Процесс Леви
Стохастический процесс в теории вероятностей

В теории вероятностей процесс Леви , названный в честь французского математика Поля Леви , является стохастическим процессом с независимыми стационарными приращениями: он представляет собой движение точки, последовательные смещения которой случайны , в котором смещения в попарно непересекающихся интервалах времени независимы, а смещения в различных интервалах времени одинаковой длины имеют идентичные распределения вероятностей. Таким образом, процесс Леви можно рассматривать как непрерывный во времени аналог случайного блуждания .

Наиболее известными примерами процессов Леви являются процесс Винера , часто называемый процессом броуновского движения , и процесс Пуассона . Другие важные примеры включают гамма-процесс , процесс Паскаля и процесс Мейкснера. Помимо броуновского движения с дрейфом, все другие собственные (то есть не детерминированные) процессы Леви имеют разрывные пути. Все процессы Леви являются аддитивными процессами . [1]

Математическое определение

Процесс Леви — это стохастический процесс , удовлетворяющий следующим свойствам: Х = { Х т : т ≥ 0 } {\displaystyle X=\{X_{t}:t\geq 0\}}

  1. Х 0 = 0 {\displaystyle X_{0}=0\,} почти наверняка ;
  2. Независимость приращений : Длялюбоговзаимно независимы ; 0 ≤ т 1 < т 2 < ⋯ < т н < ∞ {\displaystyle 0\leq t_{1}<t_{2}<\cdots <t_{n}<\infty } Х т 2 − Х т 1 , Х т 3 − Х т 2 , … , Х т н − Х т н − 1 {\displaystyle X_{t_{2}}-X_{t_{1}},X_{t_{3}}-X_{t_{2}},\dots ,X_{t_{n}}-X_{t_{n-1}}}
  3. Стационарные приращения : Для любого,равно по распределению с < т {\displaystyle s<t\,} Х т − Х с {\displaystyle X_{t}-X_{s}\,} Х т − с ; {\displaystyle X_{ts};\,}
  4. Непрерывность по вероятности : для любогоисправедливо, что ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} т ≥ 0 {\displaystyle т\geq 0} лим час → 0 П ( | Х т + час − Х т | > ε ) = 0. {\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}P(|X_{t+h}-X_{t}|>\varepsilon )=0.}

Если — процесс Леви, то можно построить версию , которая почти наверняка непрерывна справа и имеет пределы слева . Х {\displaystyle X} Х {\displaystyle X} т ↦ Х т {\displaystyle t\mapsto X_{t}}

Характеристики

Независимые приращения

Непрерывный во времени стохастический процесс назначает случайную величину X t каждой точке t ≥ 0 во времени. По сути, это случайная функция t . Приращения такого процесса являются разностями X s − X t между его значениями в разные моменты времени t < s . Назвать приращения процесса независимыми означает, что приращения X s − X t и X u − X v являются независимыми случайными величинами всякий раз, когда два временных интервала не перекрываются, и, в более общем смысле, любое конечное число приращений, назначенных попарно неперекрывающимся временным интервалам, взаимно (а не только попарно ) независимы.

Стационарные приращения

Назвать приращения стационарными означает, что распределение вероятностей любого приращения X t − X s зависит только от длины t  −  s интервала времени; приращения на одинаково длинных интервалах времени распределены одинаково.

Если — винеровский процесс , то распределение вероятностей X t  −  X s является нормальным с ожидаемым значением 0 и дисперсией t  −  s . Х {\displaystyle X}

Если — процесс Пуассона , то распределение вероятностей X t  −  X s является распределением Пуассона с ожидаемым значением λ( t  −  s ), где λ > 0 — «интенсивность» или «скорость» процесса. Х {\displaystyle X}

Если — процесс Коши , то распределение вероятностей X t  −  X s — это распределение Коши с плотностью . Х {\displaystyle X} ф ( х ; т ) = 1 π [ т х 2 + т 2 ] {\displaystyle f(x;t)={1 \над \пи }\left[{t \над x^{2}+t^{2}}\right]}

Бесконечная делимость

Распределение процесса Леви обладает свойством бесконечной делимости : для любого целого числа n закон процесса Леви в момент времени t можно представить как закон суммы n независимых случайных величин, которые являются в точности приращениями процесса Леви за интервалы времени длиной t / n, которые независимы и одинаково распределены согласно предположениям 2 и 3. И наоборот, для каждого бесконечно делимого распределения вероятностей существует процесс Леви, такой что закон задается выражением . Ф {\displaystyle F} Х {\displaystyle X} Х 1 {\displaystyle X_{1}} Ф {\displaystyle F}

