Разложение Картана

В математике разложение Картана — это разложение полупростой группы Ли или алгебры Ли , которое играет важную роль в их структурной теории и теории представлений . Оно обобщает полярное разложение или сингулярное разложение матриц. Его история восходит к работам 1880-х годов Эли Картана и Вильгельма Киллинга . ^[1]

Пусть — вещественная полупростая алгебра Ли и пусть — ее форма Киллинга . Инволюция в — это автоморфизм алгебры Ли , квадрат которого равен единице. Такая инволюция называется инволюцией Картана в , если — положительно определенная билинейная форма .${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle B(\cdot ,\cdot )}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \тета}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle B_{\theta}(X,Y):=-B(X,\theta Y)}$

Две инволюции и считаются эквивалентными, если они отличаются только внутренним автоморфизмом .${\displaystyle \тета _{1}}$${\displaystyle \тета _{2}}$

Любая действительная полупростая алгебра Ли имеет инволюцию Картана, и любые две инволюции Картана эквивалентны.

• Инволюция Картана на определяется соотношением , где обозначает транспонированную матрицу .${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \theta (X)=-X^{T}}$${\displaystyle X^{T}}$${\displaystyle X}$
• Тождественное отображение на является инволюцией. Это единственная инволюция Картана тогда и только тогда, когда форма Киллинга отрицательно определена или, что эквивалентно, тогда и только тогда, когда является алгеброй Ли компактной полупростой группы Ли.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• Пусть — комплексификация вещественной полупростой алгебры Ли , тогда комплексное сопряжение на является инволюцией на . Это инволюция Картана на тогда и только тогда, когда — алгебра Ли компактной группы Ли.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$
• Следующие отображения являются инволюциями алгебры Ли специальной унитарной группы SU(n) :${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$
  1. Инволюция тождества , которая в данном случае является единственной инволюцией Картана.${\displaystyle \theta _{1}(X)=X}$
  2. Комплексное сопряжение , выражаемое как на .${\displaystyle \theta _{2}(X)=-X^{T}}$${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$
  3. Если нечетно, . Инволюции (1), (2) и (3) эквивалентны, но не эквивалентны тождественной инволюции, поскольку .${\displaystyle n=p+q}$${\displaystyle \theta _{3}(X)={\begin{pmatrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{pmatrix}}X{\begin{pmatrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{pmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{pmatrix}}\notin {\mathfrak {su}}(n)}$
  4. Если четное, то также есть .${\displaystyle n=2м}$${\displaystyle \theta _{4}(X)={\begin{pmatrix}0&I_{m}\\-I_{m}&0\end{pmatrix}}X^{T}{\begin{pmatrix}0&I_{m}\\-I_{m}&0\end{pmatrix}}}$

Пусть будет инволюцией на алгебре Ли . Так как , линейное отображение имеет два собственных значения . Если и обозначают собственные пространства, соответствующие +1 и -1 соответственно, то . Так как является автоморфизмом алгебры Ли, скобка Ли двух ее собственных пространств содержится в собственном пространстве, соответствующем произведению их собственных значений. Отсюда следует, что${\displaystyle \тета}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \тета ^{2}=1}$${\displaystyle \тета}$${\displaystyle \pm 1}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle \тета}$

${\displaystyle [{\mathfrak {k}}, {\mathfrak {k}}]\subseteq {\mathfrak {k}}}$, , и .${\displaystyle [{\mathfrak {k}},{\mathfrak {p}}]\subseteq {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle [{\mathfrak {p}},{\mathfrak {p}}]\subseteq {\mathfrak {k}}}$

Таким образом, является подалгеброй Ли, в то время как любая подалгебра коммутативна.${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Наоборот, разложение с этими дополнительными свойствами определяет инволюцию на , которая находится на и на .${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle +1}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Такая пара также называется парой Картана и называется симметричной парой . Это понятие пары Картана здесь не следует путать с отдельным понятием, включающим относительные когомологии алгебры Ли .${\displaystyle ({\mathfrak {k}},{\mathfrak {p}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {k}})}$${\displaystyle H^{*}({\mathfrak {g}},{\mathfrak {k}})}$

