном состоянии - Делфтский технический университет .
  7. ^ ab Ball, Philip (29.09.2021). «Основная стратегия квантовых вычислений терпит серьезные неудачи». Quanta Magazine . Получено 10.09.2024 .
  8. ^ Команда курса abc Topology (2021). «От цепи Китаева до нанопровода». Онлайн-курс по топологии в конденсированном состоянии – Делфтский университет .
  9. ^ abcdef Чен, Фэй; Матерн, Стефани (2014). «Китаевская цепь» (PDF) . Оберсеминар: Квантовые узлы – проф. д-р А. Рош, проф. д-р С. Требст – Кёльнский университет .
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Kitaev_chain&oldid=1256078324"