Моменты

В любом процессе Леви с конечными моментами n - й момент является полиномиальной функцией от t ; эти функции удовлетворяют биномиальному тождеству : μ н ( т ) = Э ( Х т н ) {\displaystyle \mu _{n}(t)=E(X_{t}^{n})}

μ н ( т + с ) = ∑ к = 0 н ( н к ) μ к ( т ) μ н − к ( с ) . {\displaystyle \mu _{n}(t+s)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\mu _{k}(t)\mu _{nk}(s ).}

Представление Леви–Хинчина

Распределение процесса Леви характеризуется его характеристической функцией , которая задается формулой Леви–Хинчина (общей для всех бесконечно делимых распределений ): [2]

Если — процесс Леви, то его характеристическая функция задается выражением Х = ( Х т ) т ≥ 0 {\displaystyle X=(X_{t})_{t\geq 0}} φ Х ( θ ) {\displaystyle \varphi _{X}(\theta )}

φ Х ( θ ) ( т ) := Э [ е я θ Х ( т ) ] = эксп ⁡ ( т ( а я θ − 1 2 σ 2 θ 2 + ∫ Р ∖ { 0 } ( е я θ х − 1 − я θ х 1 | х | < 1 ) П ( г х ) ) ) {\displaystyle \varphi _{X}(\theta )(t):=\mathbb {E} \left[e^{i\theta X(t)}\right]=\exp {\left(t\left(ai\theta -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\theta ^{2}+\int _{\mathbb {R} \setminus \{0\}}{\left(e^{i\theta x}-1-i\theta x\mathbf {1} _{|x|<1}\right)\,\Pi (dx)}\right)\right)}}

где , , и является σ -конечной мерой, называемой мерой Леви , удовлетворяющей свойству а ∈ Р {\displaystyle a\in \mathbb {R} } σ ≥ 0 {\displaystyle \сигма \geq 0} П {\displaystyle \Пи} Х {\displaystyle X}

∫ Р ∖ { 0 } мин ( 1 , х 2 ) П ( г х ) < ∞ . {\displaystyle \int _{\mathbb {R} \setminus \{0\}}{\min(1,x^{2})\,\Pi (dx)}<\infty .}

В приведенном выше примере — это индикаторная функция . Поскольку характеристические функции однозначно определяют свои основные распределения вероятностей, каждый процесс Леви однозначно определяется «триплетом Леви–Хинчина» . Термины этого триплета предполагают, что процесс Леви можно рассматривать как имеющий три независимых компонента: линейный дрейф, броуновское движение и процесс скачка Леви, как описано ниже. Это немедленно дает, что единственный (недетерминированный) непрерывный процесс Леви — это броуновское движение со сносом; аналогично, каждый процесс Леви является полумартингалом . [ 3] 1 {\displaystyle \mathbf {1} } ( а , σ 2 , П ) {\displaystyle (a,\сигма ^{2},\Пи)}

Разложение Леви–Ито

Поскольку характеристические функции независимых случайных величин перемножаются, теорема Леви–Хинчина предполагает, что каждый процесс Леви является суммой броуновского движения со сносом и другой независимой случайной величины, процесса скачка Леви. Разложение Леви–Ито описывает последний как (стохастическую) сумму независимых пуассоновских случайных величин.

Пусть — то есть ограничение на , нормализованное так, чтобы быть вероятностной мерой; аналогично, пусть (но не масштабируется). Тогда ν = П | Р ∖ ( − 1 , 1 ) П ( Р ∖ ( − 1 , 1 ) ) {\displaystyle \nu ={\frac {\Pi |_{\mathbb {R} \setminus (-1,1)}}{\Pi (\mathbb {R} \setminus (-1,1))}} } П {\displaystyle \Пи} Р ∖ ( − 1 , 1 ) {\displaystyle \mathbb {R} \setminus (-1,1)} μ = П | ( − 1 , 1 ) ∖ { 0 } {\displaystyle \mu =\Pi |_{(-1,1)\setminus \{0\}}}

