Теорема Эйлера в геометрии

В геометрии теорема Эйлера утверждает , что расстояние d между центром описанной окружности и центром вписанной окружности треугольника определяется как ^{[1] ​​[2]} или эквивалентно, где и обозначают радиус описанной окружности и радиус вписанной окружности соответственно (радиусы описанной окружности и вписанной окружности соответственно). Теорема названа в честь Леонарда Эйлера , который опубликовал ее в 1765 году. ^[3] Однако тот же результат был опубликован ранее Уильямом Чапплом в 1746 году. ^[4]$${\displaystyle d^{2}=R(R-2r)}$$$${\displaystyle {\frac {1}{Rd}}+{\frac {1}{R+d}}={\frac {1}{r}},}$$${\displaystyle R}$${\displaystyle r}$

Из теоремы следует неравенство Эйлера : ^[5] которое выполняется с равенством только в равностороннем случае. ^[6]$${\displaystyle R\geq 2r,}$$

Более сильная версия ^[6] такова: где , , и — длины сторон треугольника.$${\displaystyle {\frac {R}{r}}\geq {\frac {abc+a^{3}+b^{3}+c^{3}}{2abc}}\geq {\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}-1\geq {\frac {2}{3}}\left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}\right)\geq 2,}$$${\displaystyle а}$${\displaystyle б}$${\displaystyle с}$

Если и обозначают соответственно радиус вписанной окружности, противолежащей вершине , и расстояние между ее центром и центром описанной окружности, то .${\displaystyle r_{a}}$${\displaystyle d_{a}}$${\displaystyle А}$${\displaystyle d_{a}^{2}=R(R+2r_{a})}$

Неравенство Эйлера в форме, утверждающей, что для всех треугольников, вписанных в данную окружность, максимум радиуса вписанной окружности достигается для равностороннего треугольника и только для него, справедливо в абсолютной геометрии . ^[7]

• Теорема Фусса для соотношения между теми же тремя переменными во вписанно-описанных четырехугольниках
• Теорема Понселе о замыкании , показывающая, что существует бесконечное множество треугольников с теми же двумя окружностями (и, следовательно, с теми же R , r и d )
• Гипотеза Эгана , обобщение на более высокие измерения
• Список неравенств треугольника

На Викискладе есть медиафайлы по теме «Теорема Эйлера в геометрии» .

• Вайсштейн, Эрик В. , «Формула треугольника Эйлера», MathWorld