Картина Шредингера

Часть серии статей о
Квантовая механика
${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\Psi \rangle ={\hat {H}}|\Psi \rangle }$ Уравнение Шредингера
Введение Глоссарий История
Фон Классическая механика Старая квантовая теория Обозначение скобок Гамильтониан Вмешательство
Основы Взаимодополняемость Декогеренция Запутанность Уровень энергии Измерение Нелокальность Квантовое число Состояние Суперпозиция Симметрия Туннелирование Неопределенность Волновая функция Крах
Эксперименты Неравенство Белла неравенство CHSH Дэвиссон–Гермер Двойной щелевой Элицур–Вайдман Франк–Герц неравенство Леггетта Неравенство Леггетта–Гарга Маха–Цендера Поппер Квантовый ластик Отложенный выбор Кот Шредингера Штерн–Герлах Отложенный выбор Уиллера
Формулировки Обзор Гейзенберг Взаимодействие Матрица Фазовое пространство Шредингер Суммирование по историям (интеграл по траектории)
Уравнения Дирак Клейн–Гордон Паули Рюдберг Шредингер
Интерпретации байесовский Последовательные истории Копенгаген де Бройля–Бома Ансамбль Скрытая переменная Местный Супердетерминизм Множество миров Цель-коллапс Квантовая логика Относительный Транзакционный Фон Нейман–Вигнер
Продвинутые темы Релятивистская квантовая механика Квантовая теория поля Квантовая информатика Квантовые вычисления Квантовый хаос ЭПР-парадокс Матрица плотности Scattering theory Quantum statistical mechanics Quantum machine learning
Scientists Aharonov Bell Bethe Blackett Bloch Bohm Bohr Born Bose de Broglie Compton Dirac Davisson Debye Ehrenfest Einstein Everett Fock Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordan Kramers Lamb Landau Laue Moseley Millikan Onnes Pauli Planck Rabi Raman Rydberg Schrödinger Simmons Sommerfeld von Neumann Weyl Wien Wigner Zeeman Zeilinger
v t e

В физике картина Шредингера или представление Шредингера — это формулировка квантовой механики , в которой векторы состояний эволюционируют во времени, но операторы (наблюдаемые и другие) в основном постоянны по отношению к времени (исключением является гамильтониан, который может изменяться, если потенциал изменяется ). ^{[1] [2]} Это отличается от картины Гейзенберга , которая сохраняет состояния постоянными, в то время как наблюдаемые эволюционируют во времени, и от картины взаимодействия, в которой и состояния, и наблюдаемые эволюционируют во времени. Картины Шредингера и Гейзенберга связаны как активные и пассивные преобразования , и коммутационные соотношения между операторами сохраняются при переходе между двумя картинами.${\displaystyle V}$

В картине Шредингера состояние системы эволюционирует со временем. Эволюция для замкнутой квантовой системы осуществляется унитарным оператором , оператором эволюции времени . Для эволюции времени от вектора состояния в момент времени t ₀ к вектору состояния в момент времени t оператор эволюции времени обычно записывается как , и мы имеем${\displaystyle |\psi (t_{0})\rangle }$${\displaystyle |\psi (t)\rangle }$${\displaystyle U(t,t_{0})}$

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle .}$

В случае, когда гамильтониан H системы не меняется со временем, оператор временной эволюции имеет вид

${\displaystyle U(t,t_{0})=e^{-iH\cdot (t-t_{0})/\hbar },}$

где показатель степени вычисляется с помощью ряда Тейлора .

Картина Шредингера полезна при работе с гамильтонианом H , не зависящим от времени , то есть .${\displaystyle \partial _{t}H=0}$

В элементарной квантовой механике состояние квантово-механической системы представляется комплекснозначной волновой функцией ψ ( x , t ) . Более абстрактно состояние может быть представлено как вектор состояния, или кет , . Этот кет является элементом гильбертова пространства , векторного пространства, содержащего все возможные состояния системы. Квантово-механический оператор — это функция, которая берет кет и возвращает некоторый другой кет .${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\psi '\rangle }$

Различия между картинами квантовой механики Шредингера и Гейзенберга вращаются вокруг того, как иметь дело с системами, которые развиваются во времени: зависящая от времени природа системы должна переноситься некоторой комбинацией векторов состояния и операторов. Например, квантовый гармонический осциллятор может находиться в состоянии, для которого ожидаемое значение импульса, , колеблется синусоидально во времени. Затем можно спросить, должно ли это синусоидальное колебание отражаться в векторе состояния , операторе импульса или в обоих. Все три этих выбора допустимы; первый дает картину Шредингера, второй — картину Гейзенберга, а третий — картину взаимодействия.${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle \langle \psi |{\hat {p}}|\psi \rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle {\hat {p}}}$

Оператор эволюции во времени U ( t , t ₀ ) определяется как оператор, который действует на кет-множество в момент времени t _{0 ,} чтобы получить кет-множество в какой-то другой момент времени t :$${\displaystyle |\psi (t)\rangle =U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle .}$$

Для бюстгальтеров , $${\displaystyle \langle \psi (t)|=\langle \psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,t_{0}).}$$

Унитарность

Оператор эволюции во времени должен быть унитарным . Для нормы состояния ket не должно меняться со временем. То есть, Поэтому,$${\displaystyle \langle \psi (t)|\psi (t)\rangle =\langle \psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle =\langle \psi (t_{0})|\psi (t_{0})\rangle .}$$$${\displaystyle U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})=I.}$$