Разложение, связанное с инволюцией Картана, называется разложением Картана . Особенностью разложения Картана является то, что форма Киллинга отрицательно определена на и положительно определена на . Кроме того, и являются ортогональными дополнениями друг друга относительно формы Киллинга на .${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Пусть — некомпактная полупростая группа Ли и ее алгебра Ли. Пусть — инволюция Картана на и пусть — полученная пара Картана. Пусть — аналитическая подгруппа с алгеброй Ли . Тогда:${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle ({\mathfrak {k}},{\mathfrak {p}})}$${\displaystyle K}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$

• Существует автоморфизм группы Ли с дифференциалом в единице, удовлетворяющий условию .${\displaystyle \Theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \Theta ^{2}=1}$
• Подгруппа элементов, фиксируемых с помощью , есть ; в частности, является замкнутой подгруппой.${\displaystyle \Theta }$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$
• Отображение, заданное как , является диффеоморфизмом .${\displaystyle K\times {\mathfrak {p}}\rightarrow G}$${\displaystyle (k,X)\mapsto k\cdot \mathrm {exp} (X)}$
• Подгруппа является максимальной компактной подгруппой группы G, если центр группы G конечен.${\displaystyle K}$${\displaystyle G}$

Автоморфизм также называется глобальной инволюцией Картана , а диффеоморфизм называется глобальной декомпозицией Картана . Если мы запишем это, то скажем, что отображение произведения является диффеоморфизмом, поэтому .${\displaystyle \Theta }$${\displaystyle K\times {\mathfrak {p}}\rightarrow G}$${\displaystyle P=\mathrm {exp} ({\mathfrak {p}})\subset G}$${\displaystyle K\times P\rightarrow G}$${\displaystyle G=KP}$

Для общей линейной группы — инволюция Картана. ^{[ требуется пояснение ]}${\displaystyle X\mapsto (X^{-1})^{T}}$

Уточнение разложения Картана для симметричных пространств компактного или некомпактного типа утверждает, что максимальные абелевы подалгебры в единственны с точностью до сопряжения посредством . Более того,${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {p}}=\bigcup _{k\in K}\mathrm {Ad} \,k\cdot {\mathfrak {a}}.}\qquad {\text{and}}\qquad \displaystyle {P=\bigcup _{k\in K}\mathrm {Ad} \,k\cdot A.}}$

где .${\displaystyle A=e^{\mathfrak {a}}}$

В компактном и некомпактном случае глобальное разложение Картана, таким образом, подразумевает

${\displaystyle G=KP=KAK,}$

Геометрически образ подгруппы в является вполне геодезическим подмногообразием.${\displaystyle A}$${\displaystyle G/K}$

Рассмотрим с инволюцией Картана . ^{[ необходимо пояснение ]} Тогда — вещественная алгебра Ли кососимметричных матриц, так что , а — подпространство симметричных матриц. Таким образом, экспоненциальное отображение является диффеоморфизмом из на пространство положительно определенных матриц. С точностью до этого экспоненциального отображения глобальное разложение Картана является полярным разложением матрицы. Полярное разложение обратимой матрицы уникально.${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \theta (X)=-X^{T}}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}={\mathfrak {so}}_{n}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle K=\mathrm {SO} (n)}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

• Разложения групп Ли

This article includes a list of general references, but it lacks sufficient corresponding inline citations. Please help to improve this article by introducing more precise citations. (March 2016) (Learn how and when to remove this message)

• Хельгасон, Сигурдур (1978), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметричные пространства , Чистая и прикладная математика, т. 80, Academic Press, ISBN 0-8218-2848-7, МР  0514561
• Кляйнер, Израиль (2007). Кляйнер, Израиль (ред.). История абстрактной алгебры . Бостон, Массачусетс: Birkhäuser. doi :10.1007/978-0-8176-4685-1. ISBN 978-0817646844. МР  2347309.
• Кнапп, Энтони В. (2005) [1996]. Группы Ли за пределами введения . Прогресс в математике. Т. 140 (2-е изд.). Бостон, Массачусетс: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5. МР  1920389.