Теорема Лайонса–Лакса–Милгрэма

В математике теорема Лайонса–Лакса–Милгрэма (или просто теорема Лайонса ) — это результат функционального анализа с приложениями в изучении уравнений с частными производными . Это обобщение знаменитой теоремы Лакса–Милгрэма , которая дает условия, при которых билинейная функция может быть «инвертирована», чтобы показать существование и единственность слабого решения данной краевой задачи . Результат назван в честь математиков Жака-Луи Лайонса , Питера Лакса и Артура Милгрэма .

Пусть H — гильбертово пространство , а V — нормированное пространство . Пусть B  :  H  ×  V  →  R — непрерывная билинейная функция. Тогда следующие условия эквивалентны:

• ( коэрцитивность ) для некоторой константы c  > 0, ^{[ необходима ссылка ]}

${\displaystyle \inf _ {\|v\|_{V} = 1} \sup _ {\|h\|_{H}\leq 1}|B(h,v)|\geq c;}$

• (существование «слабого обратного») для каждого непрерывного линейного функционала f  ∈  V ^∗ существует элемент h  ∈  H такой, что

${\displaystyle B(h,v)=\langle f,v\rangle {\mbox{ для всех }}v\in V.}$

Теорему Лайонса–Лакса–Милгрэма можно применить, используя следующий результат, гипотезы которого довольно распространены и легко проверяются в практических приложениях:

Предположим, что V непрерывно вложено в H и что B является V -эллиптическим, т.е.

• для некоторого c  > 0 и всех v  ∈  V ,

${\displaystyle \|v\|_{H} \leq c\|v\|_{V};}$

• для некоторого α  > 0 и всех v  ∈  V ,

${\displaystyle B(v,v)\geq \alpha \|v\|_{V}^{2}.}$

Тогда указанное выше условие коэрцитивности (и, следовательно, результат существования) выполняется.

Обобщение Лионса является важным, поскольку оно позволяет решать граничные задачи за пределами пространства Гильберта исходной теории Лакса–Милгрэма. Чтобы проиллюстрировать силу теоремы Лионса, рассмотрим уравнение теплопроводности в n пространственных измерениях ( x ) и одном временном измерении ( t ):

${\displaystyle \partial _{t}u(t,x)=\Delta u(t,x),}$

где Δ обозначает оператор Лапласа . Сразу возникают два вопроса: на какой области в пространстве-времени должно быть решено уравнение теплопроводности, и какие граничные условия должны быть наложены? Первый вопрос — форма области — это тот, в котором можно увидеть силу теоремы Лионса–Лакса–Мильгрэма. В простых условиях достаточно рассмотреть цилиндрические области : т. е. фиксируется интересующая нас пространственная область Ω и максимальное время T  ∈(0, +∞], и продолжается решение уравнения теплопроводности на «цилиндре»

${\displaystyle [0,T)\times \Omega \subseteq [0,+\infty )\times \mathbf {R} ^{n}.}$

Затем можно перейти к решению уравнения теплопроводности с использованием классической теории Лакса–Милгрэма (и/или приближений Галеркина ) на каждом «временном срезе» { t } × Ω. Это все очень хорошо, если вы хотите решить уравнение теплопроводности только на области, которая не меняет своей формы как функции времени. Однако есть много приложений, для которых это неверно: например, если вы хотите решить уравнение теплопроводности на полярной ледяной шапке , вы должны учитывать изменяющуюся форму объема льда по мере его испарения и/или откалывания айсбергов . Другими словами, вы должны, по крайней мере, иметь возможность обрабатывать области G в пространстве-времени, которые не выглядят одинаково вдоль каждого «временного среза». (Существует также дополнительная сложность в виде областей, форма которых меняется в соответствии с решением u самой задачи.) Такие области и граничные условия находятся за пределами досягаемости классической теории Лакса–Милгрэма, но могут быть атакованы с помощью теоремы Лионса.

• Теорема Бабушки–Лакса–Милгрэма

• Showalter, Ralph E. (1997). Монотонные операторы в банаховом пространстве и нелинейные уравнения в частных производных . Математические обзоры и монографии 49. Providence, RI: American Mathematical Society. стр. xiv+278. ISBN 0-8218-0500-2. MR 1422252 (глава III)