Локальная плоскостность

В топологии , разделе математики , локальная плоскостность — это условие гладкости, которое может быть наложено на топологические подмногообразия . В категории топологических многообразий локально плоские подмногообразия играют роль, аналогичную роли вложенных подмногообразий в категории гладких многообразий . Нарушения локальной плоскостности описывают сети хребтов и смятые структуры , с приложениями к обработке материалов и машиностроению .

Предположим, что d -мерное многообразие N вложено в n - мерное многообразие M (где d < n ). Если мы говорим, что N локально плоское в x, если существует окрестность x такая , что топологическая пара гомеоморфна паре , со стандартным включением То есть существует гомеоморфизм такой, что образ совпадает с . В диаграммных терминах следующий квадрат должен коммутировать :${\displaystyle x\in N,}$${\displaystyle U\subset M}$ ${\displaystyle (U,U\cap N)}$${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{d})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ^{n}.}$${\displaystyle U\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle U\cap N}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

Мы называем N локально плоским в M , если N локально плоско в каждой точке. Аналогично, отображение называется локально плоским , даже если оно не является вложением, если каждый x в N имеет окрестность U, образ которой локально плоский в M.${\displaystyle \chi \colon N\to M}$${\displaystyle \чи (U)}$

Приведенное выше определение предполагает, что если M имеет границу , x не является граничной точкой M . Если x является точкой на границе M , то определение модифицируется следующим образом. Мы говорим, что N является локально плоским в граничной точке x множества M , если существует окрестность x такая , что топологическая пара гомеоморфна паре , где — стандартное полупространство и включено в качестве стандартного подпространства его границы. ${\displaystyle U\subset M}$${\displaystyle (U,U\cap N)}$${\displaystyle (\mathbb {R} _{+}^{n},\mathbb {R} ^{d})}$${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

Локальная плоскостность вложения подразумевает сильные свойства, не разделяемые всеми вложениями. Браун (1962) доказал, что если d = n − 1, то N имеет воротник; то есть, у него есть окрестность, гомеоморфная N × [0,1], где само N соответствует N × 1/2 (если N находится внутри M ) или N × 0 (если N находится на границе M ).

• Евклидово пространство
• Аккуратное подмногообразие

• Браун, Мортон (1962), Локально плоские вложения [ sic ] топологических многообразий. Annals of Mathematics , Вторая серия, т. 75 (1962), стр. 331–341.
• Мазур, Барри. О вложениях сфер. Бюллетень Американского математического общества , т. 65 (1959), № 2, стр. 59–65. http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183523034.