Непрерывное внедрение

В математике говорят, что одно нормированное векторное пространство непрерывно вложено в другое нормированное векторное пространство, если функция включения между ними непрерывна . В некотором смысле эти две нормы «почти эквивалентны», даже если они обе не определены на одном и том же пространстве. Несколько теорем Соболева о вложении являются непрерывными теоремами о вложении.

Пусть X и Y — два нормированных векторных пространства с нормами ||·|| _X и ||·|| _Y соответственно, такими, что X  ⊆  Y. Если отображение включения (функция тождества)

${\displaystyle i:X\hookrightarrow Y:x\mapsto x}$

является непрерывным, т.е. если существует константа C  > 0 такая, что

${\displaystyle \|x\|_{Y}\leq C\|x\|_{X}}$

для любого x из X , то говорят, что X непрерывно вложено в Y . Некоторые авторы используют крючковатую стрелку "↪" для обозначения непрерывного вложения, то есть " X  ↪  Y " означает " X и Y являются нормированными пространствами, где X непрерывно вложено в Y ". Это последовательное использование обозначений с точки зрения категории топологических векторных пространств , в которой морфизмы ("стрелки") являются непрерывными линейными отображениями .

• Конечномерный пример непрерывного вложения дается естественным вложением действительной прямой X  =  R в плоскость Y  =  R ² , где обоим пространствам задана евклидова норма:

${\displaystyle i:\mathbf {R} \to \mathbf {R} ^{2}:x\mapsto (x,0)}$

В этом случае || x || _X  = || x || _Y для каждого действительного числа X. Очевидно, что оптимальный выбор константы C — это C  = 1.

• Бесконечномерный пример непрерывного вложения дается теоремой Реллиха–Кондрахова : пусть Ω ⊆  Rn — открытая , ограниченная , липшицева область , и пусть 1 ≤  ^p  <  n . Положим

${\displaystyle p^{*}={\frac {np}{n-p}}.}$

Тогда пространство Соболева W ^{1, p} (Ω;  R ) непрерывно вложено в пространство L ^p L ^{p ∗} (Ω;  R ). Фактически, при 1 ≤  q  <  p ^∗ это вложение компактно . Оптимальная константа C будет зависеть от геометрии области Ω.

• Бесконечномерные пространства также предлагают примеры разрывных вложений. Например, рассмотрим

${\displaystyle X=Y=C^{0}([0,1];\mathbf {R} ),}$

пространство непрерывных вещественных функций, определенных на единичном интервале, но снабженное X нормой L ¹ и Y нормой супремума . Для n  ∈  N пусть f _n будет непрерывной кусочно-линейной функцией , заданной формулой

${\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}-n^{2}x+n,&0\leq x\leq {\tfrac {1}{n}};\\0,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Тогда для каждого n , || f _n || _Y  = || f _n || _∞  =  n , но

${\displaystyle \|f_{n}\|_{L^{1}}=\int _{0}^{1}|f_{n}(x)|\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}.}$

Следовательно, не может быть найдена константа C такая, что || f _n || _Y  ≤  C || f _n || _X , и поэтому вложение X в Y является разрывным.

• Компактное встраивание

• Ренарди, М. и Роджерс, Р. К. (1992). Введение в уравнения с частными производными . Springer-Verlag, Берлин. ISBN 3-540-97952-2.