∫ Р ∖ { 0 } ( е я θ х − 1 − я θ х 1 | х | < 1 ) П ( г х ) = П ( Р ∖ ( − 1 , 1 ) ) ∫ Р ( е я θ х − 1 ) ν ( г х ) + ∫ Р ( е я θ х − 1 − я θ х ) μ ( г х ) . {\displaystyle \int _{\mathbb {R} \setminus \{0\}}{\left(e^{i\theta x}-1-i\theta x\mathbf {1} _{|x|<1}\right)\,\Pi (dx)}=\Pi (\mathbb {R} \setminus (-1,1))\int _{\mathbb {R} }{(e^{i\theta x}-1)\,\nu (dx)}+\int _{\mathbb {R} }{(e^{i\theta x}-1-i\theta x)\,\mu (dx)}.}

Первая является характеристической функцией сложного процесса Пуассона с интенсивностью и распределением потомков . Последняя является функцией компенсированного обобщенного процесса Пуассона (CGPP): процесс со счетным числом скачков разрывов на каждом интервале , как , но такой, что эти разрывы имеют величину меньше . Если , то CGPP является чистым скачкообразным процессом . [4] [5] Поэтому в терминах процессов можно разложить следующим образом П ( Р ∖ ( − 1 , 1 ) ) {\displaystyle \Пи (\mathbb {R} \setminus (-1,1))} ν {\displaystyle \nu} 1 {\displaystyle 1} ∫ Р | х | μ ( г х ) < ∞ {\displaystyle \int _{\mathbb {R} }{|x|\,\mu (dx)}<\infty } Х {\displaystyle X}

Х т = σ Б т + а т + И т + З т , т ≥ 0 , {\displaystyle X_{t}=\sigma B_{t}+at+Y_{t}+Z_{t},t\geq 0,}

где — сложный пуассоновский процесс со скачками, большими по абсолютной величине, а — вышеупомянутый компенсированный обобщенный пуассоновский процесс, который также является мартингалом с нулевым средним. И {\displaystyle Y} 1 {\displaystyle 1} З т {\displaystyle Z_{т}}

Обобщение

Случайное поле Леви является многомерным обобщением процесса Леви. [6] [7] Еще более общими являются разложимые процессы. [8]

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Сато, Кен-Ити (1999). Процессы Леви и бесконечно делимые распределения . Cambridge University Press. С.  31–68 . ISBN 9780521553025.
  2. ^ Золотарев, Владимир М. Одномерные устойчивые распределения. Т. 65. Американское математическое общество, 1986.
  3. ^ Проттер П. Э. Стохастическое интегрирование и дифференциальные уравнения. Springer, 2005.
  4. ^ Киприану, Андреас Э. (2014), «Разложение Леви–Ито и структура пути», Флуктуации процессов Леви с приложениями , Universitext, Springer Berlin Heidelberg, стр.  35–69 , doi :10.1007/978-3-642-37632-0_2, ISBN 9783642376313
  5. ^ Лоулер, Грегори (2014). «Стохастическое исчисление: введение с приложениями» (PDF) . Кафедра математики (Чикагский университет) . Архивировано из оригинала (PDF) 29 марта 2018 года . Получено 3 октября 2018 года .
  6. ^ Вольперт, Роберт Л.; Икштадт, Катя (1998), «Моделирование случайных полей Леви», Практическая непараметрическая и полупараметрическая байесовская статистика , Lecture Notes in Statistics, Springer, Нью-Йорк, doi :10.1007/978-1-4612-1732-9_12, ISBN 978-1-4612-1732-9
  7. ^ Вольперт, Роберт Л. (2016). "Случайные поля Леви" (PDF) . Кафедра статистических наук (Университет Дьюка) .
  8. ^ Фельдман, Якоб (1971). «Разложимые процессы и непрерывные произведения вероятностных пространств». Журнал функционального анализа . 8 (1): 1– 51. doi :10.1016/0022-1236(71)90017-6. ISSN  0022-1236.
  • Эпплбаум, Дэвид (декабрь 2004 г.). «Процессы Леви — от вероятности к финансам и квантовым группам» (PDF) . Notices of the American Mathematical Society . 51 (11): 1336– 1347. ISSN  1088-9477.
  • Конт, Рама; Танков, Питер (2003). Финансовое моделирование с помощью Jump Processes . CRC Press. ISBN 978-1584884132..
  • Сато, Кен-Ити (2011). Процессы Леви и бесконечно делимые распределения . Cambridge University Press. ISBN 978-0521553025..
  • Киприану, Андреас Э. (2014). Флуктуации процессов Леви с приложениями. Вводные лекции. Второе издание . Springer. ISBN 978-3642376313..
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Lévy_process&oldid=1242794563"