Личность

При t  = t ₀ U является оператором тождества , поскольку$${\displaystyle |\psi (t_{0})\rangle =U(t_{0},t_{0})|\psi (t_{0})\rangle .}$$

Закрытие

Эволюцию времени от t ₀ до t можно рассматривать как двухэтапную эволюцию времени, сначала от t ₀ до промежуточного времени t ₁ , а затем от t ₁ до конечного времени t . Следовательно,$${\displaystyle U(t,t_{0})=U(t,t_{1})U(t_{1},t_{0}).}$$

Мы опускаем индекс t ₀ в операторе эволюции во времени, подразумевая, что t ₀ = 0, и записываем его как U ( t ). Уравнение Шредингера имеет вид где H — гамильтониан . Теперь, используя оператор эволюции во времени U для записи ,$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle =H|\psi (t)\rangle ,}$$${\displaystyle |\psi (t)\rangle =U(t)|\psi (0)\rangle }$$${\displaystyle i\hbar {\partial \over \partial t}U(t)|\psi (0)\rangle =HU(t)|\psi (0)\rangle .}$$

Так как является постоянным кет-функцией (состояние кет-функции при t = 0 ), и так как приведенное выше уравнение верно для любого постоянного кет-функции в гильбертовом пространстве, оператор эволюции во времени должен подчиняться уравнению${\displaystyle |\psi (0)\rangle }$$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}U(t)=HU(t).}$$

Если гамильтониан не зависит от времени, то решение приведенного выше уравнения равно ^{[примечание 1]}$${\displaystyle U(t)=e^{-iHt/\hbar }.}$$

Поскольку H является оператором, это экспоненциальное выражение следует оценить с помощью его ряда Тейлора :$${\displaystyle e^{-iHt/\hbar }=1-{\frac {iHt}{\hbar }}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {Ht}{\hbar }}\right)^{2}+\cdots .}$$

Поэтому,$${\displaystyle |\psi (t)\rangle =e^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle .}$$

Обратите внимание, что это произвольный кет. Однако, если начальный кет является собственным состоянием гамильтониана с собственным значением E :${\displaystyle |\psi (0)\rangle }$$${\displaystyle |\psi (t)\rangle =e^{-iEt/\hbar }|\psi (0)\rangle .}$$

Собственные состояния гамильтониана являются стационарными : они приобретают общий фазовый множитель только по мере своего развития со временем.

Если гамильтониан зависит от времени, но гамильтонианы в разные моменты времени коммутируют, то оператор эволюции во времени можно записать как$${\displaystyle U(t)=\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}H(t')\,dt'}\right),}$$

Если гамильтониан зависит от времени, но гамильтонианы в разные моменты времени не коммутируют, то оператор эволюции во времени можно записать как, где T — оператор упорядочения по времени , который иногда называют рядом Дайсона , в честь Фримена Дайсона .$${\displaystyle U(t)=\mathrm {T} \exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}H(t')\,dt'}\right),}$$

Альтернативой картине Шредингера является переключение на вращающуюся систему отсчета, которая сама вращается пропагатором. Поскольку волнообразное вращение теперь предполагается самой системой отсчета, невозмущенная функция состояния кажется действительно статической. Это картина Гейзенберга .

Для гамильтониана H _S , не зависящего от времени , где H _0,S — свободный гамильтониан,

Эволюция:	Картина ( в т е )
	Шредингер (С)	Гейзенберг (Г)	Взаимодействие (I)
государство кетов	${\displaystyle |\psi _{\rm {S}}(t)\rangle =e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar }|\psi _{\rm {S}}(0)\rangle }$	постоянный	${\displaystyle |\psi _{\rm {I}}(t)\rangle =e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }|\psi _{\rm {S}}(t)\rangle }$
Наблюдаемый	постоянный	${\displaystyle A_{\rm {H}}(t)=e^{iH_{\rm {S}}~t/\hbar }A_{\rm {S}}e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar }}$	${\displaystyle A_{\rm {I}}(t)=e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }A_{\rm {S}}e^{-iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }}$
Матрица плотности	${\displaystyle \rho _{\rm {S}}(t)=e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar }\rho _{\rm {S}}(0)e^{iH_{\rm {S}}~t/\hbar }}$	постоянный	${\displaystyle \rho _{\rm {I}}(t)=e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }\rho _{\rm {S}}(t)e^{-iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }}$

• Уравнение Гамильтона–Якоби
• Интерактивная картинка
• Гейзенберг фотография
• Формулировка фазового пространства
• ПОВМ
• Математическая формулировка квантовой механики
• функционал Шредингера

• Коэн-Таннуджи, Клод ; Бернар Диу; Фрэнк Лало (1977). Квантовая механика (Том первый) . Париж: Wiley. С.  312–314 . ISBN 0-471-16433-X.
• Альберт Мессия , 1966. Квантовая механика (т. I), перевод на английский язык с французского Г. М. Теммера. Северная Голландия, John Wiley & Sons.
• Мерцбахер Э. , Квантовая механика (3-е изд., John Wiley 1998) стр. 430–1 ISBN 0-471-88702-1 
• Л. Д. Ландау , Э. М. Лифшиц (1977). Квантовая механика: нерелятивистская теория . Т. 3 (3-е изд.). Pergamon Press . ISBN 978-0-08-020940-1.Электронная копия
• Р. Шанкар (1994); Принципы квантовой механики , Plenum Press, ISBN 978-0-306-44790-7 . 
• JJ Sakurai (1993); Современная квантовая механика (пересмотренное издание), ISBN 978-0-201-53929-5 .