Разложение группы Ли
Эта статья в значительной степени или полностью основана на одном источнике . ( сентябрь 2009 г. ) |
В математике разложения групп Ли используются для анализа структуры групп Ли и связанных с ними объектов, показывая, как они строятся из подгрупп . Они являются важными техническими инструментами в теории представлений групп Ли и алгебр Ли ; их также можно использовать для изучения алгебраической топологии таких групп и связанных с ними однородных пространств . Поскольку использование методов групп Ли стало одним из стандартных методов в математике двадцатого века, многие явления теперь можно отнести к разложениям.
Одни и те же идеи часто применяются к группам Ли, алгебрам Ли, алгебраическим группам и аналогам p-адических чисел , что затрудняет обобщение фактов в единую теорию.
Список разложений
- Разложение Жордана –Шевалле элемента в алгебраической группе как произведения полупростых и унипотентных элементов
- Разложение Брюа полупростой алгебраической группы на двойные смежные классы подгруппы Бореля можно рассматривать как обобщение принципа исключения Гаусса–Жордана , который в общем случае записывает матрицу как произведение верхней треугольной матрицы на нижнюю треугольную матрицу, но с исключительными случаями. Оно связано с разложением грассманианов по ячейкам Шуберта : см. группу Вейля для получения более подробной информации.
- Разложение Картана записывает полупростую действительную алгебру Ли как сумму собственных пространств инволюции Картана . [1]
- Разложение Ивасавы полупростой группы как произведения компактных , абелевых и нильпотентных подгрупп обобщает способ, которым квадратная вещественная матрица может быть записана как произведение ортогональной матрицы и верхней треугольной матрицы (следствие ортогонализации Грама–Шмидта ).
- Разложение Ленглендса записывает параболическую подгруппу группы Ли как произведение полупростых, абелевых и нильпотентных подгрупп.
- Разложение Леви записывает конечномерную алгебру Ли как полупрямое произведение разрешимого идеала и полупростой подалгебры.
- LU -разложение плотного подмножества в полной линейной группе. Его можно рассматривать как частный случай разложения Брюа .
- Разложение Биркгофа — частный случай разложения Брюа для аффинных групп.
Ссылки
- ^ Кляйнер, Израиль (2007). Кляйнер, Израиль (ред.). История абстрактной алгебры . Бостон, Массачусетс: Birkhäuser. doi :10.1007/978-0-8176-4685-1. ISBN 978-0817646844. МР 2347309.
