Формула произведения Ли
Формула матричных экспонент

В математике формула произведения Ли , названная в честь Софуса Ли (1875), но также широко называемая формулой произведения Троттера [1] , названная в честь Хейла Троттера , утверждает, что для произвольных m × m действительных или комплексных матриц A и B , [2] где e A обозначает матричную экспоненту A. Формула произведения Ли–Троттера [3] и теорема Троттера–Като [ 4] распространяют это на некоторые неограниченные линейные операторы A и B. [5 ] е А + Б = лим н → ∞ ( е А / н е Б / н ) н , {\ displaystyle e ^ {A + B} = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty } (e ^ {A/n} e ^ {B/n}) ^ {n},}

Эта формула является аналогом классического показательного закона е х + у = е х е у {\displaystyle е^{x+y}=e^{x}e^{y}}

что справедливо для всех действительных или комплексных чисел x и y . Если x и y заменить матрицами A и B , а экспоненту заменить матричной экспонентой , то обычно необходимо, чтобы A и B коммутировали, чтобы закон все еще выполнялся. Однако формула произведения Ли справедлива для всех матриц A и B , даже для тех, которые не коммутируют.

Формула произведения Ли концептуально связана с формулой Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа , поскольку обе они являются заменой, в контексте некоммутирующих операторов, классического экспоненциального закона.

Формула имеет приложения, например, в формулировке интеграла по траекториям квантовой механики. Она позволяет разделить оператор эволюции Шредингера ( пропагатор ) на чередующиеся приращения кинетических и потенциальных операторов (разложение Сузуки–Троттера, в честь Троттера и Масуо Сузуки). Та же идея используется при построении методов расщепления для численного решения дифференциальных уравнений . Более того, теорема Ли о произведении достаточна для доказательства формулы Фейнмана–Каца . [6]

Теорема Троттера–Като может быть использована для аппроксимации линейных C 0 -полугрупп . [7]

Доказательство

По формуле Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа , . ( е А / н е Б / н ) н = е А + Б + 1 2 н [ А , Б ] + ⋯ → е А + Б {\displaystyle (e^{A/n}e^{B/n})^{n}=e^{A+B+{\frac {1}{2n}}[A,B]+\cdots }\to e^{A+B}}

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Коэн и др. 1982
  2. ^ Холл 2015 Теорема 2.11
  3. ^ Троттер 1959
  4. ^ Като 1978
  5. ^ Холл 2013 Теорема 20.1
  6. ^ Аппельбаум 2019
  7. ^ Ито и Каппель 1998

Ссылки

  • Альбеверио, Серхио А.; Хёг-Крон, Рафаэль Дж. (1976), Математическая теория интегралов Фейнмана по траекториям: Введение , Lecture Notes in Mathematics, т. 423 (1-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0079827, hdl : 10852/44049 , ISBN 978-3-540-07785-5
  • Аппельбаум, Дэвид (2019). «Формула Фейнмана-Каца через формулу произведения Ли-Като-Троттера». Полугруппы линейных операторов: с приложениями к анализу, вероятности и физике . Cambridge University Press. стр.  123–125 . ISBN 978-1-108-71637-6.
  • Холл, Брайан С. (2013), Квантовая теория для математиков , Graduate Texts in Mathematics, т. 267, Springer, Bibcode : 2013qtm..book.....H, ISBN 978-1461471158
  • Холл, Брайан С. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Graduate Texts in Mathematics, т. 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-0-387-40122-5
  • «Формула произведения Троттера», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
  • Коэн, Джоэл Э.; Фридланд, Шмуэль; Като, Тосио; Келли, Ф.П. (1982). "Неравенства собственных значений для произведений матричных экспонент" (PDF) . Линейная алгебра и ее приложения . 45 : 55– 95. doi : 10.1016/0024-3795(82)90211-7 .
  • Ито, Казуфуми; Каппель, Франц (1998). «Теорема Троттера-Като и аппроксимация уравнений в частных производных». Математика вычислений . 67 (221): 21– 44. doi : 10.1090/S0025-5718-98-00915-6 . JSTOR  2584971.
  • Джоэл Э. Коэн; Шмуэль Фридланд; Тосио Като; Ф. П. Келли (1982), «Неравенства собственных значений для произведений матричных экспонент» (PDF) , Линейная алгебра и ее приложения , 45 : 55– 95, doi : 10.1016/0024-3795(82)90211-7
  • Като, Тосио (1978), «Формула произведения Троттера для произвольной пары самосопряженных сжимающих полугрупп», Темы функционального анализа (эссе, посвященные М. Г. Крейну по случаю его 70-летия) , Adv. in Math. Suppl. Stud., т. 3, Бостон, Массачусетс: Academic Press , стр.  185–195 , MR  0538020
  • Ложь, Софус; Энгель, Фридрих (1970). Theorie der Transformationsgruppen (на немецком языке). Нью-Йорк: Американское математическое соц. ISBN 0-8284-0232-9.
  • Троттер, Х. Ф. (1959), «О произведении полугрупп операторов», Труды Американского математического общества , 10 (4): 545–551 , doi : 10.2307/2033649 , ISSN  0002-9939, JSTOR  2033649, MR  0108732
  • Suzuki, Masuo (1976). «Обобщенная формула Троттера и систематические аппроксимации экспоненциальных операторов и внутренние производные с приложениями к задачам многих тел». Comm. Math. Phys . 51 (2): 183– 190. Bibcode :1976CMaPh..51..183S. doi :10.1007/bf01609348. S2CID  121900332.
  • Варадараджан, В.С. (1984), Группы Ли, алгебры Ли и их представления , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90969-1, стр. 99.
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Формула_продукта_лжи&oldid=1270344892"